2020年中考数学十大题型专练06分类讨论试题（含解析）.docx

1 题型 06 分类讨论试题 1．在平面直角坐标系中，已知 ，设函数 的图像与 x 轴有 M 个交点，函数 的图像与 x 轴有 N 个交点，则（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】先根据函数 的图像与 x 轴有 M 个交点解得 ，再对 a，b 分情况讨论，求得 答案. 【详解】对于函数 ，当 时，函数与 x 轴两交点为（－a，0）、（－b，0）， ∵ ，所以有 2 个交点，故 对于函数 ① ，交点为 ，此时 ② ，交点为 ，此时 ③ ，交点为 ，此时 综上所述， 或 故选 C. 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，解题的关键是分情况讨论 a，b. 2．如图，已知矩形 一条直线将该矩形 分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的 内角和分别为 和 则 不可能是（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 如图，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种， ①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点， 此时矩形分割为一个五边形和三角形， ∴M+N=540°+180°=720°； A B C D a b¹ ( )( )y x a x b= + + ( )( )1 1y ax bx= + + 1M N= - 1M N= + 1M N= - 2M N= + M N= 1M N= + M N= 1M N= - ( )( )y x a x b= + + 2M = ( )( )y x a x b= + + 0y = a b¹ 2M = ( )( )1 1y ax bx= + + 0a b≠ ≠ 1 1( ,0),( ,0)a b − − 2N M N= ⇒ = 0, 0a b= ≠ 1( ,0)b − 1 1N M N= ⇒ = + 0, 0b a= ≠ 1( ,0)a − 1 1N M N= ⇒ = + M N= 1M N= + ABCD， ABCD M N， M N+ 360° 540° 720° 630°2 ②当直线经过一个原来矩形的顶点， 此时矩形分割为一个四边形和一个三角形， ∴M+N=360°+180°=540°； ③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点， 此时矩形分割为两个三角形， ∴M+N=180°+180°=360°． 故选 D． 3．已知⊙O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆，P 为⊙O 上除 C、D 外任意一点，则∠CPD 的度数为（　　） A．30° B．30°或 150° C．60° D．60°或 120° 【答案】B 【分析】连接 OC，OD，分 P 点在优弧 CAD 上时与 P 点在劣弧 CD 上时两种情况，根据圆周角定理进行解答即 可.3 【详解】解：连接 OC，OD， ∵六边形 ABCDEF 为正六边形， ∴∠COD=60°， 如图 1，当 P 点在弧 CAD 上时， ∠CPD= ∠COD=30°； 如图 2，当 P 点在弧 CD 上时， ∠CPD= （360°﹣∠COD）=150°. 故选 B. 【点睛】本题主要考查正六边形的性质，圆周角定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据题意分 情况进行讨论. 4．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为 1cm，若在数轴上画出一条长 2019cm 的线段 AB， 则 AB 盖住的整点个数是（　　） A．2019 或 2020 B．2018 或 2019 C．2019 D．2020 【答案】A 【分析】根据线段的位置分为两种：起点在整点、不在整点两种，分别得到整点的个数即可. 【详解】依题意得：①当线段 AB 起点在整点时覆盖 2020 个数； ②当线段 AB 起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖 2019 个数． 故选：A． 【点睛】此题考查了利用数轴确定有理数的个数. 1 2 1 24 5．已知等腰三角形的三边长分别为 ，且 a、b 是关于 的一元二次方程 的两根， 则 的值是（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，①当 a=4 时，②当 b=4 时，③当 a=b 时；结合韦达定理即可求解； 【详解】解：当 时， ， 是关于 的一元二次方程 的两根， ， 不符合； 当 时， ， 是关于 的一元二次方程 的两根， ， 不符合； 当 时， 是关于 的一元二次方程 的两根， ， ， ， ； 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和 三角形三边关系进行解题是关键． 