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第 10 讲、依据特征构造——最值问题（讲义）
1. 如图，抛物线 y=-x2+bx+c 与直线 AB 交于 A(-4，-4)， B(0，4)两点，直线 AC：
交 y 轴于点 C，点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EF⊥x 轴交 AC 于点 F，
交抛物线于点 G．
（1）求抛物线 y=-x2+bx+c 的表达式．
（2）连接 GB，EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标．
（3）①在 y 轴上存在一点 H，连接 EH，HF，当点 E 运动到什么位置时，以 A，E，F，H
为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E，H 的坐标；
②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为⊙E 上一动点，求 AM+CM
的最小值．
1 62y x= − −
1
2
y
x
G
O
F
E
C
B
A
y
xO
C
B
A
y
xO
C
B
A2
2. 如图，抛物线 y=ax2+bx-a-b（a＜0，a，b 为常数）与 x 轴交于 A，C 两点，与 y 轴交于
点 B，直线 AB 的函数关系式为 ．
（1）求该抛物线的函数关系式与点 C 的坐标．
（2）已知点 M(m，0)是线段 OA 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线 l 分别与直线 AB
和抛物线交于 D，E 两点，当 m 为何值时，△BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形时，动点 M 相应位
置记为点 M′，将 OM′绕原点 O 顺时针旋转得到 ON（旋转角在 0°到 90°之间）．
i．探究：线段 OB 上是否存在定点 P（P 不与 O，B 重合），无论 ON 如何旋转， 始
终保持不变．若存在，试求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．
ii．试求出此旋转过程中，(NA+ NB)的最小值．
8 16
9 3y x= +
NP
NB
3
4
l
y
xOM
E
D
C
B
A
y
xO
C
B
A
y
xO
C
B
A3
3. 已知抛物线 y=a(x+3)(x-1)（a≠0），与 x 轴从左至右依次相交于 A，B 两点，与 y 轴
相交于点 C，经过点 A 的直线 与抛物线的另一个交点为 D．
（1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点 P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形与△ABC 相
似，求点 P 的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点 E 是线段 AD 上的一点（不含端点），连接 BE．一动点 Q
从点 B 出发，沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线段 ED 以每秒
个单位的速度运动到点 D 后停止，则当点 E 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中
所用时间最少？
3y x b= − +
2 3
3
y
xO
D
C
BA
y
xO
D
C
BA
y
xO
D
C
BA4
4. 如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过 B(-1，0)，D(-2，5)两点，与 x 轴另一交点为 A，点 H 是
线段 AB 上一动点，过点 H 的直线 PQ⊥x 轴，分别交直线 AD、抛物线于点 Q，P．
（1）求抛物线的解析式．
（2）是否存在点 P，使∠APB=90°？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，说明理
由．
（3）连接 BQ，一动点 M 从点 B 出发，沿线段 BQ 以每秒 1 个单位的速度运动到 Q，再沿
线段 QD 以每秒 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 Q 的坐标是多少时，点 M 在整
个运动过程中的用时 t 最少？
2
y
xH
Q
P
O
D
C
B A5
备用图
【参考答案】
1. （1）抛物线的表达式为 y=-x2-2x+4；
（2）点 G 的坐标为(-2，4)；
（3）①此时 E(-2，0)，H(0，-1)；
② AM+CM 的最小值为 ．
2. （1）抛物线的函数表达式为 ；C(1，0)；
（2）当 m=-4 时，△BDE 恰好是以 DE 为底边的等腰三角形；
（3）i．存在，P 点坐标为(0，3)；
ii．(NA+ NB)的最小值为 ．
3. （1）抛物线的函数解析式为 ；
（2）点 P 的坐标为(-4， )或(-6， )；
y
xH
Q
P
O
D
C
B A
1
2
5 5
2
28 40 16
9 9 3y x x= − − +
3
4 3 5
23 2 3 3 3y x x= − − +
15
3
− 3 7−6
（3）当点 E 的坐标为(1， )时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少．
4. （1）抛物线的解析式为 y=x2-2x-3；
（2）存在，点 P 的横坐标为 或 ；
（3）当点 Q 的坐标为(-1，4)时，点 M 在整个运动过程中的用时 t 最少．
4 3−
1 3+ 1 3−
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