江苏专用2019高考数学二轮复习专题四解析几何微专题8解析几何中最值与取值范围的问题课件.pptx

微专题 8 解析几何中最值与取值范围的问题 微专题8　解析几何中最值与取值范围的问题     题型一　利用图形的性质求解 例1     (2017江苏无锡期末)已知椭圆   +   =1,动直线 l 与椭圆交于 B , C 两点.若 点 B 的坐标为   ,求△ OBC 面积的最大值. 解析 　由已知得,直线 OB 的方程为 y =   x ,即3 x -2 y =0.设经过点 C 且平行于直线 OB 的直线 l '的方程为 y =   x + b ,则当 l '与椭圆只有一个公共点时,△ OBC 的面积 最大.由   消去 y 并整理,得3 x 2 +3 bx + b 2 -3=0.由 Δ =9 b 2 -12( b 2 -3)=0,解得 b = ± 2   .当 b =2   时, C   ;当 b =-2   时, C   .所以△ OBC 面积的最 大值为   ×   ×   =   . 【方法归纳】    圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,常用两点间的距离公式转化为在某区间的二次函数的最值问题解决,有时也用圆锥曲线的参数方程,化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解.圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法. 1-1 　设 P 是椭圆   +   =1上一点, M , N 分别是两圆:( x +4) 2 + y 2 =1和( x -4) 2 + y 2 =1上 的点,则| PM |+| PN |的最小值、最大值分别为 　　　     、 　　　     . 答案 　8;12 解析 　由椭圆及圆的方程可知,两圆圆心分别为椭圆的两个焦点.由椭圆的定 义知,| PA |+| PB |=2 a =10.连接 PA , PB ,分别与圆相交于 M , N 两点,此时| PM |+| PN |最 小,最小值为| PA |+| PB |-2=8;连接 PA , PB 并延长,分别与圆相交于 M , N 两点,此时 | PM |+| PN |最大,最大值为| PA |+| PB |+2=12.综上,| PM |+| PN |的最小值和最大值分 别为8,12. 1-2     (2018如东高级中学第二学期阶段测试)在平面直角坐标系 xOy 中,已 知 B , C 为圆 x 2 + y 2 =4上两点,点 A (1,1),且 AB ⊥ AC ,则线段 BC 的长的取值范围是 　　　     . 答案 　[   -   ,   +   ] 解析 　设 BC 的中点为 D ,连接 AD , OD .由 AB ⊥ AC ,得 BC =2 AD , OD ⊥ BC , OD 2 + DC 2 = OC 2 ,即 OD 2 + AD 2 = OC 2 .设 D ( x , y ),则 x 2 + y 2 +( x -1) 2 +( y -1) 2 =4,化简,得   +   =   ,此即为点 D 的轨迹方程,圆心   与点 A (1,1)之间的距离为   ,则   -   ≤ AD ≤   +   .所以 BC =2 AD ∈[   -   ,   +   ]. 题型二　利用不等式求解 例2     (2017苏北四市期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :   +   = 1( a > b >0)的离心率为   ,且右焦点 F 到左准线的距离为6   . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 A 为椭圆 C 的左顶点, P 为椭圆 C 上位与 x 轴上方的点,直线 PA 交 y 轴于点 M , 过点 F 作 MF 的垂线,交 y 轴于点 N . ①当直线 PA 的斜率为   时,求△ FMN 的外接圆的方程; ②设直线 AN 交椭圆 C 于另一点 Q ,求△ APQ 的面积的最大值. 解析 　(1)由题意,得   解得   所以 b =2   . 所以椭圆 C 的标准方程为   +   =1. (2)由题意,设直线 PA 的方程为 y = k ( x +4), b >0,则 M (0,4 k ). 所以直线 FN 的方程为 y =   ( x -2   ),则 N   . ①当直线 PA 的斜率为   ,即 k =   时, M (0,2), N (0,-4), 因为 MF ⊥ FN , F (2   ,0), 所以△ FMN 的外接圆的方程为 x 2 +( y +1) 2 =9. ②由   消去 y 并整理,得 (1+2 k 2 ) x 2 +16 k 2 +32 k 2 -16=0. 解得 x 1 =-4或 x 2 =   .所以 P   . 又易知直线 AN 的方程为 y =-   ( x +4), 同理可得, Q   , 所以 P , Q 关于原点对称,即直线 PQ 过原点. 所以△ APQ 的面积 S =   | OA |·( y P - y Q )=2 ×   =   ≤ 8   ,当且仅当2 k =   ,即 k =   时,取等号. 所以△ APQ 的面积的最大值为8   . 【方法归纳】    圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主 要是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数式表示为某个(些)参数的 表达式,然后利用基本不等式等进行求解. 