6．7 角的和差
知识点一 角的和差的意义
一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差．
1．根据图6－7－1填空：
图6－7－1
(1)∠AOB＝∠AOC＋________；
(2)∠COB＝∠COD－________＝________－________；
(3)∠AOB＋∠COD－∠AOD＝________.
知识点二 角平分线的定义
从一个角的顶点引出的一条______，把这个角分成__________的角，这条射线叫做这个角的________．如图6－7－2，OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝2∠AOC＝2∠BOC.
图6－7－2图6－7－3
2．如图6－7－3，下列式子中不能表示“OC是∠AOB的平分线”的是( )
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC＋∠BOC＝∠AOB
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类型一 与角平分线有关的计算
例1 教材例2针对训练已知：如图6－7－4所示，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．
(1)若∠AOB＝140°，求∠COE的度数；
(2)在(1)的条件下，如果∠COD＝20°，求∠BOE的度数．
图6－7－4
【归纳总结】 与角平分线有关的计算的“三点注意”：
(1)要灵活应用角平分线的三种表达方式，不要一味地想到“等”，还要想到“倍”或“分”；
(2)注意转化，即用已知代替未知，将未知转化为已知；
(3)灵活运用整体方法，不要着眼于局部．
类型二 角度计算中的分类讨论
例2 教材补充例题已知∠AOB＝40°，过点O作射线OC(不同于OA，OB)，满足∠AOC＝
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∠BOC，求∠AOC的度数．
【归纳总结】 本题结合了分类讨论思想和方程思想，当角与角之间的数量关系较多时，可以通过设未知数，理清数量之间的关系，然后建立方程求解．
, 小结 ◆◆◆)
, 反思 ◆◆◆)
你能说出用同一副三角尺能画出多少个小于平角的角吗？你能将画出的这些角进行分类吗？
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详解详析
【学知识】
知识点一
1．[答案] (1)∠BOC
(2)∠BOD ∠AOB ∠AOC
(3)∠BOC
知识点二 射线 两个相等 平分线
2．[解析]D A项，∵∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，
即OC是∠AOB的平分线，正确，故不符合题意．
B项，∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOB＝2∠AOC＝∠AOC＋∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，
即OC是∠AOB的平分线，正确，故不符合题意．
C项，∵∠AOB＝2∠BOC＝∠AOC＋∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，
即OC是∠AOB的平分线，正确，故不符合题意．
D项，∵∠AOC＋∠BOC＝∠AOB，
∴假如∠AOC＝30°，∠BOC＝40°，∠AOB＝70°，符合上式，但OC不是∠AOB的平分线，故符合题意．故选D.
【筑方法】
例1 解：(1)∠COE＝∠COD＋∠DOE＝∠AOD＋∠BOD＝(∠AOD＋∠BOD)＝∠AOB＝70°.
(2)由(1)知∠COE＝70°，因为∠COD＝20°，所以∠DOE＝50°.又因为OE是∠BOD的平分线，所以∠BOE＝∠DOE＝50°.
例2 [解析] 由于原题没有图，故射线OC既可以在∠AOB的内部也可以在∠AOB的外部．
解：如图①，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠BOC＝x°，
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则∠AOC＝°，x＋x＝40，解得x＝25，x＝15，所以∠AOC＝15°.
如图②，当OC在∠AOB的外部时，设∠BOC＝x°，则∠AOC＝°，x－x＝40,
解得x＝100，x＝60，所以∠AOC＝60°.
综上所述，∠AOC的度数为15°或60°.
【勤反思】
[反思] 由一副三角尺能画出11个角，分别是15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°.这11个角中，锐角有5个：15°，30°，45°，60°，75°；直角有1个：90°；钝角有5个：105°，120°，135°，150°，165°.
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