江苏专用2019高考数学二轮复习专题四解析几何第10讲直线与圆课件.pptx

专题四 解析几何 第 10 讲　直线与圆 第10讲　直线与圆     1.已知 l 1 =3 x - y +1=0,直线 l 2 过点(1,0),且 l 1 的倾斜角是 l 2 的倾斜角的2倍,则直线 l 2 的方程为 　　　　　　　     . 答案 　3 x +4 y -3=0 解析 　设直线 l 1 的倾斜角是 α ,则tan α =3,直线 l 2 的倾斜角是2 α ,斜率 k =tan 2 α =   =-   .所以直线 l 2 的方程为 y =-   ( x -1),即3 x +4 y -3=0. 2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心分别为 A (14,92), B (17,76), C (19,84)的三 个圆的半径相同,直线 l 过点 B ,且位于 l 同侧的三个圆各部分的面积之和等于 另一侧三个圆各部分的面积之和,则直线 l 的斜率的取值集合为 　 　　     . 答案 　{-24} 解析 　由题意可得直线经过 AC 的中点时满足条件,而 AC 的中点坐标是   ,又直线 l 经过点 B (17,76),则直线 l 的斜率 k =   =-24,故直线 l 的斜率 的取值集合是{-24}. 3.若三条直线 l 1 :4 x + y =4, l 2 : mx + y =0, l 3 :2 x -3 my =4不能围成三角形,则实数 m 的取 值集合是 　　 　　　　     . 答案        解析 　三条直线不能围成三角形,则至少有两条直线平行或三条直线相交于 同一点.若 l 1 ∥ l 2 ,则 m =4;若 l 1 ∥ l 3 ,则 m =-   ;若 l 2 ∥ l 3 ,则 m 的值不存在;若三条直线 相交于同一点,则 m =-1或   .故实数 m 的取值集合是   . 4.由直线 y = x -3上的点向圆( x +2) 2 +( y -3) 2 =1引切线,则切线长的最小值为 　　          . 答案        解析 　设圆( x +2) 2 +( y -3) 2 =1的圆心为 C ,半径为 r ,则由直线 y = x -3上的点 P 向圆( x +2) 2 +( y -3) 2 =1引切线,则切线长为   =   ,当 CP 与直线 y = x -3垂直 时, CP 取得最小值,即| CP | min =   =4   ,故切线长的最小值为   =   . 5.已知圆 C : x 2 + y 2 -2 ax -2 y +2=0( a 为常数)与直线 y = x 相交于 A , B 两点.若∠ ACB =   ,则实数 a = 　　 　     . 答案 　-5 解析 　圆 C : x 2 + y 2 -2 ax -2 y +2=0( a 为常数)的标准方程是( x - a ) 2 +( y -1) 2 = a 2 -1( a 2 >1), 设圆 C 的半径为 r ,圆 C 与直线 y = x 相交于 A , B 两点,若∠ ACB =   ,则圆心 C 到直线 AB 的距离 d =   r ,即   =   ×   ,化简,得 a 2 +4 a -5=0.解得 a =1(舍去)或 a =-5. 故实数 a =-5. 题型一　直线与圆的方程 例1 　(1)(2018江苏南京高三模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M : x 2 + y 2 -6 x -4 y + 8=0与 x 轴的两个交点分别为 A , B ,其中点 A 在 B 的右侧,以 AB 为直径的圆记为圆 N ,过点 A 作直线 l 与圆 M ,圆 N 分别交于 C , D 两点.若 D 为线段 AC 的中点,则直线 l 的方程为 　　　　　　     . (2)(2018江苏南通高三调研)在平面直角坐标系 xOy 中,若动圆 C 上的点都在不 等式组   ,表示的平面区域内,则面积最大的圆 C 的标准方为 　　     . 答案 　(1) x +2 y -4=0　(2)( x -1) 2 + y 2 =4 解析 　(1)如图,因为 D 是线段 AC 的中点,所以 MD ⊥ AD ,又 BD ⊥ AD ,所以 M , D , B 三点共线.设 D ( x , y ),显然 D 在以 AM 为直径的圆上,所以( x -4)( x -3)+ y ( y -2)=0①.