2-1     (2018盐城中学高三数学阶段性检测)在平面直角坐标系中,中心在原点, 对称轴为坐标轴的椭圆,点 F 1 (0,1)是它的一个焦点. A , B 分别为上顶点和右顶 点,原点 O 到线段 AB 的距离为   . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)过原点 O 的直线与线段 AB 交于点 D ,与椭圆交于点 E ,求四边形 AEBF 面积的 最大值. 解析 　(1)   +   =1. (2)设 EF 的方程为 y = kx ( k >0). 由   得4 x 2 +3 k 2 x 2 =12.所以   =   ,   =   . 所以| EF |=2| OE |=2   =2   . 又点 A , B 到 EF 的距离为 h 1 =   , h 2 =   , 所以四边形 AEBF 的面积为 S =   . 又因为(2+   k ) 2 ≤ 2(4+3 k 2 ),所以   ≤   ,所以 S ≤ 2   . 故四边形 AEBF 面积的最大值为2   . 题型三　利用函数的方法求解 例3     (2017苏锡常镇二模)已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的左焦点为 F (-1,0),左 准线方程为 x =-2. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知直线 l 交椭圆 C 与 A , B 两点. ①若直线 l 经过椭圆 C 的左焦点 F ,交 y 轴于点 P ,且满足   =   ,   = μ   ,求证: λ + μ 为定值; ②若 A , B 两点满足 OA ⊥ OB (0为坐标原点),求△ AOB 的面积的取值范围. 解析 　(1)由已知,得 c =1,   =2.解得 a 2 =2,则 b 2 =1.所以椭圆 C 的标准方程为   + y 2 =1. (2)①证明:由题设,直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y = k ( x +1),则 P (0, k ). 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),将直线 l 的方程代入椭圆的方程,得 x 2 +2 k 2 ( x +1) 2 =2.整理,得(1 +2 k 2 ) x 2 +4 k 2 x +2 k 2 -2=0. ∴ x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =   . 由   = λ   ,   = μ   ,知 λ =   , μ =   , ∴ λ + μ =-   =-   =   =-4(定值). ②当直线 OA , OB 分别与坐标轴重合时,易知△ AOB 的面积 S =   ; 当直线 OA , OB 的斜率均存在且不为零时, 设直线 OA : y = kx ,直线 OB : y =-   x , A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 将 y = kx 代入椭圆 C 的方程,得 x 2 +2 k 2 x 2 =2. 所以   =   ,   =   .同理,   =   ,   =   . 所以△ AOB 的面积 S =   =   . 令 t = k 2 +1,则 t ∈[1,+ ∞ ), S =   =   . 令 u =   ,则 u ∈(0,1], S =   =   ∈   . 综上所述, S ∈   . 【方法归纳】    解决有关范围、最值问题时,首先要恰当地引入变量(如点的 坐标、角、斜率等),建立目标函数,然后通过求这个函数的值域解决问题.圆 锥曲线中的范围与最值问题大致可分为两类:一是设计距离、面积的最值以 及与之相关的一些问题;二是求直线与圆锥曲线中几何元素的范围与最值,以 及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题. 3-1     (2018如东高级中学第二学期阶段测试)已知圆 M : x 2 +( y -4) 2 =4,点 P 是直线 l : x -2 y =0上的一动点,过点 P 作圆 M 的切线 PA , PB ,切点为 A , B . (1)当切线 PA 的长度为2   时,求点 P 的坐标; (2)若△ PAM 的外接圆为圆 N ,试问:当 P 运动时,圆 N 是否过定点?若过点定,求出 所有的定点的坐标;若不过定点,请说明理由; (3)求线段 AB 长度的最小值. 解析 　(1)由题可知,圆 M 的圆心 M (0,4),半径 r =2. 设 P (2 b , b ). 因为 PA 是圆 M 的一条切线,所以∠ MAP =90 ° . 所以 MP =   =   =4. 解得 b =0或 b =   .所以 P (0,0)或 P   . (2)设 P (2 b , b ).因为∠ MAP =90 ° ,所以经过 A , P , M 三点的圆 N 以 MP 为直径, 其方程为( x - b ) 2 +   =   , 即(2 x + y -4) b -( x 2 + y 2 -4)=0. 由   解得   或   所以圆过定点(0,4),   . (3)因为圆 N 的方程为( x - b ) 2 +   =   , 即 x 2 + y 2 -2 bx -( b +4) y +4 b =0①,圆 M : x 2 +( y -4) 2 =4,即 x 2 + y 2 -8 y -12=0②, 由②-①,得圆 M 与圆 N 相交弦 AB 所在直线方程为2 bx +( b -4) y +12-4 b =0, 所以点 M 到直线 AB 的距离 d =   , 相交弦长 AB =2   =4   =4   当 b =   时, AB 有最小值   .