§7 向量应用举例
课后篇巩固探究
1.在四边形ABCD中,=0,,则四边形ABCD是( )
A.直角梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
解析由=0知.由知BC=AD,且BC∥AD,故四边形ABCD是矩形.
答案C
2.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,∠B=45°,AB=2CD=2,M为腰BC的中点,则=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系(图略),则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),∴中点M的坐标为,
∴.
∴=2.
答案B
3.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为20 N,合力与F1的夹角为30°,那么F1的大小为( )
A.10 N B.10 N
C.20 N D.10 N
答案A
4.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于( )
A.以a,b为邻边的平行四边形的面积
B.以b,c为邻边的平行四边形的面积
C.以a,b为两边的三角形的面积
D.以b,c为两边的三角形的面积
解析设a与b的夹角为θ,则|b·c|=|b||c||cos(90°-θ)|=|b||a||sin θ|,则|b·c|的值一定等于以a,b为邻边的平行四边形的面积.
答案A
5.已知△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(,0),(0,-2),O为坐标原点,动点P满足||=1,则||的最小值是( )
A.4-2 B.-1 C.+1 D.
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解析设P(x,y),由||=1可知x2+(y+2)2=1,所以点P的轨迹是以C(0,-2)为圆心,1为半径的圆,
又||=的最小值表示点P与点(-,-1)之间的距离的最小值,由点和圆的位置关系可知,||的最小值为-1=-1.
答案B
6.点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为 .
解析设P点坐标为(x,y),
则有∴P(10,-5).
答案(10,-5)
7.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P在线段AB的中垂线上,则x= .
解析设AB的中点为M,则M=(x-1,-1),由题意可知=(-4,-3),,则=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=.
答案
8.如图所示,在倾斜角为37°(sin 37°=0.6),高为2 m的斜面上,质量为5 kg的物体m沿斜面下滑,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则斜面对物体m的支持力所做的功为 J,重力对物体m所做的功为 J(g=9.8 m/s2).
解析物体m的位移大小为|s|=(m),
则支持力对物体m所做的功为
W1=F·s=|F||s|cos 90°=0(J);
重力对物体m所做的功为
W2=G·s=|G||s|cos 53°=5×9.8××0.6=98(J).
答案0 98
9.导学号93774084设O为△ABC的外心,已知AB=3,AC=4,非零实数x,y满足=x+y,且x+2y=1,求cos∠BAC的值.
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解设AC的中点为D,则=x+y=x+2y,∵x+2y=1,∴O,B,D三点共线,由O为△ABC的外心知OD⊥AC,即BD⊥AC,在Rt△ADB中,AB=3,AD=AC=2,所以cos∠BAC=.
10.导学号93774085在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图①所示),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.
解如图②所示,两根绳子的拉力之和,且||=||=300 N,∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠AOC=30°,则∠OAC=90°,从而||=||cos 30°=150(N),||=||sin 30°=150(N),||=||=150 N.
故与铅垂线成30°角的绳子的拉力大小是150 N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力大小是150 N.
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