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第 1 课时 实数的有关概念
知识要点基础练
知识点 1 无理数的概念
1.下列说法正确的是 (C)
A.无限小数是无理数
B.无限循环小数是无理数
C.没有绝对值最小的无理数
D.所有带根号的数都是无理数
2.在-4,1
2,0,π
3 ,1,-32
7,1.
·
6这些数中,是无理数的是 π
3 .
知识点 2 实数的概念及其分类
3.实数14
3 是 (C)
A.整数 B.无理数 C.有理数 D.自然数
4.把下列各数填入相应的集合内:3.14159,1.14141, 64,3 64,π,- 8,3 -0.125,
25
36,0.6, 12.
解:
知识点 3 实数与数轴的关系
5.下列命题正确的是 (D)
A.有限小数不是有理数
B.循环小数是无理数
C.数轴上的点与有理数一一对应
D.数轴上的点与实数一一对应2
6.如图,在数轴上标有字母的各点中,与实数 5对应的点可能是 (C)
A.A B.B C.C D.D
综合能力提升练
7.下列实数中的无理数是 (C)
A. 1.21 B.3 -8
C.
3 3
2 D.22
7
8.下列说法正确的有 (B)
① 2
2 是分数;② 2
2 是实数;③ 2
2 是有理数;④ 2
2 是无理数.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
9.若 a,b 和 a + b都是有理数,则 (A)
A. a, b都是有理数
B. a, b都是无理数
C. a, b都是有理数或都是无理数
D. a, b中有理数和无理数各一个
10.实数 2
3 ,3 27,-5π, 16,8
3,0.
·
8
·
3,0.1010010001…(相邻两个 1 之间依次多一个 0),其
中无理数有 (C)
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
11.有下列说法:①无理数是无限不循环小数;②无限小数都是无理数;③π
2 是分数;④3< 15
0 B.a-b|b| B.|ac|=ac
C.b0
13.关于 14的叙述,错误的是 (A)
A. 14是有理数
B.面积为 14 的正方形的边长是 14
C. 14是 14 的算术平方根
D.在数轴上可以找到表示 14的点
14.如图,在数轴上,点 A 表示 1,现将点 A 沿数轴作如下移动:第 1 次将点 A 向左移动 3 个单
位长度到达点 A1;第 2 次将点 A1 向右平移 6 个单位长度到达点 A2;第 3 次将点 A2 向左移动
9 个单位长度到达点 A3;…,则第 6 次移动到点 A6 时,点 A6 在数轴上对应的实数是 10 .按
照这种规律移动下去,至少移动 27 次后该点到原点的距离不小于 41.
15.把下列各数填入相应的集合内:-1
2,- 3, 2
3 , 81
4 ,-3 17,0,-π,-117
3 ,-1.8
·
1
·
8.
有理数集合{ - 1
2, 81
4 ,0, - 117
3 , - 1.8
·
1
·
8 };
无理数集合{ - 3, 2
3 , - 3 17, - π };
正实数集合{ 2
3 , 81
4 };
负实数集合 -1
2,- 3,-3 17,-π,-117
3 ,
·
-1.81
·
8 .
16.已知实数 x,y 满足关系式 4x - 32 + 1+|y2-9|=0.
(1)求 x,y 的值;
(2)判断x y + 6是有理数还是无理数?并说明理由.
解:(1)由题意得 4x-32+1=0,解得 x=2;
y2-9=0,解得 y=3 或 y=-3.
(2)当 x=2,y=3 时,x y + 6 = 3 + 6=3,是有理数;
当 x=2,y=-3 时,x y + 6 = -3 + 6 = 3,是无理数.4
17.a 与 b 是两个不相等的有理数,试判断实数a + 3
b + 3是有理数还是无理数,并说明理由.
解:假设a + 3
b + 3是有理数,
设其为 A,即a + 3
b + 3=A,整理得 a+ 3=A(b+ 3).
由已知得 a=Ab,1=A,即 a=b,这与已知 a≠b 矛盾,
所以原假设a + 3
b + 3是有理数错误,
故a + 3
b + 3是无理数.
拓展探究突破练
18.定义:可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数,整数可以看作分母为 1 的有
理数;反之为无理数.如 2不能表示为两个互质整数的商,所以 2是无理数.
可以这样证明:
设 2 = a
b,a 与 b 是互质的两个整数,且 b≠0.则 2=a2
b2,a2=2b2.因为 b 是整数且不为 0,所以
a 是不为 0 的偶数,设 a=2n(n 是整数),所以 b2=2n2,所以 b 也是偶数,与 a,b 是互质的整数
矛盾.所以 2是无理数.
仔细阅读上文,请证明: 5是无理数.
解:设 5 = a
b,a 与 b 是互质的两个整数,且 b≠0.
则 5=a2
b2,a2=5b2.
因为 b 是整数且不为 0,所以 a 不为 0 且为 5 的倍数,
设 a=5n(n 是整数),所以 b2=5n2,
所以 b 也为 5 的倍数,与 a,b 是互质的整数矛盾,
所以 5是无理数.
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