1
题型 03 一次函数的综合应用题
一、单选题
1．第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地
说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函
数图象可以体现这次比赛过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据乌龟早出发，早到终点，结合各图象进行分析判断即可.
【详解】A、兔子后出发，先到了，不符合题意；
B、乌龟比兔子早出发，而早到终点，符合题意；
C、乌龟先出发后到，不符合题意；
D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，不符合题意，
故选 B．
【点睛】本题考查了函数图象，弄清题意，认真分析是解题的关键.
2．已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在
体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中 表示时间， 表示林茂离家的距离．依据图
中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．体育场离林茂家
B．体育场离文具店
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是
x y
2.5km
1km
50 minm2
D．林茂从文具店回家的平均速度是
【答案】C
【分析】从图中可得信息：体育场离文具店 1000m，所用时间是（45﹣30）分钟，可算出速度．
【详解】解：从图中可知：体育场离文具店的距离是： ，
所用时间是 分钟，
∴体育场出发到文具店的平均速度
故选：C．
【点睛】本题运用函数图象解决问题，看懂图象是解决问题的关键．
3．如图，四边形 的顶点坐标分别为 ，当过点 的直线 将
四边形 分成面积相等的两部分时，直线 所表示的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知点可求四边形 ABCD 分成面积 ；求出 CD 的直线解析式
为 y=-x+3，设过 B 的直线 l 为 y=kx+b，并求出两条直线的交点，直线 l 与 x 轴的交点坐标，根据面积有
，即可求 k。
【详解】解：由 ，
∴ ，
∴四边形 分成面积 ，
可求 的直线解析式为 ，
设过 的直线 为 ，
将点 代入解析式得 ，
60 minm
2.5 1.5 1 1000km m− = =
( )45 30 15− =
1000 200 min15 3 m= = /
ABCD ( ) ( ) ( ) ( )4,0 , 2, 1 , 3,0 , 0,3A B C D− − − B l
ABCD l
11 6
10 5y x= + 2 1
3 3y x= +
1y x= + 5 3
4 2y x= +
( )1 13 7 4 142 2BAC y= × × + = × × =
1 1 2 5 17 3 12 1
k k
k k
− − = × − × + +
( ) ( ) ( ) ( )4,0 , 2, 1 , 3,0 , 0,3A B C D− − −
7 , 3AC DO= =
ABCD ( )1 13 7 4 142 2BAC y= × × + = × × =
CD 3y x= − +
B l y kx b= +
B 2 1y kx k= + −3
∴直线 与该直线的交点为 ，
直线 与 轴的交点为 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ，
∴直线解析式为 ；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法求
函数解析式的方法是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知 是线段 上的一个动点，连接
，过点 作 交 轴于点 ，若点 在直线 上，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当点 M 在 AB 上运动时，MN⊥MC 交 y 轴于点 N，此时点 N 在 y 轴的负半轴移动，定有△AMC∽△
NBM；只要求出 ON 的最小值，也就是 BN 最大值时，就能确定点 N 的坐标，而直线 y=kx+b 与 y 轴交于点 N
（0，b），此时 b 的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函
数的最值得以解决．
【详解】解：连接 ，则四边形 是矩形，
，
CD 4 2 5 1,1 1
k k
k k
− −
+ +
2 1y kx k= + − x 1 2 , 0k
k
−
1 1 2 5 17 3 12 1
k k
k k
− − = × − × + +
5
4k = 0k =
5
4k =
5 3
4 2y x= +
( ) ( ) ( )3, 2 , 0,-2 , 3,0 ,A B C M− − − AB
CM M MN MC⊥ y N M N、 y kx b= + b
7
8
− 3
4
− 1− 0
AC ABOC
90A ABO °∴∠ = ∠ =4
又 ，
，
，
，
，
设 ．则 ，
，
即：
当 时，
直线 与 轴交于
当 最大，此时 最小，点 越往上， 的值最大，
，
此时，
的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】本题综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；
构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．
5．甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程 （米）与时间 （秒）之间的
函数图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（ ）
MN MC⊥
90CMN °∴∠ =
AMC MNB∴∠ = ∠
~AMC NBM∴∆ ∆
AC AM
MB BN
∴ =
,BN y AM x= = 3 , 2MB x ON y= − = −
2
3
x
x y
∴ =−
21 3
2 2y x x= +
∴
3
32
12 22 2
bx a
= − = − = × −
21 3 3 3 9
2 2 2 2 8y = × + × = 最大
y kx b= + y ( )0,N b
BN ON ( )0,N b b
9 72 8 8ON OB BN∴ = − = − =
70, 8N −
b 7
8
−
s t5
A．乙队率先到达终点
B．甲队比乙队多走了 米
C．在 秒时，两队所走路程相等
D．从出发到 秒的时间段内，乙队的速度慢
【答案】C
【分析】根据函数图形，结合选项进行判断，即可得到答案.
