2019高中数学第二章平面向量测评含解析北师大版必修4.docx

第二章 平面向量测评 ‎(时间:120分钟　满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.以下说法中不正确的是(　　)‎ A.零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 解析只有C是错误的,平行向量有方向相同与相反两种情况.‎ 答案C ‎2.已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M∩N等于(　　)‎ A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)}‎ C.{(-2,-2)} D.⌀‎ 解析设a=(x,y),对于M,(x,y)=(1,2)+λ(3,4),(x-1,y-2)=λ(3,4),x-1=3λ,‎y-2=4λ,‎‎∴x-1‎‎3‎=‎y-2‎‎4‎.①‎ 对于N,(x,y)=(-2,-2)+λ(4,5),(x+2,y+2)=λ(4,5),x+2=4λ,‎y+2=5λ,‎‎∴x+2‎‎4‎=‎y+2‎‎5‎.②‎ 由①②解得x=-2,y=-2,故M∩N={(-2,-2)}.‎ 答案C ‎3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎a+‎3‎‎2‎b B.‎1‎‎2‎a-‎3‎‎2‎b C.‎3‎‎2‎a-‎1‎‎2‎b D.-‎3‎‎2‎a+‎1‎‎2‎b 解析设c=xa+yb,因此,‎x+y=-1,‎x-y=2,‎ 解得x=‎1‎‎2‎,‎y=-‎3‎‎2‎,‎因此,c=‎1‎‎2‎a-‎3‎‎2‎b.‎ 答案B ‎4.(2018全国Ⅱ高考)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.0‎ 解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.‎ 答案B ‎5.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=(　　)‎ A.‎5‎ B.‎10‎ C.2‎5‎ D.10‎ 解析由a⊥c得a·c=2x-4=0,所以x=2,‎ 由b∥c得1×(-4)=2y,所以y=-2,‎ 于是a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),‎ 从而|a+b|=‎10‎.‎ 答案B ‎6.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB‎,CD=‎‎1‎‎3‎CA+λCB,则λ=(　　)‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎1‎‎3‎ C.-‎1‎‎3‎ D.-‎‎2‎‎3‎ 解析∵AD=2DB,∴CD‎-CA=AD=‎‎2‎‎3‎AB=2DB=2(CB‎-‎CD),即得CD‎=‎1‎‎3‎CA+‎‎2‎‎3‎CB,由已知条件CD‎=‎‎1‎‎3‎CA+λCB可得λ=‎2‎‎3‎.‎ 答案A ‎7.(2018全国Ⅰ高考)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=(　　)‎ A.‎3‎‎4‎AB‎-‎‎1‎‎4‎AC B.‎‎1‎‎4‎AB‎-‎‎3‎‎4‎AC 5‎ C.‎3‎‎4‎AB‎+‎‎1‎‎4‎AC D.‎‎1‎‎4‎AB‎+‎‎3‎‎4‎AC 解析如图,EB=-‎BE ‎=-‎1‎‎2‎‎(BA+‎BD)‎ ‎=‎‎1‎‎2‎AB‎-‎‎1‎‎4‎BC ‎=‎1‎‎2‎AB‎-‎1‎‎4‎(AC-‎AB)=‎3‎‎4‎AB‎-‎‎1‎‎4‎AC.‎ 答案A ‎8.在△ABC中,∠ACB=90°,且CA=CB=3,点M满足BM=2MA,则CM‎·‎CB=(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ 解析 如图,‎ ‎∵‎CM‎=CA+AM=CA+‎‎1‎‎3‎AB ‎=CA‎+‎1‎‎3‎(CB-‎CA)‎ ‎=‎2‎‎3‎CA‎+‎‎1‎‎3‎CB,‎ ‎∴CM‎·CB=‎2‎‎3‎CA·CB+‎1‎‎3‎|‎CB|2‎ ‎=‎2‎‎3‎×0+‎1‎‎3‎×32=3.‎ 答案B ‎9.若非零向量a,b满足|a|=‎2‎‎2‎‎3‎|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为(　　)‎ A.π‎4‎ B.π‎2‎ C.‎3π‎4‎ D.π 解析由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|2-a·b-2|b|2=0.设a与b的夹角为θ,所以3|a|2-|a||b|cosθ-2|b|2=0,即3·‎2‎‎2‎‎3‎‎|b|‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎‎3‎|b|2cosθ-2|b|2=0,整理,得cosθ=‎2‎‎2‎,故θ=π‎4‎.‎ 答案A ‎10.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),点C在第二象限内,∠AOC=‎5π‎6‎,且|OC|=2,若OC=λOA+μOB,则λ,μ的值是(　　)‎ A.‎3‎,1 B.1,‎3‎ C.-1,‎3‎ D.-‎3‎,1‎ 解析根据平面向量的基本定理并结合图形求出分量即可.‎ 答案D ‎11.若点O为平面内任意一点,且(OB‎+‎OC-2OA)·(AB‎-‎AC)=0,则△ABC是(　　)‎ A.直角三角形或等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形但不一定是直角三角形 D.直角三角形但不一定是等腰三角形 解析由(OB‎+‎OC-2OA)·(AB‎-‎AC)=0得(AB‎+‎AC)·(AB‎-‎AC)=0,∴AB‎2‎‎-‎AC‎2‎=0,即|AB|=|AC|.‎ ‎∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.由题意不能判定△ABC为直角三角形.‎ 答案C ‎12.设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为(　　)‎ A.‎2π‎3‎ B.π‎3‎ C.π‎6‎ D.0‎ 5‎ 解析设S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若S的表达式中有0个a·b,则S=2a2+2b2,记为S1;若S的表达式中有2个a·b,则S=a2+b2+2a·b,记为S2;若S的表达式中有4个a·b,则S=4a·b,记为S3.‎ 又|b|=2|a|,所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3