6．二次函数 y=x2+（a﹣2）x+3 的图象与一次函数 y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数 a 的 取值范围是（　　） A．a=3±2 B．﹣1≤a＜2 C．a=3 或﹣ ≤a＜2 D．a=3﹣2 或﹣1≤a＜﹣ 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象性质即可求出答案． 【详解】由题意可知：方程 x2+（a-2）x+3=x 在 1≤x≤2 上只有一个解， 即 x2+（a-3）x+3=0 在 1≤x≤2 上只有一个解， 当△=0 时， 即（a-3）2-12=0， 4a b、 、 x 2 12 2 0x x m− + + = m 34 30 30 34 30 36 4a = 8b < a b 、 x 2 12 2 0x x m− + + = 4 12b∴ + = 8b∴ = 4b = 8a < a b 、 x 2 12 2 0x x m− + + = 4 12a∴ + = 8a∴ = a b= a b 、 x 2 12 2 0x x m− + + = 12 2 2a b∴ = = 6a b∴ = = 2 36m∴ + = 34m∴ = 3 2 3+ 1 2 3 1 25 a=3±2 ， 当 a=3+2 时， 此时 x=- ，不满足题意， 当 a=3-2 时， 此时 x= ，满足题意， 当△＞0 时， 令 y=x2+（a-3）x+3， 令 x=1，y=a+1， 令 x=2，y=2a+1 （a+1）（2a+1）≤0 解得：-1≤a≤− ， 当 a=-1 时，此时 x=1 或 3，满足题意； 当 a=- 时，此时 x=2 或 x= ，不满足题意， 综上所述，a=3-2 或-1≤a＜− . 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是将问题转化为 x2+（a-3）x+3=0 在 1≤x≤2 上只有一 个解，根据二次函数的性质即可求出答案 二、填空题 7．如图，平面直角坐标系中，矩形 的边 分别在 轴， 轴上， 点的坐标为 ，点 在矩形 的内部，点 在 边上，满足 ∽ ，当 是等腰三角形时， 点坐标为 _____． 【答案】 或 【分析】根据题意分情况讨论：①当 点在 的垂直平分线上时，点 同时在 上， 的垂直平分线 与 的交点即是 ，根据 ∽ 求出 PE，② 点在以点 为圆心 为半径的圆弧上，圆弧 与 的交点为 ，过点 作 于 ，根据 ∽ ，求出 ， ，则可得到 ，故 3 3 3 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 ABOC ,BO CO x y A ( 8,6)− P ABOC E BO PBE∆ CBO∆ APC∆ P 32 6( )5 5 − ， ( 4 3)− ， P AC P BC AC BO E PBE∆ CBO∆ P C AC BC P P PE BO⊥ E PBE∆ CBO∆ PE BE OE6 而求出点 点坐标. 【详解】解：∵点 在矩形 的内部，且 是等腰三角形， ∴ 点在 的垂直平分线上或在以点 为圆心 为半径的圆弧上； ①当 点在 的垂直平分线上时，点 同时在 上， 的垂直平分线与 的交点即是 ，如图 1 所示： ∵ ， ， ∴ ， ∴ ∽ ， ∵四边形 是矩形， 点的坐标为 ， ∴点 横坐标为﹣4， ， ， ， ∵ ∽ ， ∴ ，即 ， 解得： ， ∴点 ； ② 点在以点 为圆心 为半径的圆弧上，圆弧与 的交点为 ， 过点 作 于 ，如图 2 所示： ∵ ， ∴ ， ∴ ∽ ， ∵四边形 是矩形， 点的坐标为 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ∽ ， ∴ ，即： ， 解得： ， ， P P ABOC APC∆ P AC C AC P AC P BC AC BO E PE BO⊥ CO BO⊥ / /PE CO PBE∆ CBO∆ ABOC A ( 8,6)− P 6OC = 8BO = 4BE = PBE∆ CBO∆ PE BE CO BO = 4 6 8 PE = 3PE = ( 4,3)P − P C AC BC P P PE BO⊥ E CO BO⊥ / /PE CO PBE∆ CBO∆ ABOC A (-8,6) 8AC BO= = 8CP = 6AB OC= = 2 2 2 20 8 6 10BC BO C= + = + = 2BP = PBE∆ CBO∆ PE BE BP CO BO BC = = 2 6 8 10 PE BE= = 6 5PE = 8 5BE =7 ∴ ， ∴点 ； 综上所述：点 的坐标为： 或 ； 故答案为： 或 ． 