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第 7 讲、拆解转化（讲义）
1. 在平面直角坐标系中，直线 交 y 轴于点 B，交 x 轴于点 A，抛物线
经过点 B，与直线 交于点 C(4，-2)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，横坐标为 m 的点 M 在直线 BC 上方的抛物线上，过点 M 作 ME∥y 轴交直线 BC
于点 E，以 ME 为直径的圆交直线 BC 于另一点 D，当点 E 在 x 轴上时，求△DEM 的周长；
（3）将△AOB 绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转 90°，得到△A1O1B1，点 A，O，
B 的对应点分别是 A1，O1，B1，若△A1O1B1 的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出
点 A1 的坐标．
3 14y x= − +
21
2y x bx c= − + + 3 14y x= − +
O
M
E
D
C
B
A
y
x
O
y
x
O
y
x2
2. 如图，已知抛物线 （b 是实数且 b＞2）与 x 轴的正半轴交于
点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C．
（1）点 B 的坐标为________，点 C 的坐标为________（用含 b 的代数式表示）．
（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且△PBC
是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请
说明
理由．
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得△QCO，△QOA 和△QAB 中的任
意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如
果不存在，请说明理由．
21 1 ( 1)4 4 4
by x b x= − + +
y
xO
C
BA
P
A B
C
O x
y y
xO A3
3. 如图，已知二次函数 y=x2+(1-m)x-m（其中 0＜m＜1）的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点
A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，P 为对称轴 l 上一点，且 PA=PC．
（1）∠ABC 的度数为________．
（2）求点 P 的坐标（用含 m 的代数式表示）．
（3）在坐标轴上是否存在点 Q（与原点 O 不重合），使得以 Q，B，C 为顶点的三角形
与△PAC 相似，且线段 PQ 的长度最小？若存在，求出所有满足条件的点 Q 的坐标；若
不存在，请说明理由．
P
C
BA
l
y
xO
P
C
BA
l
y
xO
P
C
BA
l
y
xO4
4. 已知抛物线 y=ax2+bx+c，其中 2a=b＞0＞c，且 a+b+c=0．
（1）直接写出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根；
（2）证明：抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 A 在第三象限；
（3）直线 y=x+m 与 x，y 轴分别相交于 B，C 两点，与抛物线 y=ax2+bx+c 相交于 A，D
两点．设抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴与 x 轴相交于点 E．如果在对称轴左侧的抛物线
上存在点 F，使得△ADF 与△BOC 相似，并且 S△ADF= S△ADE，求此时抛物线的表达式．1
2
O
y
x5
【参考答案】
1. （1）抛物线的解析式为 ；
（2）△DEM 的周长为 ；
（3）A1 的坐标为( ， )或( ， )．
2. （1）(b，0)；(0， )；
（2）存在，点 P 的坐标为( ， )；
（3）存在，点 Q 的坐标为(1， )或(1，4)．
3. （1）45°；
（2）P( ， )；
（3）存在，点 Q 的坐标为( ，0)或(0， )．
O
y
x
21 5 12 4y x x= − + +
64
15
7
12
− 29
288
3
4
31
96
4
b
16
5
16
5
2 3+
1
2
m − 1
2
m−
2
5
− 2
56
4. （1）x=1；
（2）证明略；
（3）此时抛物线的解析式为 y=x2+2x-3．
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