1
第 9 讲、依据特征构造——补全模型（讲义）
1. 如图，在△ABC 中，AB=AC= ，∠BAC=120°，点 D，E 都在 BC 上，∠DAE=60°，若
BD=2CE，则 DE 的长为_____．
2. 如图，在矩形 ABCD 中，将∠ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边
B′C′交 CD 边于点 G．连接 BB′，CC′，若 AD=7，CG=4，AB′=B′G，则 的值是
________．
3. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将 AB 边绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AD，将 AC
边绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段 CE，AE 与 BD 交于点 F．若 DF= ，EF= ，则
BC 边的长为____________．
2 3
A
D CB E
A
D CB E
CC
BB
′
′
C'
B'
G
D
CB
A C'
B'
G
D
CB
A
2 2 2
F
D
E
CB
A
F
D
E
CB
A2
4. 如图，已知△ABC 是等边三角形，直线 l 过点 C，分别过 A，B 两点作 AD⊥l 于点 D，作 BE
⊥l 于点 E．若 AD=4，BE=7，则△ABC 的面积为____________．
5. 如图，△ABC 和△CDE 均为等边三角形，连接 BD，AE．
（1）如图 1，证明：BD=AE．
（2）如图 2，如果 D 在 AC 边上，BD 交 AE 于点 F，连接 CF，过 E 作 EH⊥CF 于点 H，若
FB-FA=6，CF=4DF，求 CH 的长．
图 1 图 2
lED C
B
A
E
D
C
B
A
D
H
F
E
A
B
C
lED C
B
A3
6. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于 A，B 两点，
交 y 轴于点 C，直线 y=x-3 经过 B，C 两点．
（1）过点 C 作直线 CD⊥y 轴交抛物线于另一点 D，点 P 是直线 CD 下方抛物线上的一个
动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，PE 交 CD 于点 F，交 BC 于
点 M，连接 AC，过点 M 作 MN⊥AC 于点 N，设点 P 的横坐标为 t，线段 MN 的长为 d，求 d
与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，连接 PC，过点 B 作 BQ⊥PC 于点 Q（点 Q 在线段 PC 上），BQ
交 CD 于点 T，连接 OQ 交 CD 于点 S，当 ST=TD 时，求线段 MN 的长．
y
xO
C
BA
y
xO
C
BA
y
xO
C
BA4
7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物
线 经过 A，C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点．
①连接 BC，CD，设直线 BD 交线段 AC 于点 E，△CDE 的面积为 S1，△BCE 的面积为 S2，
求 的最大值．
②过点 D 作 DF⊥AC，垂足为点 F，连接 CD，是否存在点 D，使得△CDF 中的某个角恰好
等于∠BAC 的 2 倍？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
1 22y x= +
21
2y x bx c= − + +
1
2
S
S
y
xO
E
D C
BA5
【参考答案】
1.
2.
3.
4.
5. （1）证明略；
（2）CH 的长为 ．
6. （1） ；
y
xO
C
BA
3 3 3−
74
5
7 1−
37 3
3
15
4
2 10
5d t=6
（2）线段 MN 的长为 ．
7. （1）抛物线的函数表达式为 ；
（2）① 的最大值为 ；
②存在，点 D 的坐标为(-2，3)，( ， )．
3 10
5
21 3 22 2y x x= − − +
1
2
S
S
4
5
29
11
− 300
121
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