江苏专用2019高考数学二轮复习专题四解析几何微专题7解析几何中定点与定值问题课件.pptx

微专题 7 解析几何中定点与定值问题 微专题7　解析几何中定点与定值问题     题型一　定点问题 例1     (2018高考数学模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : x 2 + y 2 = r 2 和直 线 l : x = a (其中 r 和 a 均为常数,且0< r < a ), M 为 l 上一动点, A 1 , A 2 为圆 C 与 x 轴的两个 交点,直线 MA 1 , MA 2 与圆 C 的另一个交点分别为 P , Q . (1)若 r =2,点 M 的坐标为(4,2),求直线 PQ 方程; (2)求证:直线 PQ 过定点,并求定点的坐标. 解析 　(1)当 r =2, M (4,2)时, A 1 (-2,0), A 2 (2,0), 直线 MA 1 的方程为 x -3 y +2=0. 由   得 P   . 直线 MA 2 的方程为 x - y -2=0.由   得 Q (0,-2). 所以直线 PQ 的方程为2 x - y -2=0. (2)由题设,得 A 1 (- r ,0), A 2 ( r ,0).设 M ( a , t ),直线 MA 1 的方程是 y =   ( x + r ),与圆 C 的 交点为 P ( x 1 , y 1 ),直线 MA 2 的方程是 y =   ( x - r ),与圆 C 的交点为 Q ( x 2 , y 2 ),则点 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 )在曲线[( a + r ) y - t ( x + r )][( a - r ) y - t ( x - r )]=0上. 化简,得( a 2 - r 2 ) y 2 -2 ty ( ax - r 2 )+ t 2 ( x 2 - r 2 )=0.① 又 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 )在圆 C 上,圆 C : x 2 + y 2 - r 2 =0.② 由①- t 2 × ②,得( a 2 - r 2 ) y 2 -2 ty ( ax - r 2 )+ t 2 ( x 2 - r 2 )- t 2 ( x 2 + y 2 - r 2 )=0. 化简,得( a 2 - r 2 ) y -2 t ( ax - r 2 )- t 2 y =0. 所以直线 PQ 的方程为( a 2 - r 2 ) y -2 t ( ax - r 2 )- t 2 y =0. 令 y =0,得 x =   ,所以直线 PQ 过定点   . 【方法归纳】    证明直线过定点,要弄清直线方程与哪个量无关,再整理为关 于这个量的恒等式,由其系数和常数项等于0求解. 与圆有关的定值问题,可以直接计算或证明,还可以先猜出定值,再给出证明. 这里采用的方法是先设出定值,再通过根据已知条件中的“恒成立”列方程 组进行求解. 与圆有关的定点问题,最终可以化为含有参数的动直线或动圆过定点问题.解 这类问题的关键是引入参数,求出动直线或动圆的方程. 圆锥曲线中定点问题的两种常用解法:①引进参数法,用动点的坐标或动直线 中系数为参数表示变化量,再研究变化量与参数之间的关系,找到定点.②特殊到一般法 , 根据动点或动直线的特殊情况探索出定点 , 再证明该定点与变量无关 . 1-1 　已知圆 O : x 2 + y 2 =9,点 A (-5,0),直线 l : x -2 y =0. (1)求与圆 O 相切,且与直线 l 垂直的直线方程; (2)若在直线 OA 上存在定点 B (不同于点 A ),满足:对于圆 O 上任一点 P ,都有   为一常数,试求所有满足条件的点 B 的坐标. 解析 　(1)设所求直线方程为 y =-2 x + b ,即2 x + y - b =0. 因为该直线与圆 O 相切,所以   =3.解得 b = ± 3   . 所以所求直线方程为 y =-2 x +3   或 y =-2 x -3   . (2)设 B ( t ,0), P ( x , y ),且   为常数 λ ,则| PB | 2 = λ 2 | PA | 2 . 所以( x - t ) 2 + y 2 = λ 2 [( x +5) 2 + y 2 ]①.将 y 2 =9- x 2 代入①, 得 x 2 -2 xt + t 2 +9- x 2 = λ 2 ( x 2 +10 x +25+9- x 2 ), 即2(5 λ 2 + t ) x +34 λ 2 - t 2 -9=0对 x ∈[-3,3]恒成立. 所以   解得   或   (舍去). 故满足题意的点 B 的坐标为   . 题型二　椭圆中的定值问题 例2     (2018苏锡常镇四市高三调研)如图,椭圆   +   =1( a > b >0)的离心率为   ,焦点到相应准线的距离为1,点 A , B , C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上 顶点,过点 C 的直线 l 交椭圆于点 D ,交 x 轴于点 M ( x 1 ,0),直线 AC 与直线 BD 交于点 N ( x 2 , y 2 ). (1)求椭圆的标准方程; (2)若   =2   ,求直线 l 的方程; (3)求证: x 1 · x 2 为定值. 解析 　(1)由椭圆的离心率为   ,焦点到对应准线的距离为1,得   解 得   所以椭圆的标准方程为   + y 2 =1. (2)由(1)知 C (0,1),设 D ( x 0 , y 0 ). 