【详解】解： 、由函数图象可知，甲走完全程需要 秒，乙走完全程需要 秒，甲队率先到达终点，
本选项错误；
、由函数图象可知，甲、乙两队都走了 米，路程相同，本选项错误；
、由函数图象可知，在 秒时，两队所走路程相等，均为 米，本选项正确；
、由函数图象可知，从出发到 秒的时间段内，甲队的速度慢，本选项错误；
故选： ．
【点睛】本题考查函数图象，解题的关键是读懂函数图象的信息.
6．一条公路旁依次有 三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从 村、 村同时出发前往 村，甲乙之
间的距离 与骑行时间 之间的函数关系如图所示，下列结论：① 两村相距 10 ；②出发
1.25 后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行 8 ；④相遇后，乙又骑行了 15 或 65 时两人相距
2 ．其中正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【分析】根据题意结合一次函数的图像与性质即可一一判断.
【详解】解：
126
47.8
13.7
A 82.3 90.2
B 300
C 47.8 174
D 13.7
C
, ,A B C A B C
( )s km t(h) ,A B km
h km min min
km6
由图象可知 村、 村相离 10 ，故①正确，
当 1.25 时，甲、乙相距为 0 ，故在此时相遇，故②正确，
当 时，易得一次函数的解析式为 ，故甲的速度比乙的速度快 8 ．故③正确
当 时，函数图象经过点 设一次函数的解析式为
代入得 ，解得
∴
当 时．得 ，解得
由
同理当 时，设函数解析式为
将点 代入得
，解得
∴
当 时，得 ，解得
由
故相遇后，乙又骑行了 15 或 65 时两人相距 2 ，④正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与应用.
7．一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始 内只进水不出水，容器内存水 ，在随后的
内既进水又出水，容器内存水 ，接着关闭进水管直到容器内的水放完.若每分钟进水和出水量是
两个常数，容器内的水量 （单位： ）与时间 （单位： ）之间的函数关系的图象大致的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据只进水不出水、既进水又出水、只出水不进水这三个时间段逐一进行分析即可确定答案.
A B km
h km
0 1.25t≤ ≤ 8 10s t= − + /km h
1.25 2t≤ ≤ (1.25,0) (2,6) s kt b= +
0 1.25
6 2
k b
k b
= +
= +
k 8
b 10
=
= −
8 10s t= +
2s = 2 8 10t= − 1.5t h=
1.5 1.25 0.25 15minh− = =
2 2.5t≤ ≤ s kt b= +
(2,6) (2.5,0)
0 2.5k b
6 2k b
= +
= +
k 12
b 30
= −
=
12 30s t= − +
2s = 2 12 30t= − + 7
3t =
7 131.25 65min3 12 h− = =
min min km
4min 8L
8min 12L
y L x min7
【详解】∵从某时刻开始 内只进水不出水，容器内存水 ；
∴此时容器内的水量随时间的增加而增加，
∵随后的 内既进水又出水，容器内存水 ，
∴此时水量继续增加，只是增速放缓，
∵接着关闭进水管直到容器内的水放完，
∴水量逐渐减少为 0，
综上，A 选项符合，
故选 A．
【点睛】本题考查了函数的图象，弄清题意，正确进行分析是解题的关键.
