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4．3 用频率估计概率
知识要点分类练 夯实基础
知识点 利用频率估计概率
1．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( )
A．频率等于概率
B．试验得到的频率与概率不可能相等
C．当试验次数很小时，概率稳定在频率附近
D．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
2．为了看图钉落地后钉尖着地的概率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是( )
A．钉尖着地的频率是0.4
B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在0.4附近
C．钉尖着地的概率约为0.4
D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数一定是8次
3．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算其正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、200次，其中试验相对科学的是( )
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
4．做绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽概率的估计值是( )
A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90
5．2017·兰州一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子．通过大量摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么盒子中小球的个数n约为( )
A．20 B．24 C．28 D．30
6．在一块试验田抽取1000个麦穗考察它的长度(单位： cm)，对数据适当分组后看到落在5.75～6.05之间的频率为0.36，于是可以估计出这块田里麦穗长度在5.75～6.05 cm之间的概率为________%.
7．2018·淮安某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击
次数n
10
20
40
50
100
200
500
1000
击中靶心
的频数m
9
19
37
45
89
181
449
901
击中靶心
的频率
0.900
0.950
0.925
0.900
0.890
0.905
0.898
0.901
该射手击中靶心的概率的估计值是________(精确到0.01)．
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8．在一个不透明的袋子中装有黄色、白色乒乓球共40个，这些球除颜色外其他完全相同．小明从这个袋子中随机摸出一球，记下颜色后放回，通过多次摸球试验后发现，摸到黄色球的频率稳定在15%附近，则口袋中黄色球可能有________个．
9．对某工厂生产的大批同类产品进行合格率检查，从中分别抽取5件、10件、60件、150件、600件、900件、1200件、1800件，检查结果如下表所示：
抽取的
件数n
5
10
60
150
600
900
1200
1800
合格
件数m
5
8
53
131
542
820
1091
1631
合格
频率
1
0.8
0.883
0.873
0.903
0.911
0.909
0.906
(1)估计该厂产品的合格率(精确到0.1)；
(2)若抽取这类产品1000件，试估计合格品数．
规律方法综合练 提升能力
10．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图4－3－1的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是4
11．2017·营口在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是________个．
图4－3－1
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12．2017·宿迁如图4－3－2，为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为2 m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是________m2.
图4－3－2
13．一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子下掷试验，试验数据如下表：
试验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“兵”字面
朝上频数
14
a
38
47
52
66
78
88
相应频率
0.7
0.45
0.63
0.59
0.52
b
0.56
0.55
(1)请直接写出a，b的值；
(2)如果试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少(精确到0.01)?
(3)如果做这种试验2000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少？
拓广探究创新练 冲刺满分
14．小颖和小红两位同学在学习概率时，做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
(2)小颖说：“根据试验结果分析，一次试验中出现5点朝上的概率最大．”小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？
(3)小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
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教师详解详析
1．D [解析] A项，频率只能估计概率，故此选项错误．
B项，试验得到的频率与概率可能相等，故此选项错误．
C项，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项错误．
D项，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项正确．
2．D
3．D [解析] 根据模拟试验的定义，可知试验相对科学的是次数最多的丁组．
4．B
5．D [解析] 由题意，可知×100%＝30%，易解得n＝30.经检验n＝30是原分式方程的解，且符合题意．故选D.
6．36
7．0.90 [解析] 用频率估计概率时，试验的次数越多，其频率越接近于概率，所以取射击1000次击中靶心的频率来估计射手击中靶心的概率．
8．6 [解析] 黄色球的个数为15%×40＝6(个)．
9．解：(1)从表中的数据可看到，当抽取件数(即重复试验次数)n越大时，“一件产品合格”事件发生的频率就越接近常数0.9，所以该厂产品的合格率为0.9.
(2)90%×1000＝900(件)．
答：估计合格品数为900件．
10．D
11．15 [解析] 根据题意，得摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，所以摸到蓝色球的概率为75%.因为20×75%＝15(个)，所以可估计箱子中蓝色球的个数为15个．
12．1 [解析]∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，∴小石子落在不规则区域的概率为0.25.∵正方形的边长为2 m，∴面积为4 m2.设不规则区域的面积为S，则＝0.25，解得S＝1.故答案为1.
13．解：(1)a＝18，b＝0.55.
(2)估计这个概率为0.55.
(3)2000×0.55＝1100.
答：“兵”字面朝上的次数大约是1100.
14．解：(1)“3点朝上”的频率是＝，
“5点朝上”的频率是＝.
(2)小颖的说法是错误的．理由：因为60次试验中“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当试验的次数足够大时，事件发生的频率才会稳定在事件发生的概率附近；小红的说法是错误的，理由：因为事件的发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次．
(3)列表如下：
小红投掷的点数点数之和小颖投掷的点数
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
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4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
∵共有36种等可能的情况，其中点数之和为3的倍数的情况一共有12种，
∴P(点数之和为3的倍数)＝＝.
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