【点睛】此题主要考查正方形的综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、矩形的性质及圆的性 质. 8．半径为 的 是锐角三角形 的外接圆， ，连接 ，延长 交弦 于点 ．若 是直角三角形，则弦 的长为_____． 【答案】 或 【分析】分∠ODB=90°与∠DOB=90°两种情况分别进行求解即可. 【详解】如图 1，当 时， 即 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 8 328 5 5OE = − = 32 6( )5 5P − ， P 32 6( )5 5 − ， ( 4 3)− ， 32 6( )5 5 − ， ( 4 3)− ， 5 O ABC AB AC＝ OB OC、 CO AB D OBD BC 5 3 5 2 90ODB∠ =  CD AB⊥ AD BD∴ = AC BC∴ = AB AC= ABC∴ 30DBO∴∠ =  5OB =8 ， ； 如图 2，当 ， ， 是等腰直角三角形，∠OBC=45°， ， 综上所述，若 是直角三角形，则弦 的长 为或 ， 故答案为 或 . 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等， 正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意分类讨论思想的运用. 9．把边长为 2 的正方形纸片 分割成如图的四块，其中点 为正方形的中心，点 分别是 ， 的中点，用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形 （要求这四块纸片不重叠无缝隙），则 四边形 的周长是______. 【答案】10 或 或 【分析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解． 【详解】如图所示： 5 3·cos30 2BD OB∴ = ° = 5 3BC AB∴ = = 90DOB∠ =  90BOC∴∠ =  BOC∴ 5 2cos45 OBBC∴ = =° OBD BC 5 3 5 2 5 3 5 2 ABCD O ,E F AB AD MNPQ MNPQ 6 2 2+ 8 2 2+9 图 1 的周长为 1+2+3+2 =6+2 ； 图 2 的周长为 1+4+1+4=10； 图 3 的周长为 3+5+ + =8+2 ． 故四边形 MNPQ 的周长是 6+2 或 10 或 8+2 ． 故答案为：6+2 或 10 或 8+2 ． 【点睛】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形 MNPQ（要求这四块纸片不重叠无 缝隙）的各种情况． 10．如图，在平面直角坐标系 中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已知点 的坐标为 ， 点 在 轴的上方， 的面积为 ，则 内部（不含边界）的整点的个数为_____. 【答案】4 或 5 或 6. 【分析】根据面积求出 B 点纵坐标为 3，结合直角坐标系，作图观察即可求解. 【详解】设 B（m,n） ∵点 A 的坐标为（5,0） ∴OA=5， ∵△OAB 的面积= ×5×n= ∴n=3， 结合图像可知： 当 2＜m＜3 时，有 6 个整点； 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xOy A ( )5,0 B x OAB∆ 15 2 OAB∆ 1 2 15 210 当 2＜m＜ 时，有 5 个整数点； 当 m=3 时，有 4 个整数点， 故答案为 4 或 5 或 6. 【点睛】此题主要考查点的坐标，解题的关键是熟知直角坐标系的坐标特点. 11．如图， 为 的直径， 为 上一点，过 点的切线交 的延长线于点 ， 为弦 的中 点， ， ，若点 为直径 上的一个动点，连接 ，当 是直角三角形时， 的 长为__________． 【答案】4 或 2.56． 【分析】根据勾股定理求出 AB，由△BCD∽△ABD 得到比例式求出 CD 的长，当 是直角三角形时，分∠ AEP=90°和∠APE=90°两种情况进行讨论,可求出 AP 长有 2 种情况. 【详解】解：连接 BC 过 点的切线交 的延长线于点 ， ， ， 当 时， ， 经过圆心 ， ； 当 时，则 ， ， ∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°. 