习题课--平面向量数量积的综合应用
课后篇巩固探究
1.已知a=(3,-2),b=(1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为( )
A.- B. C.- D.
解析向量λa+b与a-2b垂直,则(λa+b)·(a-2b)=0,又因为a=(3,-2),b=(1,0),故(3λ+1,-2λ)·(1,-2)=0,即3λ+1+4λ=0,解得λ=-.
答案C
2.若△ABC满足∠A=,AB=2,则下列三个式子:①,②,③中为定值的式子的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析因为=||||cos =0,
所以为定值;
因为=||||cos B=||2=4,
所以为定值.
同理=||2,
而||不是定值,故③不满足.故选C.
答案C
3.已知平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=( )
A.-8 B.-6 C.6 D.8
解析·()=()·(-2)=[(1,3)-(2,4)]·[(1,3)-2(2,4)]=(-1)×(-3)+(-1)×(-5)=8.
答案D
4.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角的余弦值为sin,则b·(2a-b)等于( )
A.2 B.-1 C.-6 D.-18
答案D
5.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b夹角的取值范围是( )
A. B.
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C. D.
解析设a,b的夹角为θ,由题意得Δ≥0,即|a|2≥4a·b,
∴cos θ=,∴θ≥.
又θ∈[0,π],∴θ∈.
答案B
6.已知△ABC中,||=10,=-16,D为BC边的中点,则||等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
解析∵D为BC边的中点,∴).
∴||=|.
又∵||=10,且,
∴||=10,即()2=100,
即||2+||2-2=100.
∵=-16,∴||2+||2=68,
故()2=68-32=36.
∴||=6,即||=3.故选D.
答案D
7.已知平面向量a=(2,4),b=(1,-2),若c=a-(a·b)b,则|c|=.
解析由题意可得a·b=2×1+4×(-2)=-6,
∴c=a-(a·b)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),
∴|c|==8.
答案8
8.已知向量a=(2,1),b=(-1,2),若a,b在向量c上的投影相等,且(c-a)·(c-b)=-,则向量c的坐标为 .
解析设c=(x,y),c与a的夹角为α,c与b的夹角为β.由已知有|a|cos α=|b|cos β,即,即(a-b)·c=0,即3x-y=0①,由已知(c-a)·(c-b)=-,即x2+y2-x-3y+=0②,①②联立得x=,x=,即c=.
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答案
9.
如图,A是半径为5的圆O上的一个定点,单位向量在A点处与圆O相切,点P是圆O上的一个动点,且点P与点A不重合,则的取值范围是 .
解析如图所示,以AB所在直线为x轴,AO所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.设点P(x,y),B(1,0),A(0,0),则=(1,0),=(x,y),所以=(x,y)·(1,0)=x.因为点P在圆x2+(y-5)2=25上,所以-5≤x≤5,即-5≤≤5.所以应填[-5,5].
答案[-5,5]
10.导学号93774081已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)).
(1)若点A,B,C不能构成三角形,求实数m应满足的条件;
(2)若△ABC为直角三角形,求实数m的值.
解(1)∵=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)),若点A,B,C不能构成三角形,则这三点共线.∵=(3,1),=(2-m,1-m),
∴,即3(1-m)=2-m,∴m=.
(2)若△ABC为直角三角形,且①A为直角,则,∴3(2-m)+(1-m)=0,解得m=.②B为直角,=(-1-m,-m),则,
∴3(-1-m)+(-m)=0,解得m=-.③C为直角,则,∴(2-m)(-1-m)+(1-m)(-m)=0,解得m=.
综上所述,m=或m=-或m=.
11.导学号93774082已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,求证:△ABC的三条高交于一点.
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证明如图所示,设BE,CF交于点H,
=b,=c,=h,
则=h-b,=h-c,=c-b.
∵,
∴
由①-②,得h·(c-b)=0,
即=0,∴,∴AH的延长线过点D,从而AD,BE,CF相交于一点H.
12.导学号93774083已知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).
(1)求使取到最小值时的;
(2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB.
解(1)因为点C是直线OP上的一点,
所以向量共线.设=t,
则=t(2,1)=(2t,t),
=(1-2t,7-t),
=(5-2t,1-t),
=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8,
当t=2时,取得最小值,此时=(4,2).
(2)当t=2时,=(-3,5),=(1,-1).
所以||=,||==-3-5=-8.
cos∠ACB==-.
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