江苏专用2019高考数学二轮复习专题四解析几何微专题9解析几何中的探索性问题课件.pptx

微专题 9 解析几何中的探索性问题 微专题9　解析几何中的探索性问题     题型一　定值问题的探索 例1     (2018南京高三第三次模拟)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :   +   =1( a > b >0)经过点 P   ,离心率为   . 已知过点 M   的直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)试问 x 轴上是否存在定点 N ,使得   ·   为定值?若存在,求出点 N 的坐标;若 不存在,请说明理由. 解析 　(1)离心率 e =   =   , 所以 c =   a , b =   =   a . 所以椭圆 C 的方程为   +   =1. 因为椭圆 C 经过点 P   ,所以   +   =1. 所以 b 2 =1.所以椭圆 C 的方程为   + y 2 =1. (2)设 N ( n ,0).当直线 l 的斜率存在时,设 l : y = k   . 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),由   消去 y , 得(4 k 2 +1) x 2 -   k 2 x +   k 2 -4=0. 所以 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =   . 所以   ·   =( x 1 - n )( x 2 - n )+ y 1 y 2 =( x 1 - n )( x 2 - n )+ k 2     =( k 2 +1) x 1 x 2 -   ( x 1 + x 2 )+ n 2 +   k 2 =( k 2 +1)   -     + n 2 +   k 2 =   + n 2 =   + n 2 . 若   ·   为常数,则   为常数. 设   = λ , λ 为常数, 则   k 2 -4=4 λk 2 + λ 对任意的实数 k 恒成立, 所以   所以   此时   ·   =12. 当直线 l 的斜率不存在时,设 A   , B   ,则 y 2 =1-   =   . 所以   ·   =   - y 2 =   -   =12. 所以在 x 轴上存在定点 N (4,0),使得   ·   为定值. 【方法归纳】    定值问题的探索一般有两种思路,一是利用特殊值法求出定 值,再证明对一般情况也成立;二是直接探索求解,即根据条件联立直线方程 与椭圆方程,结合斜率公式、根与系数的关系等计算. 1-1     (2018泰州中学高三检测)已知椭圆 C :   +   =1 ( a > b >0)过点(0,   ),右焦 点 F 到右准线的距离为   ,若直线 l 与椭圆 C 交于两个不同点 A , B . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 M 为椭圆 C 的右顶点,直线 l 过点 N (2   ,2   ). ①若直线 l 的斜率为   ,试求△ MAB 的外接圆方程; ②若直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,试问 k 1 + k 2 是不是定值?并说明理由. 解析 　(1)由椭圆过点(0,   ),得 b =   . 又   - c =   =   ,则 c =   .故 a 2 = b 2 + c 2 =8, a =2   . ∴椭圆 C 的方程为   +   =1. (2)①∵直线 l 的斜率为   , l 过点 N (2   ,2   ), ∴直线 l 的方程为 y -2   =   ( x -2   ),即 y =   x +   . 由   得 x 2 +2   x =0.∴ A (0,   ), B (-2   ,0). 又 M (2   ,0),∴ AM 的中点为   , k AM =-   . ∴线段 AM 的中垂线方程为 y -   =2( x -   ),即 y =2 x -   . 又线段 BM 的中垂线方程为 x =0, ∴△ MAB 的外接圆圆心为   ,且半径为   . ∴△ MAB 的外接圆方程为 x 2 +   =   . ②由题意知直线 l 的斜率存在, 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),直线 l 的方程为 y -2   = k ( x -2   ),即 y = kx -2   k +2   .与椭圆方 程   +   =1联立,得 (1+4 k 2 ) x 2 +16   ( k - k 2 ) x +32 k 2 -64 k +24=0. ∴ Δ >0, x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =   . ∴ k 1 + k 2 =   +   =   +   =2 k +   +   =2 k +   =2 k +   =2 k +   =-   , ∴ k 1 + k 2 =-   . 题型二　定点问题的探索 例2     (2018南京师大附中高三模拟)如图,已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的左、 右焦点分别为 F 1 , F 2 ,若椭圆 C 经过点(0,   ),离心率为   ,直线 l 过点 F 2 ,与椭圆 C 交于 A , B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 N 为△ F 1 AF 2 的内心(三角形三条内角平分线的交点),求△ F 1 NF 2 与△ F 1 AF 2 面积的比值; (3)设点 A , F 2 , B 在直线 x =4上的射影依次为点 D , G , E .连接 AE , BD ,试问当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点 T ?若是,请求出定点 T 的坐标; 若不是,请说明理由. 解析 　(1)由题意, b =   .