2018年中考数学满分冲刺讲义第8讲类比结构构造_类比探究.doc

1 第 8 讲、类比结构构造——类比探究（讲义） 1. 我们定义：如图 1，在△ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转 α（0°＜α＜180°）得到 AB′，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 β 得到 AC′，连接 B′C′．当 α+β=180°时，我们 称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边 B′C′上的中线 AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点 A 叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图 2、图 3 中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中 线”． ①如图 2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与 BC 的数量关系为 AD=_____BC； ②如图 3，当∠BAC=90°，BC=8 时，则 AD 的长为_________． 猜想论证： （2）在图 1 中，当△ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用 （3）如图 4，四边形 ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD= ，DA=6．在四边 形内部是否存在点 P，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，请给予证 明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由． 图 1 图 2 2 3 βα C' B' D CB A A B C D B' C' D C BA 图 4 图 32 2. 【探索发现】 如图 1，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积 最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE，EF 剪下时，所得的矩形的面积最 大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比 值为________． 【拓展应用】 如图 2，在△ABC 中，BC=a，BC 边上的高 AD=h，矩形 PQMN 的顶点 P，N 分别在边 AB，AC 上，顶点 Q，M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值为__________（用含 a，h 的代数 式表示）． 【灵活应用】 如图 3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了 一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】 如图 4，现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB=50cm，BC=108 cm，CD=60 cm，且 ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M，N 在边 BC 上且面积最大 的矩形 PQMN，求该矩形的面积． 图 1 图 2 图 3 4tan tan 3B C= = F E D CB A A B CD EF A B CD E M NP Q A B C D E 图（1） 图（2） 图（3） E D CB A A B C D D CB A 图（4） 备用图 A B C D D CB A 图（4） 备用图图 4 备用图3 3. 折纸的思考． 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片 ABCD（AB＞BC）（如图 1），使 AB 与 DC 重合，得到折痕 EF， 把纸片展平（如图 2）． 第二步，如图 3，再一次折叠纸片，使点 C 落在 EF 上的 P 处，并使折痕经过点 B，得到 折痕 BG，折出 PB，PC，得到 △PBC． 图 1 图 2 图 3 （1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】 （2）如图 4，小明画出了图 3 的矩形 ABCD 和等边三角形 PBC．他发现，在矩形 ABCD 中 把△PBC 经过图形变化，可以得到图 5 中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过 程． 图 4 图 5 （3）已知矩形一边长为 3 cm，另一边长为 a cm．对于每一个确定的 a 的值，在矩形中 D CB A F E D CB A E F G P D CB A P D CB A D CB A4 都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的 a 的取值范围． 【问题解决】 （4）从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为 4 cm 和 1 cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为__________cm． 4. 已知四边形 ABCD 的一组对边 AD，BC 的延长线交于点 E． （1）如图 1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED·EA=EC·EB． （2）如图 2，若∠ABC=120°，cos∠ADC= ，CD=5，AB=12，△CDE 的面积为 6，求四 边形 ABCD 的面积． （3）如图 3，另一组对边 AB，DC 的延长线相交于点 F．若 cos∠ABC=cos∠ADC= ， CD=5，CF=ED=n，直接写出 AD 的长（用含 n 的式子表示）． 图 1 图 2 图 3 3 5 3 5 E D C B A E D C B A F E D C B A5 【参考答案】 1. （1）① ；②4； （2）AD= BC，证明略； （3）存在，“旋补中线”长为 ． 2. 【探索发现】 ； 【拓展应用】 ； 【灵活应用】该矩形的面积为 720； 【实际应用】该矩形的面积为 1 944 cm2． 3. （1）证明略； （2）先将△BPC 按点 B 逆时针旋转某个适当角度得△BP1C1，再将△BP1C1 以 B 为位似中 心放大，使点 C1 的对应点 C2 落在边 CD 上，得到△BP2C2； （3）略； （4） ． 4. （1）证明略； （2）四边形 ABCD 的面积为 ； 1 2 1 2 39 1 2 1 4 ah 16 5 75 18 3−6 （3）AD 的长为 ．5 25 6 n n + +