§1 从位移、速度、力到向量
课后篇巩固探究
1.已知向量a与b是两个不平行的向量,若a∥c且b∥c,则c等于( )
A.0 B.a
C.b D.不存在这样的向量
解析零向量与任一向量是共线向量,故c=0.
答案A
2.
如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列判断错误的是( )
A.
B.
C.||=||
D.
解析的模相等,但方向不相同,因此,不是共线向量,更不是相等向量.
答案D
3.设O是正方形ABCD的中心,向量是 ( )
A.平行向量 B.有相同终点的向量
C.相等向量 D.模相等的向量
答案D
4.若a为任一非零向量,b是模为1的向量,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.
其中正确的是( )
A.①④ B.③ C.①②③ D.②③
解析题中只明确了b的模的大小,而没有指明a的模,因此,①错误;④错误;题中没有说明a,b的方向,故不能判断两向量是否平行,因此,②错误;向量的模是一个长度,其值大于等于0,故③正确.
答案B
5.已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,则下列说法中错误的是( )
A.C⫋A B.A∩B={a}
C.C⫋B D.A∩B⫌{a}
解析A∩B含有a的相反向量,所以B错误.
答案B
6.
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如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
解析根据相等向量的定义,A中,的方向不同,故A错误;B中,的方向不同,故B错误;C中,的方向相反,故C错误;D中,的方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故D正确.
答案D
7.如图所示,在四边形ABCD中,,且||=||,则四边形ABCD的形状为 .
解析∵,∴四边形ABCD为平行四边形.
又||=||,∴平行四边形ABCD为菱形.
答案菱形
8.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AD与BC的中点,则在以A,B,C,D四点中的任意两点组成的所有向量中,与向量方向相反的向量为 .
解析由于AB∥EF∥CD,所以与共线的向量有,其中方向相反的是.
答案
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9.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2,的模为3,的模为1,则的模为 .
解析如图,延长CD,过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
因为∠ACD=∠BCD=∠AED,
所以||=||.
因为△ADE∽△BDC,
所以,
故||=.
答案
10.导学号93774061如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA边上的点,已知,试推断向量是否为相等向量,说明你的理由.
解,理由:∵,
∴||=||,点D是AB边的中点.
∵,
∴是平行向量,
∴DF∥BE,即DF∥BC.
∴=1,
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∴点F是AC边的中点.
∵点D是AB边的中点,
∴由三角形中位线定理知,DF=BC.
又||=||,即DF=BE,
∴BE=BC,
∴点E为BC边的中点.
∵点D是AB边的中点,
于是DE∥AC,且DE=AC.
∵点F是AC边的中点,
∴AF=AC,
∴DE∥AF,且DE=AF,
故.
11.导学号93774062如图所示,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S,且M,N不重合},试求集合T的子集的个数.
解由题意可知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共有20个,即.由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即.又集合元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个,从而集合T共有212个子集.
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