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第 5 讲、分析特征转化——整体思考（讲义）
1. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(0，-1)，顶点C 在
第一象限，直角顶点 B 在第四象限，且 AB∥x 轴．已知抛物线 过 A，
B 两点，顶点为 P．
（1）求点 B，C 的坐标．
（2）平移抛物线 ，使顶点 P 在直线 AC 上滑动，且与 AC 交于另一点
Q．若点 M 在直线 AC 下方，且为平移前抛物线上的点，当以 M，P，Q 为顶点的三角形是
等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点 M 的坐标．
21 2 12y x x= − + −
21 2 12y x x= − + −
y
xO
C
BA A
C
O x
y2
2. 如图 1，二次函数 的图象与一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象交于 A，B
两点，点 A 的坐标为(0，1)，点 B 在第一象限内，点 C 是二次函数图象的顶点，点 M 是
一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象与 x 轴的交点，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 N，且
S△AMO:S 四边形 AONB=1:48．
（1）求直线 AB 和直线 BC 的解析式；
（2）如图 2，直线 AB 上有一点 K(3，4)，将二次函数 沿直线 BC 平移，
平移的距离是 t（t≥0），平移后抛物线上点 A，C 的对应点分别为点 A′，C′．当
△A′C′K 是直角三角形时，求 t 的值．
图 1 图 2
21 2 12y x x= − +
21 2 12y x x= − +
y
xO NM
C
B
A
K
y
xO NC
B
A3
3. 已知抛物线 C1：y=x2．如图 1，平移抛物线 C1 得到抛物线 C2，C2 经过 C1 的顶点 O 和 A(2，
0)，C2 的对称轴分别交 C1，C2 于点 B，D．
（1）求抛物线 C2 的解析式．
（2）探究四边形 ODAB 的形状，并证明你的结论．
（3）如图 2，将抛物线 C2 向下平移 m 个单位（m＞0）得到抛物线 C3，C3 的顶点为 G，
与 y 轴交于点 M．点 N 是点 M 关于 x 轴的对称点，点 P 在直线 MG 上．当 m
为何值时，在抛物线 C3 上存在点 Q，使得以 M，N，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形？
4( )3 3
m m− ，
D
A
B
O
C1
C2
x
y
图1
P
G
N
M
C3
O x
y
图24
4. 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A，B 两点，顶
点为 D(0，4)，AB= ，设点 F(m，0)是 x 轴的正半轴上一点，将抛物线 C 绕点 F 旋转
180°，得到新的抛物线 C′．
（1）求抛物线 C 的函数表达式．
（2）若抛物线 C′与抛物线 C 在 y 轴右侧有两个不同的公共
点，求 m 的取值范围．
（3）如图 2，P 是第一象限内抛物线 C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 P 在抛物
线 C′上的对应点为 P′，设 M 是 C 上的动点，N 是 C′上的动点，试探究四边形 PMP′N
能否成为正方形？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由．
图 1
图 2
4 2
y
x
C'
F
D
C
B
O
A
P
y
x
C
O5
【参考答案】
1. （1）B(4，-1)；C(4，3)；
（2）点 M 的坐标为(4，-1)， ，(-2，-7)，或
．
2. （1）lAB：y=x+1；lBC：y=2x-5；
（2）当△A′C′K 是直角三角形时，t 的值为 0， ， 或 ．
3. （1）抛物线 C2 的解析式为 y=x2-2x；
（2）四边形 ODAB 为正方形，证明略；
（3）当 m 的值为 或 时，在抛物线 C3 上存在点 Q，使得以 M，N，P，Q 为顶点的四
边形为平行四边形．
4. （1）抛物线 C 的函数表达式为 ；
（2）2＜m＜ ；
（3）能，m 的值为 或 6．
(1 5 2 5)+ − +，
(1 5 2 5)− − −，
4 5 2 5 2+ 2 5 2−
3
8
15
8
21 42y x= − +
2 2
3 17− +
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