8．在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操
控的慢车分别从 两地同时出发，相向而行．快车到达 地后，停留 3 秒卸货，然后原路返回 地，慢
车到达 地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离 （米）与行驶时间 （秒）的函数图象，根据图
象信息，计算 的值分别为（ ）
A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4
【答案】B
【分析】根据函数图象可得：速度和为： 米/秒，由题意得： ，可解得： ，
因此慢车速度为： 米/秒，快车速度为： 米/秒，
快车返回追至两车距离为 24 米的时间： 秒，可进一步求 秒．
【详解】速度和为： 米/秒，
由题意得： ，解得： ，
因此慢车速度为： 米/秒，快车速度为： 米/秒，
快车返回追至两车距离为 24 米的时间： 秒，因此 秒．
故选：B．
4min 8L
8min 12L
,A B B A
A y x
,a b
24 (30 18)÷ − 24
3 33
b b− = b
24
3
b −
2 0.8 1.2− =
(26.4 24) (1.2 0.8) 6− ÷ − = a
24 (30 18) 2÷ − =
24
3 33
b b− = b=26.4
24 0.83
b − = 2 0.8 1.2− =
(26.4 24) (1.2 0.8) 6− ÷ − = 33 6 39a = + =8
【点睛】考核知识点：从函数图象获取信息.理解题意，从图象获取信息是关键.
9．“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童．战士们从营地出发，匀速步行前往文具店选购礼
物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福利院（营地、文具店、福利院三地依次在同一直线上）．到达
后因接到紧急任务，立即按原路匀速跑步返回营地（赠送礼物的时间忽略不计），下列图象能大致反映战
士们离营地的距离 与时间 之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，可以写出各段过程中， 与 的关系，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，战士们从营地出发到文具店这段过程中， 随 的增加而增大，故选项 A 错误，
战士们在文具店选购文具的过程中， 随着 的增加不变，战士们从文具店去福利院的过程中， 随着 的
增加而增大，故选项 C 错误，战士们从福利院跑回营地的过程中， 随着 的增大而减小，且在单位时间内
距离的变化比战士们从营地出发到文具店这段过程中快，故选项 B 正确，选项 D 错误，故选：B．
【点睛】本题主要考查图象的识别能力，关键在于根据图象来分析问题,是中考的必考点.
10．如图，在矩形 中， ， ，动点 沿折线 从点 开始运动到点 ．设运动的
路程为 ， 的面积为 ，那么 与 之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
S t
S t
S t
S t S t
S t
ABCD 2AB = 3BC = P BCD B D
x ADP∆ y y x9
【分析】由题意当 时， ，当 时， ，由此即可判断．
【详解】由题意当 时， ，
当 时， ，
故选 D．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论是扇形思考问题．
二、填空题
11．在登山过程中，海拔每升高 1 千米，气温下降 6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是 2℃，登山
队员从大本营出发登山，当海拔升高 x 千米时，所在位置的气温是 y℃，那么 y 关于 x 的函数解析式是
______.
【答案】y＝－6x＋2
【分析】根据海拔每升高 1km 气温下降 6℃，可得登山队员由大本营向上登高 xkm 时，气温下降 6x℃；
接下来运用“登山队大本营所在地的气温为 2℃”即可求出 y 与 x 函数关系式.
【详解】根据题意得 y=-6x+2
故答案为：y=-6x+2
【点睛】此题考查一次函数的解析式，解题关键在于根据题意列出方程组
12．已知函数 的图象如图所示，若直线 与该图象恰有两个不同的交点，则
的取值范围为_____．
【答案】
【分析】直线与 有一个交点，与 有两个交点，则有 ， 时，
，即可求解．
【详解】解：直线 与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与 有一个交点，
∴ ，
∵与 有两个交点，
0 3x≤ ≤ 3y = 3 5x< < ( )1 3 153 52 2 2y x x= × × − = − +
0 3x≤ ≤ 3y =
3 5x< < ( )1 3 153 52 2 2y x x= × × − = − +
2 2 ( 0)
( 0)
x x xy
x x
− + >= ≤
y x m= + m
10 4m< <
y x= 2 2y x x= − + 0m > 2 2x m x x+ = − +
1 4 0m∆ = − >
y x m= +
y x=
0m >
2 2y x x= − +10
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定
的范围．
13．如图，在平面直角坐标系中， 的直角顶点 的坐标为 ，点 在 轴正半轴上，且
．将 先绕点 逆时针旋转 ，再向左平移3个单位，则变换后点 的对应点的坐标为______．
【答案】
【分析】先求出点 A 的坐标，然后根据旋转的性质求出旋转后点 A 的对应点的坐标，继而根据平移的性质
即可求得答案.