由   =2   ,得2 y 0 =-1,所以 y 0 =-   . 代入椭圆的方程,得 x 0 =   或-   . 所以 D   或 D   , 所以 l 的方程为 y =   x +1或 y =-   x +1. (3)设点 D 的坐标为( x 3 , y 3 ).由 C (0,1), M ( x 1 ,0)可得直线 CM 的方程 y =-   x +1, 与椭圆方程联立,得   解得 x 3 =   , y 3 =   . 由 B (   ,0),得直线 BD 的方程为 y =   ( x -   ),①直线 AC 方程为 y -   x +1.②联立①②,得 x 2 =   , 从而 x 1 x 1 =2为定值. 【方法归纳】    定值问题是解析几何中的一种常见问题,基本的求解方法是: 先用变量表示所需证明的不变量,然后通过推导并结合已知条件,消去变量, 得到定值. 2-1     (2018南通高三第二次调研)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, B 1 , B 2 是椭圆   +   =1( a > b >0)的短轴端点, P 是椭圆上异于点 B 1 , B 2 的一动点,当直线 PB 1 的 方程为 y = x +3时,线段 PB 1 的长为4   . (1)求椭圆的标准方程; (2)设点 Q 满足: QB 1 ⊥ PB 1 , QB 2 ⊥ PB 2 .求证:△ PB 1 B 2 与△ QB 1 B 2 的面积之比为定 值. 解析 　设 P ( x 0 , y 0 ), Q ( x 1 , y 1 ). (1)在 y = x +3中,令 x =0,得 y =3,从而 b =3. 由   得   +   =1. 所以 x 0 =-   .因为| PB | 1 =   =   | x 0 |, 所以4   =   ·   .解得 a 2 =18. 所以椭圆的标准方程为   +   =1. (2)设直线 PB 1 , PB 2 的斜率分别为 k , k ', 则直线 PB 1 的方程为 y = kx +3. 又 QB 1 ⊥ PB 1 ,所以直线 QB 1 的方程为 y =-   x +3. 将 y = kx +3代入   +   =1,得(2 k 2 +1) x 2 +12 kx =0. 因为 P 是椭圆上异于点 B 1 , B 2 的点,所以 x 0 ≠ 0, 从而 x 0 =-   . 因为点 P ( x 0 , y 0 )在椭圆   +   =1上,所以   +   =1, 从而   -9=-   . 所以 k · k '=   ·   =   =-   , k '=-   . 又 QB 2 ⊥ PB 2 ,所以直线 QB 2 的方程为 y =2 kx -3. 联立   解得 x =   ,即 x 1 =   . 所以   =   =   =2. 2-2     (2018苏州学业阳光指标调研)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :   +   = 1( a > b >0)的离心率为   ,椭圆上的动点 P 到一个焦点的距离的最小值为3(   - 1). (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知过点 M (0,-1)的动直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点,试判断以 AB 为直径的圆 是否恒过定点,并说明理由. 解析 　(1)由题意,   =   ,故 a =   c . 又椭圆上的动点 P 到一个焦点的距离的最小值为3(   -1), 所以 a - c =3   -3.解得 c =3, a =3   .所以 b 2 = a 2 - c 2 =9. 所以椭圆 C 的标准方程为   +   =1. (2)当直线 l 的斜率为0时,令 y =-1,则 x = ± 4, 此时以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 +( y +1) 2 =16. 当直线 l 的斜率不存在时,以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 + y 2 =9, 联立   解得   即两圆过点 T (0,3). 猜想:以 AB 为直径的圆恒过定点 T (0,3). 对一般情况证明如下: 设过点 M (0,-1)的直线 l 的方程为 y = kx -1,与椭圆 C 交于 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )两点, 则   整理,得(1+2 k 2 ) x 2 -4 kx -16=0. 所以 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =-   . 所以   ·   =( x 1 , y 1 -3)·( x 2 , y 2 -3) = x 1 x 2 + y 1 y 2 -3( y 1 + y 2 )+9 = x 1 x 2 +( kx 1 -1)( kx 2 -1)-3( kx 1 -1+ kx 2 -1)+9 =( k 2 +1) x 1 x 2 -4 k ( x 1 + x 2 )+16 =   -   +16 =   +16=0. 所以 TA ⊥ TB .所以存在以 AB 为直径的圆恒过定点 T ,且定点 T 的坐标为(0,3).