又因为   =   ,所以   =   . 所以 a =2.所以椭圆 C 的方程为   +   =1. (2)因为点 N 为△ F 1 AF 2 的内心,所以点 N 为△ F 1 AF 2 的内切圆的圆心.设该圆的 半径为 r ,则   =   =   =   =   . (3)若直线 l 的斜率不存在时,四边形 ABED 是矩形,此时 AE 与 BD 交于 F 2 G 的中 点   . 证明如下:当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 相交于定点 T   . 设直线 l 的方程为 y = k ( x -1).由   化简,得 (3+4 k 2 ) x 2 -8 k 2 x +4 k 2 -12=0. 因为直线 l 经过椭圆 C 内的点(1,0),所以 Δ >0. 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =   . 由题意, D (4, y 1 ), E (4, y 2 ), 直线 AE 的方程为 y - y 2 =   ( x -4). 令 x =   ,得 y = y 2 +   ×   =   =   =   =   =   =   =   =0. 所以点 T   在直线 AE 上.同理可证,点 T   在直线 BD 上. 所以当直线 l 的 倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 相交于定点 T   . 【方法归纳】    定点问题的探索思路一般也有两种:一是利用图形的对称性 分析出定点所在的位置,或者利用特殊位置求出可能的定点,再验证对一般情 况也成立;二是直接设出定点坐标,由条件建立恒等式,弄清定点与哪个量无 关,整理为关于这个量的恒等式,利用对应项系数相等建立方程组求解,常用 方法一. 2-1     (2017常州教育学会学业水平检测)已知圆 C :( x - t ) 2 + y 2 =20( t b >0)的一个公共点为 B (0,-2), F ( c ,0)为椭圆 E 的右焦点,直线 BF 与 圆 C 相切于点 B . (1)求 t 的值以及椭圆 E 的方程; (2)过点 F 任作与坐标轴都不垂直的直线 l ,与椭圆交于 M , N 两点,在 x 轴上是否 存在一定点 P ,使 PF 恰为∠ MPN 的角平分线? 解析 　(1)由题意易知 b =2, ∵ C ( t ,0), B (0,-2),∴| BC |=   =   .∴ t = ± 4. ∵ t b >0)的离心率为   ,且过点   . F 为椭圆的右焦点, A , B 为椭圆 上关于原点对称的两点,连接 AF , BF ,分别交椭圆于 C , D 两点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若| AF |=| FC |,求   的值; (3)设直线 AB , CD 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,是否存在实数 m , 使得 k 2 = mk 1 ?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 解析 　(1)设椭圆的方程为   +   =1( a > b >0). 由题意得   解得   所以椭圆的方程为   +   =1. (2)若| AF |=| FC |,由椭圆对称性,知 A   ,所以 B   , 此时直线 BF 的方程为3 x -4 y -3=0. 由   得7 x 2 -6 x -13=0.解得 x =   ( x =-1舍去). 故   =   =   . (3)设 A ( x 0 , y 0 ),则 B (- x 0 ,- y 0 ), 直线 AF 的方程为 y =   ( x -1).代入椭圆的方程   +   =1,得(15-6 x 0 ) x 2 -8   -15   +24 x 0 =0. 因为 x = x 0 是该方程的一个解,所以点 C 的横坐标 x C =   . 又 C ( x C , y C )在直线 y =   ( x -1)上, 　　所以 y C =   ( x C -1)=   . 同理,点 D 的坐标为   , 所以 k 2 =   =   =   k 1 ,即存在,使得 k 2 =   k 1 . 【方法归纳】    椭圆中探索性问题的关键是计算,包括计算方法的选择、计 算结果的正确性,对运算求解能力有较高要求,而运算能力的提高功在平时, 所以平时认真计算,不偷懒是关键. 3-1     (2017江苏连云港高三模拟)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :   +   =1的左、右顶点分别为 A , B ,过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 P , Q 两点 (点 P 在 x 轴上方). (1)若| QF |=2| FP |,求直线 l 的方程; (2)设直线 AP , BQ 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,是否存在常数 λ ,使得 k 1 = λk 2 ?若存在,求出 λ 的值;若不存在,请说明理由. 解析 　(1)因为 a 2 =4, b 2 =3,所以 c =   =1.所以点 F 的坐标为(1,0).设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ),直线 l 的方程为 x = my +1, 将直线 l 的方程代入椭圆方程,得(4+3 m 2 ) y 2 +6 my -9=0. 解得 y 1 =   , y 2 =   . 若| QF |=2| PF |,则   +2 ×   =0. 所以 m =   .故直线 l 的方程为   x -2 y -   =0. (2)由(1)知, y 1 + y 2 =   , y 1 y 2 =   , 所以 my 1 y 2 =   =   ( y 1 + y 2 ). 所以   =   ·   =   =   =   . 故存在常数 λ =   ,使得 k 1 =   k 2 .