中档解答组合限时练(九)
限时:15分钟 满分:16分
1.(5分)已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+(2k-1)=0.
(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
2.(5分)如图J9-1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=2,以AC为边在△ABC的外部作等边三角形ACD,连接BD.
(1)求四边形ABCD的面积;
(2)求BD的长.
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图J9-1
3.(6分)在平面直角坐标系xOy中,函数y=(k≠0,x>0)的图象如图J9-2所示.已知此图象经过A(m,n),B(2,2)两点.过点B作BD⊥y轴于点D,过点A作AC⊥x轴于点C,AC与BD交于点F.一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过点A,D,与x轴的负半轴交于点E.
(1)如果AC=OD,求a,b的值;
(2)如果BC∥AE,求BC的长.
图J9-2
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参考答案
1.解:(1)证明:∵Δ=(k+2)2-4(2k-1)
=(k-2)2+4>0,
∴方程恒有两个不相等的实数根.
(2)根据题意得1-(k+2)+(2k-1)=0,
解得k=2,则原方程为x2-4x+3=0,
解得另一个根为x=3.
①当该直角三角形的两直角边长是1,3时,由勾股定理得斜边的长为,该直角三角形的周长为4+;
②当该直角三角形的直角边长和斜边长分别是1,3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边长为2,该直角三角形的周长为4+2.
2.解:(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=2,
∴cos∠ABC=,AC=AB,∠BAC=90°-∠ABC=90°-30°=60°,
∴AB===4,AC=×4=2.
∵△ACD为等边三角形,
∴AD=CD=AC=2,∠DAC=60°.
如图,过点D作DE⊥AC于点E,则DE=AD·sin∠DAC=2×sin60°=,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AC·BC+AC·DE
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=×2×2+×2×
=3.
(2)如图,过点D作DF⊥AB交BA延长线于点F.
∵∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=180°-60°-60°=60°,
∴DF=AD·sin∠DAF=2sin60°=,
AF=AD·cos∠DAF=2cos60°=1,
∴BF=AB+AF=4+1=5.
∵DF⊥AB,
∴在Rt△BDF中,BD2=DF2+BF2=()2+52=28,
∴BD=2.
3.解:(1)如图①,∵点B(2, 2)在y=的图象上,
∴k=4,y=.
∵BD⊥y轴,∴D点的坐标为(0,2),OD=2.
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∵AC⊥x轴,AC=OD,
∴AC=3,即A点的纵坐标为3.
∵点A在y=的图象上,
∴A点的坐标为.
∵一次函数y=ax+b的图象经过点A,D,
∴解得
∴a=,b=2.
(2)如图②,设A点的坐标为m,,则C点的坐标为(m,0).
∵BD∥CE,BC∥DE,
∴四边形BCED为平行四边形.
∴CE=BD=2,DE=BC.
∵BD∥CE,∴∠ADF=∠AEC.
∴在Rt△AFD中,tan∠ADF==,
在Rt△ACE中,tan∠AEC==,
∴=.∵m≠0,∴m=1.
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∴C点的坐标为(1,0),∴BC=.
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