第
12
讲 椭圆
第12讲 椭圆
1.已知椭圆
+
=1(
m
>
n
>0)的左、右焦点分别为
F
1
,
F
2
,
P
是以椭圆短轴为直
径的圆上任意一点,则
·
=
.
答案
2
n
-
m
解析
在椭圆
+
=1(
m
>
n
>0)中,
b
2
=
n
,
c
2
=
m
-
n
,
·
=(
+
)·(
-
)=|
|
2
-|
|
2
=
b
2
-
c
2
=
n
-(
m
-
n
)=2
n
-
m
.
2.椭圆
C
:
+
=1的上、下顶点分别为
A
1
,
A
2
,点
P
在
C
上且直线
PA
2
斜率的取值
范围是[-2,-1],那么直线
PA
1
斜率的取值范围是
.
答案
解析
A
1
(0,
),
A
2
(0,-
),设
P
(
x
,
y
),则
=
=
=
=-
.所以
=-
∈
.
3.在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为
+
=1(
a
>0,
b
>0),右焦点为
F
,右
准线为
l
,短轴的一个端点为
B
,设原点到直线
BF
的距离为
d
1
,
F
到
l
的距离为
d
2
.若
d
2
=
d
1
,则椭圆
C
的离心率为
.
答案
解析
由题意,得
l
:
x
=
,
d
2
=
-
c
=
.由等面积法可求得
d
1
=
.若
d
2
=
d
1
,则
=
.整理,得
a
2
-
ab
-
b
2
=0.两边都除以
a
2
,得
+
-
=0.所以
=
.
所以离心率
e
=
=
.
4.
如图,椭圆
C
1
:
+
y
2
=1的长轴为
MN
,椭圆
C
2
的短轴为
MN
,且离心率与
C
1
相同,直
线
l
:
x
=
t
与
C
1
交于两点,与
C
2
交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次
为
A
,
B
,
C
,
D
.若
BO
∥
AN
,
O
为坐标原点,则
t
=
.
答案
-
解析
设椭圆
C
2
:
+
=1.根据题意,得
b
=2,
a
2
=
a
2
-4,所以
a
2
=16.所以椭圆
C
2
的方程为
+
=1,
A
(
t
,2
),
B
.又
N
(2,0),
AN
∥
OB
,则
AN
和
OB
的
斜率相同,即
=
.解得
t
=-
.
题型一 椭圆的定义
例1
定圆
M
:(
x
+
)
2
+
y
2
=16,动圆
N
过点
F
(
,0)且与圆
M
相切,记圆心
N
的轨迹
为
E
.
(1)求轨迹
E
的方程;
(2)设点
A
,
B
,
C
在
E
上运动,
A
与
B
关于原点对称,且|
AC
|=|
BC
|,当△
ABC
的面积最
小时,求直线
AB
的方程.
解析
(1)∵
F
(
,0)在圆
M
:(
x
+
)
2
+
y
2
=16内,
∴圆
N
内切于圆
M
.
∵|
NM
|+|
NF
|=4>|
FM
|,∴点
N
的轨迹
E
为焦点在
x
轴上的椭圆,且2
a
=4,
c
=
,∴
a
=
2,
b
=1,
∴轨迹
E
的方程为
+
y
2
=1.
(2)①当
AB
为长轴(或短轴)时,
S
△
ABC
=2.
②当直线
AB
的斜率存在且不为0时,
设直线
AB
的方程为
y
=
kx
.
由
解得
=
,
=
.
∴|
OA
|
2
=
+
=
.
将上式中的
k
替换为-
,得|
OC
|
2
=
.
S
△
ABC
=2
S
△
AOC
=|
OA
|·|
OC
|
=
·
=
.
∵
≤
=
,当且仅当1+4
k
2
=
k
2
+4,即
k
=
±
1时,等号成立,
此时△
ABC
的面积最小,∴
S
△
ABC
≥
.
∵2>
,∴△
ABC
面积的最小值是
,
此时直线
AB
的方程为
y
=
x
或
y
=-
x
.
【方法归纳】 利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行
转化.一般地,解决与到焦点的距离有关的问题时,首先应考虑用定义来解题,
求椭圆的标准方程主要有定义法和待定系数法,有时还可根据已知条件选用
代入法.
