第11讲 圆锥曲线的基本问题
1.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))在平面直角坐标系xOy中,点P(2,4)到抛物线y2=8x的准线的距离为 .
2.(2018南通高三第二次调研)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C与双曲线x2-y23=1有公共的渐近线,且经过点P(-2,3),则双曲线C的焦距为 .
3.(2018南京高三第三次模拟)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的离心率为 .
4.(2018徐州高三考前模拟)若双曲线x2a2-y24a-2=1的离心率为3,则实数a的值为 .
5.(2018扬州高三第三次调研)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线x212-y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为2,则该双曲线的离心率为 .
6.(2018扬州中学高三第四次模拟)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为10,则双曲线C的渐近线方程为 .
7.(2018高考数学模拟(1))若双曲线x2a-y23=1的焦距等于4,则它的两准线之间的距离等于 .
8.(2018高考数学模拟(2))在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2-y23=1的左准线为l,则以l为准线的抛物线的标准方程是 .
9.(2018徐州铜山高三第三次模拟)若直线y=x+2与双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线平行,则双曲线的离心率为 .
10.(2018扬州中学高三第四次模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,直线AF与直线x+y-32=0垂直,垂足为B,且点A是线段BF的中点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若M,N分别为椭圆C的左、右顶点,P是椭圆C上位于第一象限的一点,直线MP与直线x=4交于点Q,且MP·NQ=9,求点P的坐标.
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11.(2017江苏海门检测)如图,F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)已知△AF1B的面积为403,求a,b的值.
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答案精解精析
1.答案 4
解析 抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则点P到抛物线准线的距离是4.
2.答案 43
解析 由题意,可设双曲线C的方程为x2-y23=λ,λ≠0,代入点P的坐标,解得λ=3,则C的标准方程是x23-y29=1,所以a2=3,b2=9,c2=12,c=23.故C的焦距2c=43.
3.答案 5
解析 由双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,得b=2a.故该双曲线的离心率e=ca=1+ba2=5.
4.答案 1
解析 双曲线x2a2-y24a-2=1的离心率为3,则4a-2>0,a2+4a-2a2=3,解得a=1.
5.答案 233
解析 由双曲线的焦点到渐近线的距离为2,得b=2.又a2=12,则c2=a2+b2=16,c=4.故该双曲线的离心率e=ca=423=233.
6.答案 y=±3x
解析 由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为10,得c=10a.所以c2=a2+b2=10a2,b=3a.所以双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±3x.
7.答案 1
解析 双曲线x2a-y23=1的焦距等于4,则2c=4,c=2.所以a=4-3=1.故它的两准线之间的距离等于2×12c=1.
8.答案 y2=2x
解析 在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2-y23=1的左准线为l:x=-12,则以l为准线的抛物线的标准方程是y2=2x.
9.答案 2
解析 由直线y=x+2与双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线平行,得ba=1,故双曲线的离心率e=ca=1+ba2=2.
10.解析 (1)由直线AF与直线x+y-32=0垂直,垂足为B,且点A是线段BF的中点,得b=c,B(c,2b)在直线x+y-32=0上,所以c+2b=32.解得b=c=2,a=2.故椭圆C的方程为x24+y22=1.
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(2)设直线MP的方程为y=k(x+2)(k>0).
由x24+y22=1,y=k(x+2),得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0.
因为xM=-2,所以xP=2-4k21+2k2.所以P2-4k21+2k2,4k1+2k2.
又Q(4,6k),所以MP=41+2k2,4k1+2k2,NQ=(2,6k).
所以MP·NQ=24k2+81+2k2=9.解得k2=16,故k=66.所以P1,62.
11.解析 (1)由题意可知,△AF1F2为等边三角形,
所以a=2c.所以e=12.
(2)设AB=t.
因为AF2=a,所以BF2=t-a.
由椭圆定义,得BF1+BF2=2a,可知BF1=3a-t.
在△AF1B中,由余弦定理,可得
(3a-t)2=a2+t2-2atcos60°,所以t=85a,即AB=85a,由S△AF1B=12a·85a·32=235a2=403,得a=10.所以b=53.
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