第
20
章
函数
本章总结提升
知识框架
整合提升
第
20
章
函数
本章总结提升
知识框架
实际问题
常量
变量
函数
函数的表示
表达式
数值表
图像
整合提升
问题
1
函数的概念
本章总结提升
在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，怎样判别自变量和函数呢？
本章总结提升
例
1
已知变量
x
与
y
有如下关系：
y
＝
x
，
y
＝
|
x
|
，
|
y
|
＝
x
，
x
2
－
y
＝
0
，
x
－
y
2
＝
0.
其中，
y
是
x
的函数的有
个
.
[
解析
]
根据函数的定义，由于
|y|
＝
x
与
x
－
y
2
＝
0
中，
x
每取一个大于
0
的值时，
y
都有两个值与它对应，因此这两个关系式中
y
不是
x
的函数，而
y
＝
x
，
y
＝
|x|
，
x
2
－
y
＝
0
中，对于
x
的每一个值，
y
都有唯一的一个值与之对应，因此这三个关系式中
y
是
x
的函数，故填
3.
3
本章总结提升
例
2
下列图形中的曲线不表示
y
是
x
的函数的是（ ）
图
20
－
T
－
1
C
[
解析
]
过
x
轴上一点作
x
轴的垂线，若与函数图像有且仅有一个交点，则该图像表示函数的图像；若与函数图像有不止一个交点，则该图像不是函数图像．在
C
选项中，过
x
轴上一点作
x
轴的垂线与图像有两个交点，所以不是函数图像．故选
C.
本章总结提升
本章总结提升
【归纳总结】
判断变量和函数主要看三点：
（
1
）变量和函数是否存在于同一个变化过程中；
（
2
）自变量有一定的取值范围；
（
3
）在取值范围内，自变量取一个值，函数都有唯一的一个值和它对应，对于图像来说，可以过图像上任意一点作垂直于
x
轴的直线，若此直线与图像只有一个交点则是函数，否则不是
.
问题
2
函数的表示
本章总结提升
根据函数反映的内容，选择不同的表示方法
.
函数的表示方法有三种，分别是哪三种呢？你能说出它们的特点吗？
本章总结提升
例
3
已知
A
，
B
两地相距
200
千米，一辆汽车以每小时
60
千米的速度从
A
地匀速驶往
B
地，到达
B
地后不再行驶，设汽车行驶的时间为
x
小时，汽车与
B
地的距离为
y
千米
.
（
1
）求
y
与
x
之间的函数关系式，并写出自变量
x
的取值范围；
（
2
）当汽车行驶了
2
小时时，求汽车距离
B
地多少千米；
（
3
）画出对应的函数图像
.
本章总结提升
[
解析
]
(1)
根据
“
剩余的距离＝两地的距离－行驶的距离
”
即可得到
y
与
x
的函数关系式，然后再计算汽车行驶
200
千米所需要的时间即可求得
x
的取值范围．
(2)
将
x
＝
2
代入函数关系式，求得
y
值即可．
本章总结提升
【归纳总结】
函数的表示方法的优缺点及联系：
表示方法
优点
缺点
联系
数值表
直接找到自变量和函数的对应值，容易得出函数和自变量的关系
数据有限
解决问题时，常常综合运用这三种表示方法，并且三者之间可以互相转化
图像
直观、形象地反映两个变量之间的关系
根据图像所得数据不是很准确
表达式
全面、准确地反映两个变量之间的关系
不能反映函数的变化趋势
问题
3
函数及自变量的取值或取值范围
本章总结提升
函数自变量的取值范围由两个条件所确定：一是使函数表达式有意义，二是使所描述的实际问题有意义
.
函数的表达式分别是整式、分式和二次根式时，请你说出它们的自变量的取值范围分别是什么？函数值的常见确定方法有哪些？
本章总结提升
[
解析
]
由题意，得
x
－
3≠0
，解得
x≠3.
因此，本题选
C.
C
本章总结提升
C
（
3
）拖拉机开始工作时，油箱中有油
36 L
，如果每小时耗油
4 L
，那么油箱中剩余油量
y
（
L
）与工作时间
x
（
h
）之间的函数关系式是
，自变量
x
的取值范围是
.
y
＝
36
－
4x
0≤x≤9
[
解析
]
每小时耗油
4 L
，则
x
小时耗油
4x L
，则剩余油量
y(L)
与工作时间
x(h)
之间的函数关系式是
y
＝
36
－
4x
；
当
y
＝
0
时，
36
－
4x
＝
0
，解得
x
＝
9.
所以自变量
x
的取值范围是
0≤x≤9.
本章总结提升
本章总结提升
【归纳总结】
函数自变量的取值范围和函数值的确定：
（
1
）函数自变量的取值范围通常会从自变量所在的关系式是不是分式、二次根式、零次幂或负整数次幂等方面考虑或综合考虑；
（
2
）函数值可以借助数值表、图像或函数关系式灵活确定
.
问题
4
函数的应用
本章总结提升
函数来源于现实生活，最后也要回归于现实生活
.
运用函数的知识解决一些简单的实际问题，体会函数的实用性
.
请你回忆一下，解决函数的实际问题时，都用到了哪些数学思想呢？
本章总结提升
例
5
如图
20
－
T
－
2
所示，
l
A
，
l
B
分别表示
A
步行与
B
骑车在同一条路上行驶的路程
s
（千米）与时间
t
（时）的关系
.
（
1
）
B
出发时与
A
相距
千米；
（
2
）
B
走了一段路程后，自行车发生故障，
进行修理，所用的时间是
小时；
（
3
）
B
出发后
小时与
A
相遇；
图
20
－
T
－
2
10
1
3
本章总结提升
（
4
）若
B
的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，
小时后与
A
相遇，相遇点离
B
的出发点
千米；
（
5
）求出
A
行走的路程
s
（千米）与时间
t
（时）之间的函数关系式
.
图
20
－
T
－
2
本章总结提升
本章总结提升
【归纳总结】
函数中常用的两种数学思想：
1.
数形结合思想的思维模式：
2.
分类讨论思想的思维模式：
本章总结提升
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