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实数
章末小结与提升
实
数
{平方根{定义:若x2 = a,则x叫做a的平方根,|x|叫做a的算术平方根(规定:0的算术平方根是0)
性质:一个正数有 两 个平方根,它们互为相反数;0的平方根是 0 ;负数没有平方根
开平方:求一个数的平方根的运算
立方根{定义:若x3 = a,则x叫做a的立方根
性质:正数的立方根是正数;0的立方根是 0 ;负数的立方根是 负数
开立方:求一个数的立方根的运算
实数{分类{有理数:整数和分数
无理数:无限不循环小数
性质:实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数的一样
运算:有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用;开平(立)方与乘方是同级运算
实数与数轴:实数与数轴上的点 一一对应
类型 1 算术平方根、平方根和立方根的概念
典例 1 已知 2a-1 的立方根是 3,42+b-1 的算术平方根是 6,则 a+2b 的平方根
是 .
【解析】根据题意,得 2a-1=27,42+b-1=36,解得 a=14,b=-5,则 a+2b=14-10=4,4 的平方根是
±2.
【答案】 ±2
【针对训练】
1.若 102.01=10.1,则 1.0201= 1.01 .
2.一个正数 x 的两个平方根分别是 2a-1 和-a+2.
(1)求 a 和 x 的值;
(2)化简:2|a+ 2|+|x-2 2|-|3a+x|.
解:(1)由题意得(2a-1)+(-a+2)=0,解得 a=-1,∴x=(2a-1)2=(-3)2=9.
(2)原式=2×|-1+ 2|+|9-2 2|-|3×(-1)+9|=2 2-2+9-2 2-6=1.
类型 2 算术平方根的非负性
典例 2 若 a - 2+|b+ 5|=0,则|a+b|= .
【解析】∵ a - 2≥0,|b+ 5|≥0,∴a=2,b=- 5,∴a+b=2- 54-3,所以 3×4 是
12 的最佳分解,所以 F(12)=3
4.
(1)如果一个正整数 a 是另外一个正整数 b 的平方,我们称正整数 a 是完全平方数.求证:对
任意一个完全平方数 m,总有 F(m)=1;
(2)如果有一个两位正整数 t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y 为自然数),交换其个位上的数字与
十位上的数字得到的新数减去原来的两位正整数,所得的差为 18,那么我们称这个数 t 为
“吉祥数”,求所有“吉祥数”中 F(t)的最大值.4
解:(1)对任意一个完全平方数 m,设 m=n2(n 为正整数),
∵|n-n|=0,∴n×n 是 m 的最佳分解,
∴对任意一个完全平方数 m,总有 F(m)=n
n=1.
(2)设交换 t 的个位上的数字与十位上的数字,得到的新数为 t',则 t'=10y+x,
∵t 为“吉祥数”,∴t'-t=(10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=18,
∴y=x+2.
∵1≤x≤y≤9,x,y 为自然数,∴“吉祥数”有 13,24,35,46,57,68,79,∴F(13)= 1
13,F(24)=4
6
= 2
3,F(35)=5
7,F(46)= 2
23,F(57)= 3
19,F(68)= 4
17,F(79)= 1
79,
∵5
7 > 2
3 > 4
17 > 3
19 > 2
23 > 1
13 > 1
79,
∴所有“吉祥数”中,F(t)的最大值是5
7.
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