【详解】∵点 的坐标为 ， ，
∴点 的坐标为 ，
如图所示，将 先绕点 逆时针旋转 90°，
则点 的坐标为 ，
再向左平移 3 个单位长度，则变换后点 的对应点坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质以及旋转的性质是解题的关键.
2 2x m x x+ = − +
1 4 0m∆ = − >
1
4m <
10 4m< <
10 4m< <
m
Rt ABC∆ C (1,0) A x
2AC = ABC∆ C 90 A
( 2,2)−
C (1,0) 2AC =
A (3,0)
Rt ABC∆ C
'A (1,2)
'A ( 2,2)−
( 2,2)−11
14．如图，点 A，C 分别是正比例函数 的图象与反比例函数 的图象的交点，过 A 点作 轴
于点 D，过 C 点作 轴于点 B，则四边形 ABCD 的面积为___．
【答案】8
【分析】由反比例函数的对称性可知 ， ，则 ，再根据
反比例函数 k 的几何意义可求得这四个三角形的面积，可求得答案．
【详解】 A、C 是两函数图象的交点，
A、C 关于原点对称，
轴， 轴，
， ，
，
又 反比例函数 的图象上，
，
，
故答案为：8.
【点睛】本题主要考查反比例函数的对称性和 k 的几何意义，根据条件得出 ， 是解题
的关键，注意 k 的几何意义的应用．
15．边长为 1 的 8 个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线 平分这 8 个正方形所组成的图形的面积，
交其中两个正方形的边于 ， 两点，过 点的双曲线 的一支交其中两个正方形的边于 ， 两点，
连接 ， ， ，则 __________．
=y x 4y x
= AD x⊥
CB x⊥
OA OC= OB OD= ΔAOB ΔBOC ΔDOC AODS S S S∠= = =
∴
CD x⊥ AB x⊥
OA OC∴ = OB OD=
ΔAOB ΔBOC ΔDOC AODS S S S∠∴ = = =
4y x
=
ΔAOB ΔBOC ΔDOC AOD
1S S S S 4 22∠∴ = = = = × =
ΔAOBS 4S 4 2 8∴ = = × =四边形
OA OC= OB OD=
1y k x=
A B B 2ky x
= C D
OC OD CD OCDS∆ =12
【答案】 ．
【分析】设 ，利用面积法得到 ，求出 A 点，再求出直线解析式，求出 B 点，再求出
双曲线的解析式，求出 D,C 的两点，然后用矩形面积减去三个三角形面积即可.
【详解】解：设 ，
直线 平分这 8 个正方形所组成的图形的面积，
，解得 ，
，
把 代入直线 得 ，解得 ，
直线解析式为 ，
当 时， ，则 ，
双曲线 经过点 ，
，
双曲线的解析式为 ，
当 时， ，解得 ，则 ；
当 时， ，则 ，
．
故答案为 ．
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系的综合运用，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键.
16．如图，直线 l1：y=x+1 与直线 l2：y=mx+n 相交于点 P（a，2），则关于 x 的不等式 x+1≤mx+n 的解集为
______．
119
48
( )4,A t 1 4 4 12 t× × = +
( )4,A t
1y k x=
1 4 4 12 t∴ × × = + 5
2t =
54, 2A ∴
54, 2A
1y k x= 1
54 2k = 1
5
8k =
∴ 5
8y x=
2x = 5 5
8 4y x= = 52, 4B
2ky x
= B
2
5 52 4 2k∴ = × =
∴
5
52
2y x x
= =
2y = 5 22x
= 5
4x = 5 ,24C
3x = 5 5
2 6y x
= = 53, 6D
1 5 1 5 1 5 5 1193 2 3 2 2 32 6 2 4 2 6 4 48OCDS∆
∴ = × − × × − × × − − × − =
119
4813
【答案】 的所有值
【分析】把 y=2 代入 y=x+1，求出 x 的值，从而得到点 P 的坐标，由于点 P 是两条直线的交点，根据两个函
数图象特点可以求得不等式 x+1≤mx+n 的解集．
【详解】把 y=2 代入 y=x+1，得 x=1，
∴点 P 的坐标为（1，2），
根据图象可以知道当 x≤1 时，y=x+1 的函数值不小于 y=mx+n 相应的函数值．
因而不等式 x+1≤mx+n 的解集是：x≤1．
故答案为：x≤1．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观
察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
17．某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法
联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发 2 分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车
回公司，2 分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，
甲乙两人相距的路程 y（米）与甲出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不
计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是______米．
【答案】6000
【分析】根据函数图象和题意可以分别求得甲乙的速度和乙从与甲相遇到返回公司用的时间，从而可以求
得当乙回到公司时，甲距公司的路程.
