1
第 6 讲、分析特征转化——逆向思考（讲义）
1. 如图，已知抛物线 的顶点为 D，并与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 在点 B
的左侧），与 y 轴相交于点 C．
（1）求点 A，B，C，D 的坐标．
（2）取点 E( ，0)和点 F(0， )，直线 l 经过 E，F 两点，点 G 是线段 BD 的中
点．
①判断点 G 是否在直线 l 上，请说明理由．
②在抛物线上是否存在点 M，使点 M 关于直线 l 的对称点在 x 轴上？若存在，求出点 M
的坐标；若不存在，请说明理由．
2 73 4y x x= − −
3
2
− 3
4
−
x
y
OA
C
B
D
x
y
OA
C
B
D
x
y
OA
C
B
D2
2. 如图 1，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与坐标轴交于 A，B，
C 三点，其中点 A 的坐标为(-3，0)，点B 的坐标为(4，0)，连接AC，BC．动点 P 从点 A
出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O
出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动，当其中一点到达终
点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒，连接 PQ．
（1）填空：b=_________，c=__________；
（2）如图 2，点 N 的坐标为( ，0)，线段 PQ 的中点为 H，连接 NH，当点 Q 关于直
线 NH 的对称点 Q′恰好落在线段 BC 上时，求出点 Q′的坐标．
图 1 图 2
3. 如图，抛物线 y=-x2+2x+3 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，直线 l：
过点 C，交 x 轴于点 E．点 Q 在 x 轴的正半轴上运动，过 Q 作 y 轴的平行线，交直线 l
于点 M，交抛物线于点 N．连接 CN，将△CMN 沿 CN 翻折，M 的对应点为 M′．探究：是
否存在点 Q，使得 M′恰好落在 y 轴上？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说
明理由．
21
3y x bx c= − + +
3
2
−
y
xO Q
P
C
BA
H
N
y
xO Q
P
C
BA
3 34y x= − +
y
xO
C
BA
备用图3
4. 如图，曲线 l 是由函数 在第一象限内的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 45°得到
的，过点 A ，B 的直线与曲线 l 相交于点 M，N，求△OMN
的面积．
A B
C
O E x
y
A B
C
O E x
y
6y x
=
( 4 2 4 2)− ， (2 2 2 2)，4
5. 如图 1，直线 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C(0，4)．
抛物线 经过点 A，交 y 轴于点 B(0，-2)．点 P 为抛物线上一个动点，
过点 P 作 x 轴的垂线 PD，过点 B 作 BD⊥PD 于点 D，连接 PB，设点 P 的横坐标为 m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段 PD 的长；
（3）如图 2，将△BDP 绕点 B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，
当点 P 的对应点 P′落在坐标轴上时，请直接写出点 P 的坐标．
y
x
N
M
O
B
A
y
xO
4
3y x n= − +
22
3y x bx c= + +5
【参考答案】
1. （1）A( ，0)，B( ，0)，C(0， )，D( ，-4)；
（2）①G 在直线 l 上，理由略；
②存在，M1( ，-4)，M2( ， )．
2. （1） ；4；
（2）Q′( ， )．
3. 存在，Q1( ，0)，Q2(4，0)．
4. △OMN 的面积为 8．
1
2
− 7
2
7
4
− 3
2
3
2
1
6
20
9
−
1
3
6
7
22
7
3
2
备用图
C
O
y
A
B
x
备用图
C
O
y
A
B
x6
5. （1）抛物线的解析式为 ；
（2）线段 PD 的长为 或 ；
（3）P1( ， )，P2( ， )，P3( ， )．
22 4 23 3y x x= − −
1
2
7
2
5 4 5 4
3
− +
5− 4 5 4
3
+ 25
8
11
32
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