江苏专用2019高考数学二轮复习专题四解析几何第11讲圆锥曲线的基本问题课件.pptx

第 11 讲　圆锥曲线的基本问题 第11讲　圆锥曲线的基本问题     1.已知双曲线   -   =1( a >0)的一条渐近线方程为 y =2 x ,则该双曲线的焦距为 　　　     . 答案 　10 解析 　由双曲线   -   =1( a >0)的一条渐近线方程为 y =2 x ,得   =2,解得 a =   .所以 c =   =5.故该双曲线的焦距为2 c =10. 2.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 2 =6 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一 点, PA ⊥ l , A 为垂足.若直线 AF 的斜率 k =-   ,则线段 PF 的长为 　　　      . 答案 　6 解析 　易得抛物线 y 2 =6 x 的焦点 F   ,准线 l : x =-   .设 P ( x 0 , y 0 ),则   =6 x 0 , A   ,直线 AF 的斜率 k =   =-   .解得 y 0 =3   ,则 x 0 =   .所以| PF |= x 0 +   =6. 3.已知椭圆 C :   +   =1的左焦点为 F ,点 M 是椭圆 C 上一点,点 N 是 MF 的中点, O 是椭圆的中心,| ON |=4,则点 M 到椭圆 C 的左准线的距离为 　　 　     . 答案        解析 　设右焦点为 F ',则| MF '|=2| ON |=8,| MF |=2 a -| MF '|=10-8=2.设点 M 到左准线 的距离为 d ,则   =   =   , d =   =   . 4.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A , B 1 , B 2 分别为椭圆 C :   +   =1( a > b >0) 的右、下、上顶点, F 是椭圆 C 的右焦点.若 B 2 F ⊥ AB 1 ,则椭圆 C 的离心率是     　　     .   答案        解析 　由题意,得 B 2 (0, b ), F ( c ,0), B 1 (0,- b ), A ( a ,0). 由 B 2 F ⊥ AB 1 ,得   ·   =   ·   =-   =-1. 所以 b 2 = ac .又 b 2 + c 2 = a 2 , 所以 e 2 + e -1=0.又椭圆的离心率 e ∈(0,1),所以 e =   . 5.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线   -   =1的焦距为6,则所有满足条件 的实数 m 构成的集合是 　　　      . 答案        解析 　由方程   -   =1表示双曲线,得 m >0, a 2 =2 m 2 , b 2 =3 m .所以 c =   =   . 又双曲线的焦距是6,所以2 c =6, c =3.所以2 m 2 +3 m =9. 解得 m =   (-3舍去).故实数 m 构成的集合是   . 题型一　圆锥曲线的标准方程 例1 　(1)(2018南京师大附中高三模拟) 已知双曲线   -   =1( a >0, b >0)的一条 渐近线方程是 y =2 x ,它的一个焦点与抛物线 y 2 =20 x 的焦点相同,则双曲线的方 程是 　　　　　     . (2)(2018泰州中学高三月考)已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的离心率为   ,右焦 点为 F 2 ,点 M 在圆 x 2 + y 2 = b 2 上,且 M 在第一象限,过点 M 作圆 x 2 + y 2 = b 2 的切线,交椭 圆于 P , Q 两点.若△ PF 2 Q 的周长为4,则椭圆 C 的方程为 　　　     . 答案 　(1)   -   =1　(2)   +   =1 解析 　(1)由双曲线   -   =1( a >0, b >0)的一条渐近线方程是 y =2 x ,得   =2.由它 的一个焦点与抛物线 y 2 =20 x 的焦点(5,0)相同,得 c =5.又 b 2 = c 2 - a 2 =4 a 2 ,则 a 2 =5, b 2 = 20.所以双曲线的方程是   -   =1. (2)如图,由椭圆的离心率为   , 得 e =   =   .又 a 2 = b 2 + c 2 ,则 b 2 =   a 2 . 设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), x 1 , x 2 >0, 则| PF 2 |= a -   x 1 ,| QF 2 |= a -   x 2 . 同理| PM |=   x 1 ,| QM |=   x 2 , 则△ PF 2 Q 的周长=| PF 2 |+| QF 2 |+| PM |+| QM |=2 a =4. 