【详解】解：由题意可得，甲的速度为：4000÷（12-2-2）=500 米/分，
乙的速度为： =1000 米/分，
乙从与甲相遇到返回公司用的时间为 4 分钟，
则乙回到公司时，甲距公司的路程是：500×（12-2）-500×2+500×4=6000（米），
故答案为 6000.
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
18．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行
1x
4000 500 2 500 2
2 2
+ × − ×
+14
一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路s 关于行走的时间 t 和函数图象，则两图象交点 P
的坐标是_____．
【答案】（32，4800）
【分析】根据题意可以得到关于 t 的方程，从而可以求得点 P 的坐标，本题得以解决．
【详解】由题意可得，150t＝240（t﹣12），
解得，t＝32，
则 150t＝150×32＝4800，
∴点 P 的坐标为（32，4800），
故答案为：（32，4800）．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出方程 150t＝240（t﹣12）是解决问题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像分别交 、 轴于点 、 ，将直线 绕点
按顺时针方向旋转 ，交 轴于点 ，则直线 的函数表达式是__________．
【答案】
【分析】先根据一次函数 求得 、 坐标，再过 作 的垂线，构造直角三角形，根据勾股定
理和正余弦公式求得 的长度，得到 点坐标，从而得到直线 的函数表达式.
【详解】因为一次函数 的图像分别交 、 轴于点 、 ，则 ， ，则
．过 作 于点 ，因为 ，所以由勾股定理得 ，设 ，
则 ，根据等面积可得： ，即 ，解
得 ．则 ，即 ，所以直线 的函数表达式是 ．
2 1y x= − x y A B AB
B 45° x C BC
1 13y x= −
2 1y x= − A B A BC
OC C BC
2 1y x= − x y A B
1 ,02A
( )0, 1B −
5
2AB = A AD BC⊥ D 45ABC∠ = ° 10
4AD = BC x=
2 11 2AC OC OA x= − = − − AC OB BC AD× = × 2 1 101 2 4x x− − =
10x = 3OC = ( )3,0C BC 1 13y x= −15
【点睛】本题综合考察了一次函数的求解、勾股定理、正余弦公式，以及根据一次函数的解求一次函数的
表达式，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.
20．如图，已知在平面直角坐标系 中，直线 分别交 轴， 轴于点 和点 ，分别交反比
例函数 ， 的图象于点 和点 ，过点 作 轴于点 ，连结
. 若 的面积与 的面积相等，则 的值是_____.
【答案】2.
【分析】过点 作 轴于 .根据 k 的几何意义，结合三角形面积之间的关系，求出交点 D 的坐标，
代入 即可求得 k 的值．
【详解】如图，过点 作 轴于 .
把 y=0 代入 得：x=2，故 OA=2
由反比例函数比例系数的几何意义，
可得 ， .
∵ ，
xOy 1 12y x= − x y A B
( )1 0, 0ky k xx
= > > ( )2
2 0ky xx
= < C D C CE x⊥ E
,OC OD COE∆ DOB∆ k
D DF y⊥ F
( )2
2 0ky xx
= <
D DF y⊥ F
1 12y x= −
1
2COE kS∆ = DOFS k∆ =
1
2DOB COES S k∆ ∆= =16
∴ ，
∴ .
易证 ，从而 ，即 的横坐标为 ，而 在直线 上，
∴
∴ .