1-1
已知椭圆
C
:
+
=1(
a
>
b
>0)的左、右焦点分别为
F
1
,
F
2
,离心率为
,过
F
2
的直线
l
交
C
于
A
,
B
两点.若△
AF
1
B
的周长为4
,则
C
的方程为
.
答案
+
=1
解析
由椭圆的定义可知,△
AF
1
B
的周长为4
a
,所以4
a
=4
,
a
=
.又由
e
=
=
,得
c
=1.所以
b
2
=
a
2
-
c
2
=2.所以
C
的方程为
+
=1.
题型二 直线与椭圆的位置关系
例2
(2018扬州高三考前调研)在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
C
:
+
=1(
a
>
b
>0)的短轴长为2
,离心率为
.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)已知
A
为椭圆
C
的上顶点,点
M
为
x
轴正半轴上一点,过点
A
作
AM
的垂线
AN
,
与椭圆
C
交于另一点
N
,若∠
AMN
=60
°
,求点
M
的坐标.
解析
(1)因为椭圆
C
的短轴长为2
,离心率为
,
所以
又
a
2
=
b
2
+
c
2
,解得
所以椭圆
C
的方程为
+
=1.
(2)因为
A
为椭圆
C
的上顶点,所以
A
(0,
).
因为
M
为
x
轴正半轴上一点,所以直线
AM
的斜率存在且小于0.又
AN
⊥
AM
,所
以
AN
的斜率存在且大于0,设直线
AN
的方程为
y
=
kx
+
(
k
>0),
则直线
AM
的方程为
y
=-
x
+
.由
消去
y
,
可得(3
k
2
+1)
x
2
+6
kx
=0.
解得
x
N
=
.所以|
AN
|=
|
x
N
|=
·
.
在
y
=-
x
+
中,令
y
=0,可得
x
M
=
k
,
所以|
AM
|=
.
在Rt△
AMN
中,由∠
AMN
=60
°
,得|
AN
|=
|
AM
|.
所以
·
=
·
(
k
>0).解得
k
=
.
所以点
M
的坐标为
.
【方法归纳】 解决直线与椭圆位置关系的相关问题,其常规思路是先把直
线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解
决相关问题,涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.
2-1
(2018南京、盐城高三模拟)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
C
:
+
=1(
a
>
b
>0)的下顶点为
B
,点
M
,
N
是椭圆上异于点
B
的动点,直线
BM
,
BN
分别
与
x
轴交于点
P
,
Q
,且点
Q
是线段
OP
的中点,当点
N
运动到点
处时,点
Q
的坐标为
.
(1)求椭圆
C
的标准方程;
(2)设直线
MN
交
y
轴于点
D
,当点
M
,
N
均在
y
轴右侧,且
=2
时,求直线
BM
的
方程.
解析
(1)由
N
,
Q
,得直线
NQ
的方程为
y
=
x
-
.令
x
=0,得点
B
的坐
标为(0,-
).
所以椭圆的方程为
+
=1.将点
N
的坐标
代入,
得
+
=1,解得
a
2
=4.
所以椭圆
C
的标准方程为
+
=1.
(2)设直线
BM
的斜率为
k
(
k
>0),
则直线
BM
的方程为
y
=
kx
-
.
在
y
=
kx
-
中,令
y
=0,得
x
p
=
,而点
Q
是线段
OP
的中点,所以
x
Q
=
.所以直线
BN
的斜率
k
BN
=
k
BQ
=2
k
.
联立
消去
y
,得(3+4
k
2
)
x
2
-8
kx
=0.解得
x
M
=
.用2
k
代换
k
,得
x
N
=
.又
=2
,
所以
x
N
=2(
x
M
-
x
N
),得2
x
M
=3
x
N
.故2
×
=3
×
.
又
k
>0,解得
k
=
.所以直线
BM
的方程为
y
=
x
-
.
故直线
BM
的方程为
y
=
x
-
.
题型三 椭圆与圆的综合
例3
(1)(2018江苏,18)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
C
过点
,焦点
为
F
1
(-
,0),
F
2
(
,0),圆
O
的直径为
F
1
F
2
.
(1)求椭圆
C
及圆
O
的方程;
(2)设直线
l
与圆
O
相切于第一象限内的点
P
.