所以 a =2, b =   .故椭圆 C 的方程为   +   =1.   【方法归纳】    (1)求圆锥曲线标准方程的方法:定义法、待定系数法、几何 性质法;(2)双曲线   -   =1( a >0, b >0)的渐近线方程是 y = ±   x ,双曲线   -   =1 ( a >0, b >0)的渐近线方程是 y = ±   x ;(3)过圆外一点作圆的切线,切线长一般利用 几何法求解,即在直角三角形中利用勾股定理求解;(4)双曲线中基本量 a , b , c 的关系是 a 2 + b 2 = c 2 ,椭圆中则是 a 2 - b 2 = c 2 . 1-1     (2018江苏三校高三模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 x 2 -   =1( b > 0)的一个焦点到一条渐近线的距离为   ,则此双曲线的准线方程为 　　　     . 答案      x = ±   解析 　由双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是   ,得 b =   ,则双曲线 x 2 -   =1的准线方程为 x = ±   = ±   . 题型二　圆锥曲线的离心率问题 例2 　(1)(2018江苏盐城高三模拟)若双曲线   -   =1( a >0, b >0)的两条渐近线 与抛物线 y 2 =4 x 交于 O , P , Q 三点,且直线 PQ 经过抛物线的焦点,则该双曲线的离 心率为 　　　     . (2)(2018高考数学模拟)椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ,若 椭圆上恰好有6个不同的点 P ,使得△ F 1 F 2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率 的取值范围是 　　　     . 答案 　(1)   　(2)   ∪   解析 　(1)因为直线 PQ 经过抛物线的焦点,所以 PQ 是抛物线的通径,则 P (1,2) 或(1,-2).因为点 P 在双曲线的渐近线上,所以   =2,双曲线的离心率 e =   =   =   . (2)由题意,得   ⇒   < e b > c )经过点(2,1),则当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小 时,椭圆的离心率 e 的值为 　　　     . 答案        解析 　由椭圆   +   =1( a > b >0)经过点(2,1),得   +   =1①.该椭圆的四个顶点 构成的四边形的周长4   =4   =4   ≥ 4   =12,当且仅当   =   ,即 a 2 =2 b 2 ②时取等号.联立①②,解得 a 2 =6, b 2 =3, c 2 =3.所以则椭圆的离心率 e =   =   =   . 题型三　圆锥曲线与圆的简单综合 例3 　在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的上半支( y ≥ 0)与圆( x -2) 2 + y 2 =3相交于 A , B 两点,直线 y = x 恰好经过线段 AB 的中点,则 p 的值为 　　　     . 答案          消去 y ,得 x 2 +(2 p -4) x +1=0,则 x 1 + x 2 =4-2 p , x 1 x 2 =1.又直线 y = x 恰好经 过线段 AB 的中点,则 AB 的中点为 D (2- p ,2- p ).又圆心 C (2,0), 则直线 CD 的斜率 k CD =   . 解析 　设 A ( x 1 ,   ), B ( x 2 ,   ).联立抛物线与圆的方程,得 因为(   +   ) 2 = x 1 + x 2 +2   =4-2 p +2=6-2 p , 所以   +   =   , 直线 AB 的斜率 k AB =   =   =   =   .由垂径定理,可 得 CD ⊥ AB ,则 k CD k AB =   ·   =   =-1,0< p 2,故舍去   . 【方法归纳】    直线与圆的位置关系一般利用几何法,即比较圆心到直线的 距离 d 与圆的半径 r 的大小,若 d = r ,则直线与圆相切,反之也成立.同时要注意圆 的几何性质在解题中的应用,如垂径定理等. 3-1     (2018盐城中学高三数学阶段性检测)若双曲线   -   =1( a >0, b >0)的离 心率为3,其渐近线与圆 x 2 + y 2 -6 y + m =0相切,则 m 的值是 　　　     . 答案 　8 解析　 由双曲线的离心率为3,得 c =3 a . 所以   =   =2   , 则双曲线的渐近线方程是 y = ± 2   x . 又 y = ± 2   x 与圆 x 2 + y 2 -6 y + m =0相切, 且圆心(0,3)到渐近线的距离 d =   =1, 则半径   =1, m =8.