1
第 4 讲、依据背景转化（讲义）
1. 已知点 A(-1，1)，B(4，6)在抛物线 y=ax2+bx 上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图 1，点 F 的坐标为(0，m)（m＞2），直线 AF 交抛物线于另一点 G，过点 G 作
x 轴的垂线，垂足为 H．设抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E，连接 FH，AE，求证：FH∥
AE．
（3）如图 2，直线 AB 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点．点 P 从点 C 出发，沿射线 CD 方
向匀速运动，速度为每秒 个单位长度；同时点 Q 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向匀速
运动，速度为每秒 1 个单位长度．点 M 是直线 PQ 与抛物线的一个交点，当运动到 t 秒
时，QM=2PM，直接写出 t 的值．
图 1 图 2
2
y
xH
G
F
EO
A
D
C
B
y
xO
A
D
C
B
y
xO
A2
2. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(-2，0)，点 B 的坐标为(0，2)，点 E 为线
段 AB 上的一动点（点 E 不与点 A，B 重合）．以 E 为顶点作∠OET=45°，射线 ET 交线
段
OB 于点 F，C 为 y 轴正半轴上一点，且 OC=AB，抛物线
经过 A，C 两点．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）当△EOF 为等腰三角形时，求点 E 的坐标．
（3）在（2）的条件下，设直线 EF 交 x 轴于点 D，P 为（1）中抛物线上一动点，直线 PE
交 x 轴于点 G，在直线 EF 上方的抛物线上是否存在一点 P，使得△EPF 的面积是△EDG
面积的 倍？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
22y x mx n= − + +
(2 2 1)+3
3. 抛物线 y=ax2-bx+4（a≠0）过点 A(1，-1)，B(5，-1)，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）如图，⊙O1 过 A，B，C 三点，AE 为直径，点 M 为ACE︵
上的一动点（不与点 A，E 重
合），连接 MB，作 BN⊥MB 交 ME 的延长线于点 N，求线段 BN 长度的最大值．
O1
M
N
E
A B
C
O x
y
图2
O1
M
N
E
A B
C
O x
y
图24
4. 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于点 A(6，0)，B(0，8)，点
C 的坐标为(0，m)，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，点 D 为 x 轴上的一动点，连接 CD，DE，
以 CD，DE 为边作□CDEF．
（1）当 0＜m＜8 时，求 CE 的长（用含 m 的代数式表示）；
（2）点 D 在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得□CDEF 为矩形，请求出所有满
足条件的 m 的值．
F
E
D
A
x
B
C
O
y y
O
B
x
A
y
O
B
x
A5
【参考答案】
1. （1）抛物线的解析式为 ；
（2）证明略；
（3）t 的值为 ， ， 或 ．
2. （1）抛物线的函数表达式为 ；
（2）E1(- ，2- )，E2(-1，1)；
（3）P1(-1， )，P2(0， )．
3. （1）抛物线的函数表达式为 y=x2-6x+4；
（2）BN 长度的最大值为 ．
4. （1）CE 的长为 ；
21 1
2 2y x x= −
15 113
6
+ 15 113
6
− 13 89
2
+ 13 89
2
−
22 2 2 2y x x= − − +
2 2
2 2 2 2
3 13
3(8 )
5
m−6
（2）满足条件的 m 的值为 0， ， 或 ．6
7
9
2
− 96
13
−
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