故答案为：2
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，反
比例函数“k“的几何意义，一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，关键是根据两个三角形的面积相
等列出 k 的方程．
三、解答题
21．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量 （千瓦时）关于已行驶路程 （千米）
的函数图象.
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶的路程，当 时，求 1 千瓦
时的电量汽车能行驶的路程；
（2）当 时求 关于 的函数表达式，并计算当汽车已行驶 180 千米时，蓄电池的剩余电量.
【答案】（1）1 千瓦时可行驶 6 千米；（2）当 时，函数表达式为 ，当汽车
行驶 180 千米时，蓄电池剩余电量为 20 千瓦时.
【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶了 150 千米，据此即可求出 1 千瓦时
的电量汽车能行驶的路程；
（2）运用待定系数法求出 y 关于 x 的函数表达式，再把 x=180 代入即可求出当汽车已行驶 180 千米时，蓄
电池的剩余电量．
【详解】（1）由图像可知，蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车行驶了 150 千米.
1 千瓦时可行驶 千米.
（2）设 ，把点 ， 代入，
1
2DBF DOF DOB DOBS S S k S∆ ∆ ∆ ∆= − = =
OB FB=
DBF ABO∆ ∆≌ 2DF AO= = D 2− D AC
( )2, 2D − −
( ) ( 22 )1 2 2k ×= × − − =
y x
0 150x≤ ≤
150 200x≤ ≤ y x
150 200x≤ ≤ 0.5 110y x= − +
150 660 35
=−
( 0)y kx b k= + ≠ (150,35) (200,10)17
得 ，∴ ，∴ .
当 时， .
答：当 时，函数表达式为 ，当汽车行驶 180 千米时，蓄电池剩余电量为 20
千瓦时.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）找出剩余
油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代
表的意义．
22．小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同
一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离 与小王的行驶时间 之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段 所表示的 与 之间的函数解析式，并写出自变量 的取值范围．
【答案】（1）小王和小李的速度分别是 、 ；（2） ．
【分析】 根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；
根据 中的结果和图象中的数据可以求得点 C 的坐标，从而可以解答本题．
【详解】解：（1）由图可得，
小王的速度为： ，
小李的速度为： ，
答：小王和小李的速度分别是 、 ；
（2）小李从乙地到甲地用的时间为： ，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为： ，
∴点 的坐标为 ，
设线段 所表示的 与 之间的函数解析式为 ，
，解得 ，
150 35
200 10
k b
k b
+ =
+ =
0.5
110
k
b
= −
= 0.5 110y x= − +
180x = 0.5 180 110 20y = − × + =
150 200x≤ ≤ 0.5 110y x= − +
( )y km ( )x h
BC y x x
10 /km h 20 /km h (30 30 1 1.5)y x x= − ≤ ≤
( )1
( )2 ( )1
30 3 10 /km h÷ =
( )30 10 1 1 20 /km h− × ÷ =
10 /km h 20 /km h
30 20 1.5h× =
10 1.5 15km× =
C ( )1.5,15
BC y x y kx b= +
0
1.5 15
k b
k b
+ =
+ =
30
30
k
b
=
= −18
即线段 所表示的 与 之间的函数解析式是 ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确坐标轴中 xy 所表示的对象量，利用一次函数的
性质和数形结合的思想解答．
23．快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车
休息 1.5 小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为 x 小时，快车行驶的路程为 千米，慢车行驶的路程
为 千米．如图中折线 OAEC 表示 与 x 之间的函数关系，线段 OD 表示 与 x 之间的函数关系．
请解答下列问题：
（1）求快车和慢车的速度；
（2）求图中线段 EC 所表示的 与 x 之间的函数表达式；
（3）线段 OD 与线段 EC 相交于点 F，直接写出点 F 的坐标，并解释点 F 的实际意义．
【答案】（1）快车的速度为 90 千米/小时，慢车的速度为 60 千米/小时；（2） ；（3）点 F
的坐标为 ，点 F 代表的实际意义是在 4.5 小时时，甲车与乙车行驶的路程相等．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度；
（2）根据函数图象中的数据可以求得点 E 和点 C 的坐标，从而可以求得 与 x 之间的函数表达式；
