3.2 平面向量基本定理
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.设e1,e2是不共线的向量,则下面四组向量中,能作为基底的组数有( )
①e1和e1+e2;②e1-2e2和e2-2e1;③e1-2e2和4e2-2e1;④2e1+e2和e1-e2.
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
解析看每一组的两个向量是否共线,若共线则不能作为基底,若不共线则可作为基底,∵4e2-2e1=-2(e1-2e2),∴第③组中的两个向量共线,不能作为基底.
答案C
2.已知e1,e2为平面内所有向量的一组基底,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为( )
A.λ=0 B.e2=0
C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0
解析因为e1,e2不共线,而a与b共线,所以λ=0.
答案A
3.设a,b为平面内所有向量的一组基底,已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于( )
A.2 B.-2
C.10 D.-10
解析=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-(k+2)b.
∵A,B,D三点共线,
∴存在实数λ使得=λ,
即a-kb=λ[2a-(k+2)b]=2λa-λ(k+2)b.
∵a,b为基底向量,
∴解得λ=,k=2.
答案A
4.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点,且2=0,则( )
A. B.=2
C.=3 D.2
解析由2=0,得2=-().
因为D是BC的中点,
所以=2,
于是2=-2,
- 6 -
即.
答案A
5.在△ABC中,点D在BC边上,且=2=r+s,则r+s=( )
A. B. C.-3 D.0
解析由题意得)=.
因为=r+s,所以r=,s=-,
所以r+s=0,故选D.
答案D
6.若e1,e2为平面内所有向量的一组基底,且a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基底,则k的值为 .
解析因为a,b不能作为一组基底,
所以存在实数λ,使得a=λb,
即3e1-4e2=λ(6e1+ke2),
则6λ=3,且kλ=-4,
解得λ=,k=-8.
答案-8
7.在▱ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,用a,b表示.
解如图,.
由题意知,DE∶BE=1∶3=DF∶AB,
∴.∴
=
=)
=
=a+b+
=a+b.
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8.
导学号93774069如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)求证:B,E,F三点共线.
(1)解
如图所示,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),b,
(a+b)-a=(b-2a),
b-a=(b-2a).
(2)证明由(1)知,,∴共线.
又有公共点B,∴B,E,F三点共线.
B组 能力提升
1.已知平面内有一点P及一个△ABC,若,则( )
A.点P在△ABC外部 B.点P在线段AB上
C.点P在线段BC上 D.点P在线段AC上
解析∵,
∴=0,
即=0,
∴=0,∴2,
∴点P在线段AC上.
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答案D
2.已知O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三点,若点P满足+λ(λ∈(0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解析设BC中点为M,则,则有+λ,即=λ(λ∈(0,+∞)),∴M,P,A三点共线.∴点P的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.
答案C
3.已知▱ABCD中,E为CD的中点,=x=y,其中x,y∈R,且均不为0,若,则= .
解析=y-x,
由=λ(λ≠0),
∴y-x=λ()=λ,
∴.
答案
4.在△ABC所在平面上有一点P,满足+4,则△PBC与△PAB的面积比为 .
解析+4,所以2,即点P在AC边上,且AP=2PC,所以△PBC与△PAB的面积比为1∶2.
答案1∶2
5.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求AP∶PM的值.
解设=e1,=e2,
则=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,
∴存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,
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=μ=2μe1+μe2,
∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
又=2e1+3e2,
∴解得
∴,即AP∶PM=4∶1.
6.导学号93774070如图所示,在△OAB中,=a,=b,M,N分别是OA,OB上的点,且a,b.设AN与BM交于点P,用向量a,b表示.
解设=m=n,因为,所以+ma+m(1-m)a+mb,+n(1-n)b+na.
因为a与b不共线,所以
解得所以a+b.
7.导学号93774071已知A,B,C三点不共线,O为平面上任意一点,证明存在实数p,q,r,使得p+q+r=0,且若p+q+r=0,则必有p=q=r=0.
证明如图,由题意可得r=-(p+q).
∴p+q-(p+q)=0,
即p()=q(),p=q,
∴p+q=0=0·+0·.
由平面向量的基本定理可知,其分解是唯一的,
∴p=0,q=0,p+q=0.∵p+q+r=0,
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故有p=q=r=0.
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