2.2 向量的减法
课后篇巩固探究
1.可以写成①;②;③;④.其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解析.
答案D
2.若a,b是两个不相等的向量,则a-b与b-a( )
A.模相等,方向相反
B.模相等,方向相同
C.仅方向相反
D.仅模相等
解析设=a,=b,则a-b=,b-a=,显然是一对相反向量.
答案A
3.下列各式中不能化简为的是( )
A.+() B.()+()
C. D.
解析+()=;
()+()=()+()=;
;
,显然由得不出;
∴不能化简为的式子是D.
答案D
4.已知O是四边形ABCD所在平面内的一点,且满足等式,则四边形ABCD是( )
A.平行四边形 B.菱形
C.梯形 D.等腰梯形
解析∵,
而,
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∴,
∴,即AB∥CD,且AB=CD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
答案A
5.平面上有三点A,B,C,设m=,n=,若m,n的长度恰好相等,则有( )
A.A,B,C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
解析如右图,作▱ABCD,则,
∵|m|=|n|,∴||=||.
∴▱ABCD为矩形.
∴△ABC为直角三角形,∠B=90°.
答案C
6.如图所示,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则= .(用a,b,c表示)
解析=c-b.
又,
∴=c-b.
∴=a+c-b.
答案a+c-b
7.已知O是边长为6的等边三角形ABC的中心,则||= .
解析如图,=()-.
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∵等边三角形ABC的边长为6,
∴||=×6=3.
∴||=×3=2.
答案2
8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|的值为 .
解析如图,在平面内任取一点A,作=a,=b,以AD,AB为邻边作▱ABCD,
则=a+b,=a-b.
由题意,知||=||=2,||=1.
过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F.
因为AB=BD=2,所以AE=ED=AD=.
在Rt△ABE中,cos∠EAB=.
易知∠CBF=∠EAB,
所以cos∠CBF=.
所以BF=BC·cos∠CBF=1×.
所以CF=.
所以AF=AB+BF=2+.
在Rt△AFC中,AC=,所以|a+b|=.
答案
9.导学号93774065已知任意四边形ABCD,E为AD的中点,F为BC的中点,求证:.
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证明如图所示,在四边形CDEF中,
. ①
在四边形ABFE中,
. ②
由①+②,得
=()+()+().
∵E,F分别是AD,BC的中点,
∴=0,=0,
∴,即.
10.导学号93774066已知=a,=b,且|a|=|b|=2,∠AOB=,求|a+b|,|a-b|.
解以OA,OB为邻边作如图所示的平行四边形OBCA,
由向量的三角形法则和平行四边形法则,可得a+b=,a-b=.
又|a|=|b|,
∴平行四边形OBCA为菱形.
∵∠AOB=,
∴|a+b|=||=2||=2,|a-b|=||=2.
11.如图,在▱ABCD中,=a,=b.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在的直线互相垂直?
(2)a+b与a-b有可能为相等向量吗?为什么?
解(1)=a+b,=a-b.
若a+b与a-b所在的直线互相垂直,则AC⊥BD.
因为当|a|=|b|时,四边形ABCD为菱形,此时AC⊥BD,
故当a,b满足|a|=|b|时,a+b与a-b所在的直线互相垂直.
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(2)不可能.因为▱ABCD的两对角线不可能平行,所以a+b与a-b不可能为共线向量,更不可能为相等向量.
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