（3）根据图象可知，点 F 表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点 F 的坐标，并写出点 F 的实
际意义．
【详解】（1）快车的速度为： 千米/小时，
慢车的速度为： 千米/小时，
答：快车的速度为 90 千米/小时，慢车的速度为 60 千米/小时；
（2）由题意可得，
点 E 的横坐标为： ，
则点 E 的坐标为 ，
快车从点 E 到点 C 用的时间为： （小时），
则点 C 的坐标为 ，
设线段 EC 所表示的 与 x 之间的函数表达式是 ，
BC y x (30 30 1 1.5)y x x= − ≤ ≤
1y
2y 1y 2y
1y
1 90 135= −xy
(4.5,270)
1y
180 2 90÷ =
180 3 60÷ =
2 1.5 3.5+ =
(3.5,180)
(360 180) 90 2− ÷ =
(5.5,360)
1y 1y kx b= +19
，得 ，
即线段 EC 所表示的 与 x 之间的函数表达式是 ；
（3）设点 F 的横坐标为 a，
则 ，
解得， ，
则 ，
即点 F 的坐标为 ，点 F 代表的实际意义是在 4.5 小时时，甲车与乙车行驶的路程相等．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出方程
24．已知 、 两地之间有一条 270 千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以 60 千米/时的速度沿此公
路从 地匀速开往 地，乙车从 地沿此公路匀速开往 地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相
距的路程 （千米）与甲车的行驶时间 （时）之间的函数关系如图所示．
（1）乙车的速度为 千米/时， ， ．
（2）求甲、乙两车相遇后 与 之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
【答案】（1）75；3.6；4.5；（2） ；（3）当甲车到达距 地 70 千米处时，
求甲、乙两车之间的路程为 180 千米．
【分析】（1）根据图象可知两车 2 小时后相遇，根据路程和为 270 千米即可求出乙车的速度；然后根据“路
程、速度、时间”的关系确定 的值；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）求出甲车到达距 地 70 千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．
【详解】解：（1）乙车的速度为： 千米/时，
， ．
故答案为：75；3.6；4.5；
（2） （千米），
3.5 180
5.5 360
k b
k b
+ =
+ =
90
135
k
b
=
= −
1y 1 90 135= −xy
60 90 135a a= −
4.5a =
60 270a =
(4.5,270)
A B
A B B A
y x
a = b =
y x
B
( )
( )
135 270 2 3.6
60 3.6 4.5
x xy x x
− < ≤= < ≤
B
a b、
B
( )270 60 2 2 75− × ÷ =
270 75 3.6a = ÷ = 270 60 4.5b = ÷ =
60 3.6 216× =20
当 时，设 ，根据题意得：
，解得 ，
∴ ；
当 时，设 ，
∴ ；
（3）甲车到达距 地 70 千米处时行驶的时间为： （小时），
此时甲、乙两车之间的路程为： （千米）．
答：当甲车到达距 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程为 180 千米．
【点睛】考核知识点：一次函数的应用.把实际问题转化为函数问题是关键.
25．一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价 （元）与一
次性批发量 （件）（ 为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
直接写出 与 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
若一次性批发量不超过 件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）当 且 为整数时， 当 且 为整数时， ;当
且 为整数时， ；（2）一次批发 件时所获利润最大，最大利润是 元．
【分析】（1）根据函数图像，求出各个部分的解析式即可；
（2）设所获利润 （元），分段求出各个不发的利润，再比较最大利润即可求解.
【详解】解： 当 且 为整数时，
当 且 为整数时， ;
当 且 为整数时， ；
2 3.6x< ≤ 1 1y k x b= +
1 1
1 1
2 0
3.6 216
k b
k b
+ =
+ =
1
1
135
270
k
b
=
= −
( )135 270 2 3.6y x x= − < ≤
3.6 4.6x< ≤ 60y x=
( )
( )
135 270 2 3.6
60 3.6 4.5
x xy x x
− < ≤= < ≤
B ( ) 20270 70 60 6
− ÷ =
20135 270 1806
× − =
B
16 y
x x
( )1 y x x
( )2 60
0 20x ≤＜ x 40y＝ ； 20 60x ≤＜ x 1 502y x +＝-
60x＞ x 20y = 34 578
w
( )1 0 20x ≤＜ x 40y＝ ；
20 60x ≤＜ x 1 502y x +＝-
60x＞ x 20y =21
设所获利润 （元），
当 且 为整数时，
元，
当 且 为整数时，w=480 ,
∴当 且 为整数时，
当 时， 最大，最大值为 元．
答：一次批发 件时所获利润最大，最大利润是 元．
【点睛】本题考查的是函数的实际应用，熟练掌握分段函数是解题的关键.