又 D 在以 AB 为直径的圆上,所以( x -2)( x -4)+ y 2 =0②.由②-①得直线 l 的方程为 x +2 y -4=0.   (2)不等式组表示的平面区域是以点(-3,0),(3,-2   ),(3,2   )为顶点的等边三角 形,符合题意的面积最大的圆是该三角形的内切圆,则圆心为(1,0),半径 r =   × 4   =2.故该圆的标准方程是( x -1) 2 + y 2 =4. 【方法归纳】    (1)求直线方程主要有以下两种方法:①直接法:根据已知条 件,选择适当的直线方程形式,直接求出直线方程;②待定系数法:先设出直线 方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入,求出直线方程. (2)求圆的方程一般有以下两种方法:①几何法:通过研究圆的性质、直线与 圆的位置关系、圆与圆的位置关系,从而求得圆的基本量和方程;②代数法: 先设出圆的方程,再由已知条件求出待定系数,从而求得圆的方程.另外,圆心 到切线的距离等于半径,该结论在解题过程中会经常用到,需牢记. (3)边长为 a 的正三角形的内切圆的圆心与外接圆的圆心重合,都是正三角形 的中心,内切圆的半径 r =   a ,外接圆的半径 R =   a . 1-1     (2017江苏镇江高三期末)已知圆 C 与圆 x 2 + y 2 +10 x +10 y =0相切于原点,且 过点 A (0,-6),则圆 C 的标准方程为 　　　     . 答案 　( x +3) 2 +( y +3) 2 =18 解析 　设已知圆的圆心为 D (-5,-5).由圆 C 与圆 D 相切于点 O ,得圆心 C 在直线 OD : y = x 上.又圆 C 过点 A ,则圆心 C 在线段 OA 的中垂线 y =-3上,则 C (-3,-3),半径 r = OC =3   ,所以圆 C 的标准方程是( x +3) 2 +( y +3) 2 =18. 1-2     (2018徐州铜山中学高三期中)已知 P 是圆 O : x 2 + y 2 =4上的动点,点 A (4,0), 若直线 y = kx +1上总存在点 Q ,使点 Q 恰是线段 AP 的中点,则实数 k 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　设 P (2cos θ ,2sin θ ),则 AP 的中点坐标为 Q (cos θ +2,sin θ ). ∴sin θ = k (cos θ +2)+1,即 k =   . ∴ k 表示单位圆上的点(cos θ ,sin θ )与点 M (-2,1)连线的斜率,如图, 设过点 M 的直线 l : y -1= k ( x +2)与圆 x 2 + y 2 =1相切,则   =1,解得 k =0或 k =-   . ∴-   ≤   ≤ 0. 故实数 k 的取值范围为   . 题型二　直线与圆的位置关系及其应用 例2 　(1)(2018徐州高三考前模拟)已知圆 C :( x -2) 2 + y 2 =2,直线 l : y = k ( x +2)与 x 轴 交于点 A ,过 l 上一点 P 作圆 C 的切线,切点为 T ,若| PA |=   | PT |,则实数 k 的取值范 围是 　　　     . (2)(2018南京师大附中高三模拟)已知直线 x - y + b =0与圆 x 2 + y 2 =9交于不同的两 点 A , B .若 O 是坐标原点,且|   +   | ≥   |   |,则实数 b 的取值范围是 　　　     . 答案 　(1)   　(2)(-3   ,-   ] ∪ [   ,3   ) 解析 　(1)直线 l : y = k ( x +2)与 x 轴交于点 A (-2,0).设 P ( x , y ),则| PT | 2 =| PC | 2 -| CT | 2 =( x -2) 2 + y 2 -2.由| PA |=   | PT |,得| PA | 2 =2| PT | 2 ,即( x +2) 2 + y 2 =2[( x -2) 2 + y 2 -2],化简得( x -6) 2 + y 2 =36.又直线 l 上存在点 P ,所以直线 l 与圆( x -6) 2 + y 2 =36有公共点,则   ≤ 6,解 得-   ≤ k ≤   . (2)由直线 x - y + b =0与圆 x 2 + y 2 =9交于不同的两点 A , B ,得