6．4 线段的和差
知识点一 线段的和差作图
一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫做另两条线段的______；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫做另两条线段的______．
1. 如图6－4－1，下列各式中错误的是( )
图6－4－1
A．AB＝AD＋DBB．CB＝AB－AC
C．CD＝CB－DBD．AC＝CB－DB
2．已知线段a, b(如图6－4－2)，利用尺规求作一条线段AB，使AB＝a－b.
图6－4－2
知识点二 与中点有关的计算
把一条线段分成________________的点叫做线段的中点．如图6－4－3，C是线段AB的中点，则AC＝BC＝AB，AB＝2AC＝2BC.
图6－4－3
3．若P是线段MN的中点，则下列结论不正确的是( )
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A．MP＝NPB．MN＝2NP
C．MN＝NP D．MP＝MN
4．如图6－4－4，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，下列说法错误的是( )
图6－4－4
A．CD＝AC－BD
B．CD＝AB－BD
C．AC＋BD＝BC＋CD
D．CD＝AB
类型一 线段和、差、倍的尺规作图
例1 教材例1针对训练如图6－4－5所示，已知线段a，b，c，作一条线段使它等于a－c＋2b.
图6－4－5
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【归纳总结】 关于尺规作线段和差的“三点说明”：
(1)明确尺与规的功能，知道“尺”是无刻度的直尺，常用它来作直线、射线和线段，“规”是圆规，常用它来作弧、圆，截取相同长度的线段等．(2)求作线段的和，只需在一条线段的延长线上，同方向截取线段；求作线段的差，只需在被减线段的反方向上截取所减的线段即可．(3)作图时一定要保留作图痕迹，最后要注明哪条线段是所求作的线段．
类型二 线段的和差的计算
例2 教材例2针对训练如图6－4－6，已知线段AB和CD的公共部分BD＝AB＝CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10 cm，求AB，CD的长．
图6－4－6
【归纳总结】 从“数”“形”两个角度理解线段的中点：
1．由形到数：若M是线段AB的中点，则AB＝2AM＝2BM，AM＝BM＝AB.
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2．由数到形：若点M在线段AB上，且AB＝2AM＝2BM或AM＝BM＝AB，则M是线段AB的中点．
, 小结 ◆◆◆)
, 反思 ◆◆◆)
已知A, B, C三点在同一条直线上，AB＝100 cm，BC＝AB，E是AC的中点，求线段BE的长．
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详解详析
【学知识】
知识点一 和 差
1．[答案]D
2．解：如图，线段AB就是所求作的线段．
知识点二 相等的两条线段
3．[答案]C
4．[解析]D 由C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，得AC＝BC，CD＝BD.
A．CD＝BC－BD＝AC－BD，故A正确；
B．CD＝BC－BD＝AB－BD，故B正确；
C．AC＋BD＝BC＋CD，故C正确；
D．CD＝BC＝AB，故D错误．故选D.
【筑方法】
例1 解：如图所示．
(1)作射线AM.
(2)在射线AM上截取AB＝a，AC＝c.
(3)在射线BM上顺次截取BD＝DE＝b.
则线段CE即表示a－c＋2b的线段．
例2 解：设BD＝x cm，则AB＝3x cm，CD＝4x cm，AC＝6x cm.
∵E，F分别为AB，CD的中点，∴AE＝AB＝1.5x cm，CF＝CD＝2x cm，
∴EF＝AC－AE－CF＝6x－1.5x－2x＝2.5x(cm)．
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∵EF＝10 cm，∴2.5x＝10，解得x＝4，∴AB＝12 cm，CD＝16 cm.
【勤反思】
[反思]解：分两种情况：
(1)如图①，由AB＝100 cm，BC＝AB，得BC＝60 cm.又因为E是AC的中点，得CE＝20 cm，所以BE＝BC＋CE＝60＋20＝80(cm)；
(2)如图②，由AB＝100 cm，BC＝AB，得BC＝60 cm.又因为E是AC的中点，得CE＝80 cm，所以BE＝CE－BC＝80－60＝20(cm)．
综上所述，线段BE的长为80 cm或20 cm.
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