①若直线
l
与椭圆
C
有且只有一个公共点,求点
P
的坐标;
②直线
l
与椭圆
C
交于
A
,
B
两点,若△
OAB
的面积为
,求直线
l
的方程.
解析
(1)因为椭圆
C
的焦点为
F
1
(-
,0),
F
2
(
,0),所以
可设椭圆
C
的方程为
+
=1(
a
>
b
>0).又点
在椭圆
C
上,所以
解得
所以椭圆
C
的方程为
+
y
2
=1.
因为圆
O
的直径为
F
1
F
2
,所以其方程为
x
2
+
y
2
=3.
(2)①设直线
l
与圆
O
相切于
P
(
x
0
,
y
0
)(
x
0
>0,
y
0
>0),
则
+
=3.
所以设直线
l
的方程为
y
=-
(
x
-
x
0
)+
y
0
,即
y
=-
x
+
.
由
消去
y
,
得(4
+
)
x
2
-24
x
0
x
+36-4
=0.(*)
因为直线
l
与椭圆
C
有且只有一个公共点,且
+
=3,
所以
Δ
=(-24
x
0
)
2
-4(4
+
)(36-4
)=48
(
-2)=0.
因为
x
0
,
y
0
>0,所以
x
0
=
,
y
0
=1.
因此,点
P
的坐标为(
,1).
②如图,因为△
OAB
的面积为
,所以
|
AB
|·|
OP
|=
,从而|
AB
|=
.设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
).
由(*)得
x
1,2
=
.
所以|
AB
|
2
=(
x
1
-
x
2
)
2
+(
y
1
-
y
2
)
2
=
·
.
因为
+
=3,所以|
AB
|
2
=
=
,
即2
-45
+100=0.
解得
=
(
=20舍去),则
=
.因此,点
P
的坐标为
.综上,直线
l
的方
程为
y
=-
x
+3
.
【方法归纳】 对于圆与椭圆这类问题的求解,首先,要注意理解直线和圆、
椭圆等基础知识及其联系,其次,要对问题的条件进行全方位的审视,特别是
题中各个条件之间的相互关系及隐含条件,再次,要掌握解决问题常用的思想
方法,如数形结合,化归与转化等思想方法.对于某些涉及线段长度关系的问
题,可以通过解方程、求坐标,用距离公式计算长度的方法来解,也可以利用
一元二次方程,使相关的点的同名坐标为方程的根,由根与系数的关系求出两
根间的关系或者有关线段长度间的关系,从而解决问题.
3-1
(2018江苏盐城高三模拟)如图,已知
F
1
,
F
2
分别是椭圆
C
:
+
=1(
a
>
b
>0)
的左、右焦点,点
P
(-2,3)是椭圆
C
上一点,且
PF
1
⊥
x
轴.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)设圆
M
:(
x
-
m
)
2
+
y
2
=
r
2
(
r
>0).
①设圆
M
与线段
PF
2
交于两点
A
,
B
,若
+
=
+
,且
AB
=2,求
r
的值;
②设
m
=-2,过点
P
作圆
M
的两条切线分别交椭圆
C
于
G
,
H
两点(异于点
P
).试问:
是否存在这样的正数
r
,使得
G
,
H
两点恰好关于坐标原点
O
对称?若存在,求出
r
的值;若不存在,请说明理由.
解析
(1)因点
P
(-2,3)是椭圆
C
上一点,且
PF
1
⊥
x
轴,所以椭圆
C
的半焦距
c
=2.
由
+
=1,得
y
=
±
,所以
=
=3.化简,得
a
2
-3
a
-4=0,解得
a
=4,
所以
b
2
=12.所以椭圆
C
的方程为
+
=1.
(2)①因
+
=
+
,所以
-
=
-
,
即
=
.
所以线段
PF
2
与线段
AB
的中点重合(记为点
Q
).
由(1)知
Q
,
因为圆
M
与线段
PF
2
交于两点
A
,
B
,
所以
k
MQ
·
k
AB
=
k
MQ
·
=-1.
所以
·
=-1.解得
m
=-
.
所以|
MQ
|=
=
.
故
r
=
=
.
②由
G
,
H
两点恰好关于原点对称,设
G
(
x
0
,
y
0
),则
H
(-
x
0
,-
y
0
),不妨设
x
0
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