26．某风景区内的公路如图 1 所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠
塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午 8 点发车，以后每隔 10 分钟有一班车从入口处发车.小聪周末
到该风景区游玩，上午 7:40 到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行
25 分钟后到达塔林．离入口处的路程 （米）与时间 （分)的函数关系如图 2 所示.
（1）求第一班车离入口处的路程 （米）与时间 （分）的函数表达式.
（2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间.
（3）小聪在塔林游玩 40 分钟后，想坐班车到草甸，则小聘聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到
草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度
不变）
( )2 w
0 20x ≤＜ x 40y＝ ；
40 16 20 480w∴ = − × =（ ）
0 20x ≤＜ x
20 60x ≤＜ x 1 502y x +＝-
16 50 16w y x x x∴ = − = + −（ ） （- ） ，
21 342w x x∴ +＝- ，
21 34 5782w x∴ = − − +（ ） ，
1 02
−
2y bx=
3.75x = 7.5 1 2y y=
1200 3.75 3.75
7.5 1200 7.5
a b
a b
− =
− =
240
80
a
b
=
=
240 / minm 80 / minm
d
2 2 2(1200 240 ) (80 )d x x= − + 2964000( ) 1440002x= − +
∴ 9
2x = 2d 144000 d 120 10
9
2x =26
30．甲、乙两地间的直线公路长为 千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速
度匀速相向而行，货车比轿车早出发 小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶． 小时后
轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两
车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离 （千米）与轿车所用的时间 （小时）的关系如图所示，
请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是_______千米/小时；轿车的速度是_______千米/小时； 值为_______．
（2）求轿车距其出发地的距离 （千米）与所用时间 （小时）之间的函数关系式并写出自变量 的取值
范围；
（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距 千米．
【答案】（1） ； ； （2） （3）货车出发 小时或 小时后两车相距
千米
【分析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）分别求出得 、 、 的坐标，运用待定系数法解得即可；
（3）根据题意列方程解答即可．
【详解】解：（1）车的速度是 千米/小时；轿车的速度是： 千米/小时；
．
故答案为： ； ； ；
（2）由题意可知： ， ， ，
设直线 的解析式为 ，
，
当 时， ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得：
400
1 1
y x
t
y x x
90
50 80 3
( )
( )
( )
80 0 3
240 3 4
80 560 4 7
x x
y x
x x
≤ ≤
= ≤ ≤
− + ≤ ≤
3 5 90
A B C
50 ( )400 7 2 80÷ − =
240 80 3t = ÷ =
50 80 3
( )3,240A ( )4,240B ( )7,0C
OA ( )1 1 0y k x k= ≠
∴ ( )80 0 3y x x= ≤ ≤
3 4x≤ ≤ 240y =
BC ( )2 0y k x b k= + ≠
( )4,240B ( )7,0C27
，解得 ，
，
；
（3）设货车出发 小时后两车相距 千米，根据题意得：
或 ，
解得 或 ．
答：货车出发 小时或 小时后两车相距 千米．
【点睛】本题主要考查根据图象的信息来解答问题，关键在于函数的解析式的解答，这是这类题的一个难
度，必须分段研究.
2
2
4 240
7 0
k b
k b
+ =
+ =
2 80
560
k
b
= −
=
∴ 80 560y = − +
∴
( )
( )
( )
80 0 3
240 3 4
80 560 4 7
x x
y x
x x
≤ ≤
= ≤ ≤
− + ≤ ≤
x 90
( )50 80 1 400 90x x+ − = − ( )50 80 2 400 90x x+ − = +
3x = 5
3 5 90
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