2019高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标课后篇巩固探究含解析北师大版必修4.doc

‎§4　平面向量的坐标 课后篇巩固探究 A组　基础巩固 ‎1.设向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=λc(λ∈R),则λ+x的值是(　　)‎ A.- B. C.- D.‎ 答案C ‎2.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为(　　)‎ A.-2,1 B.1,-2‎ C.2,-1 D.-1,2‎ 解析∵c=λ1a+λ2b,‎ ‎∴(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3).‎ ‎∴解得λ1=-1,λ2=2.‎ 答案D ‎3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量是(　　)‎ A. B. ‎ C. D.‎ 解析易得=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与同方向的单位向量为(3,-4)=,故选A.‎ 答案A ‎4.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是 (　　)‎ A.e1=(0,0),e2=(1,2)‎ B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)‎ C.e1=(3,5),e2=(6,10)‎ D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)‎ 解析设a=k1e1+k2e2,‎ A选项,∵(3,2)=(k2,2k2),‎ ‎∴无解.‎ B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),‎ ‎∴解得 故B中的e1,e2可把a表示出来.‎ 同理,C,D选项同A选项,无解.‎ 答案B ‎5.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d=(　　)‎ A.(2,6) B.(-2,6)‎ - 6 -‎ C.(2,-6) D.(-2,-6)‎ 解析设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,‎ 所以d=(-2,-6).‎ 答案D ‎6.在▱ABCD中,若=(1,3),=(2,5),则=　　　,=　　　. ‎ 解析=(1,2),‎ ‎=(0,-1).‎ 答案(1,2)　(0,-1)‎ ‎7.已知e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),以e1,e2为基底将a分解为a1e1+a2e2的形式为　　　　　　　. ‎ 解析设a=a1e1+a2e2(a1,a2∈R),‎ 则(-1,2)=a1(1,2)+a2(-2,3)=(a1-2a2,2a1+3a2),‎ 所以解得 所以a=e1+e2.‎ 答案a=e1+e2‎ ‎8.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+的值是　　　. ‎ 解析∵A,B,C三点共线,∴共线,∴存在实数λ,使(a-1,1)=λ(-b-1,2),∴解得λ=,a+.‎ 答案 ‎9.已知边长为2的等边三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,点C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量的坐标.‎ 解如图,等边三角形ABC的边长为2,‎ 则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60°,2sin 60°),‎ ‎∴C(1,),∴D,‎ - 6 -‎ ‎∴=(2,0),=(1,),‎ ‎∴=(1-2,-0)=(-1,),‎ ‎.‎ ‎10.设A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),当x为何值时,共线且方向相同?此时点A,B,C,D能否在同一直线上?‎ 解设点O为坐标原点,则根据题意有=(2x,2)-(x,1)=(x,1),‎ ‎=(1,2x)-(2x,2)=(1-2x,2x-2),=(5,3x)-(1,2x)=(4,x).‎ 由共线,得x2-4=0,即x=±2.‎ 又方向相同,∴x=2.‎ 此时,=(2,1),=(-3,2),而2×2-1×(-3)=7≠0,∴不共线,‎ ‎∴A,B,C三点不在同一直线上.‎ ‎∴点A,B,C,D不在同一直线上.‎ ‎11.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标.‎ 解(1)设点A(x,y),B(x0,y0),‎ ‎∵|a|=2,且∠AOx=45°,‎ ‎∴x=2cos 45°=,且y=2sin 45°=.‎ 又|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,‎ ‎∴x0=3cos 120°=-,y0=3sin 120°=.‎ 故a==(),b=.‎ ‎(2)如图所示,以点O为原点,所在直线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.‎ ‎∵||=1,∠AOB=150°,‎ - 6 -‎ ‎∴B(-cos 30°,sin 30°),‎ ‎∴B.‎ ‎∵||=3,∴C(-3sin 30°,-3cos 30°),‎ 即C.‎ 又A(2,0),‎ ‎∴-(2,0)=,‎ ‎.‎ B组　能力提升 ‎1.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“􀱋”为m􀱋n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p􀱋q=(-4,-3),则q等于(　　)‎ A.(-2,1) B.(2,1)‎ C.(2,-1) D.(-2,-1)‎ 解析设q=(x,y),由题设中运算法则,得 p􀱋q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3),‎ 即解得 故q=(-2,1).‎ 答案A ‎2.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,0)∪(0,+∞) ‎ B.(-∞,3)‎ C.(-∞,-3)∪(-3,+∞) ‎ D.[-3,3)‎ 解析因为平面上任意向量c都可以用a,b唯一表示,所以a,b是平面向量的一组基底,即a,b为不共线的非零向量,则3m≠2m-3,即m≠-3,故选C.‎ 答案C ‎3.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至点E,使||=|,则点E的坐标为　　　　　　　　. ‎ 解析∵,∴A为BC中点,∴点C的坐标为(3,-6).又||=|,且E在DC的延长线上,‎ ‎∴=-.‎ 设E(x,y),则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y).‎ - 6 -‎ 于是解得 故点E坐标是.‎ 答案 ‎4.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若+λ(λ∈R),试求当点P在第三象限时λ的取值范围.‎ 解由题意得=(3+5λ,1+7λ).‎ 设点P(x,y),则=(x-2,y-3).‎ 于是(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),‎ 所以 又点P在第三象限,‎ 所以解得λ