9 2 AB O C O B AC D E AC 10AD = 6BD = P AB EP AEP∆ AP AEP∆  B AC D AB BD∴ ⊥ 2 2 2 210 6 8AB AD BD∴ − −＝ ＝ ＝ 90AEP∠ °＝ AE EC ＝ EP∴ O 4AP AO∴ ＝ ＝ 90APE∠ °＝ / /EP BD AP AE AB AD ∴ ＝11 ∴∠BCD＝90°. ∵∠BCD ＝∠ABD，∠D 是公共角， ∴△BCD∽△ABD. ∴ ， ， ， ， ， ． 综上 的长为 4 或 2.56． 故答案为 4 或 2.56． 【点睛】本题考查的是切线的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键. 12．在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ．以原点 为位似 中心，把这个三角形缩小为原来的 ，得到 ，则点 的对应点 的坐标是__________． 【答案】 或 【分析】根据位似图形的中心和位似比例即可得到点 A 的对应点 C. 【详解】解：以原点 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，点 的坐标为 ， ∴点 的坐标为 或 ，即 或 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向. 13．在▱ABCD 中，E 是 AD 上一点，且点 E 将 AD 分为 2：3 的两部分，连接BE、AC 相交于 F，则 是_______． 【答案】 或 【分析】分 两种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：①当 时， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， BD CD AD BD = 2DB CD AD⋅ ＝ 2 36 3.610 BDCD AD ∴ ＝ ＝ ＝ 10 3.6 6.4AC∴ −＝ ＝ 3.2AE∴ ＝ 3.2 8 10 AP∴ ＝ 2.56AP∴ ＝ AP ABO ( ) ( ) ( )2,4 , 4,0 , 0,0A B O− − O 1 2 CDO A C ( )1,2− ( )1, 2− O 1 2 A ( )2,4− C 1 12 ,2 2( 4 )− × × 1 12 ,2 2( 4 )× − × ( )1,2− ( )1, 2− ( )1,2− ( )1, 2− AEF CBFS S∆ ∆： 4 25： 9 25： 2 3 3 2AE ED AE ED： ＝ ：、 ： ＝ ： 2 3AE ED： ＝ ：12 ， ， ②当 时， 同理可得， ， 故答案为： 或 ． 【点睛】考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的 平方是解题的关键． 14．如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°，AC=3，BC=4，点 E，F 分别在边 BC，AC 上，沿 EF 所在的直线折叠∠C， 使点 C 的对应点 D 恰好落在边 AB 上，若△EFC 和△ABC 相似，则 AD 的长为___. 【答案】 【分析】△CEF 与△ABC 相似，分两种情况：①若 CF：CE=3：4，此时 EF∥AB，CD 为 AB 边上的高；②若 CE：CF=3：4，由相似三角形角之间的关系，可以推出∠B=∠ECD 与∠A=∠FCD，从而得到 CD=AD=BD，即 D 点为 AB 的中点． 【详解】若△CEF 与△ABC 相似，分两种情况： ①若 CF：CE=3：4， ∵AC：BC=3：4， ∴CF：CE=AC：BC， ∴EF∥AB． 连接 CD，如图 1 所示： / / 2 5AD BC AE BC∴ ， ： ＝ ： AEF CBF∴∆ ∆∽ 22 4 255AEF CBFS S∆ ∆∴ ： ＝（ ）＝ ： ； 3 2AE ED： ＝ ： 23 9 255AEF CBFS S∆ ∆： ＝（ ）＝ ： 4 25： 9 25： 9 5 5 2 或13 由折叠性质可知，CD⊥EF， ∴CD⊥AB，即此时 CD 为 AB 边上的高。 在 Rt△ABC 中,∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB= =5， ∴cosA= ， ∴AD=AC⋅cosA=3× ； ②若 CE：CF=3：4， ∵AC：BC=3：4，∠C=∠C， ∵△CEF∽△CAB， ∴∠CEF=∠A． 连接 CD，如图 2 所示： 由折叠性质可知,∠CEF+∠ECD=90°， 又∵∠A+∠B=90°， ∴∠B=∠ECD， ∴BD=CD． 同理可得：∠A=∠FCD，AD=CD， ∴D 点为 AB 的中点， ∴AD= ； 2 2AC BC+ 3 5 AC AB = 3 9 5 5 = 1 5 2 2AB =14 故答案为： 【点睛】此题考查三角形相似，勾股定理，三角函数，解题关键在于分情况讨论 15．一张直角三角形纸片 ， ， ， ，点 为 边上的任一点，沿过点 的直线折叠，使直角顶点 落在斜边 上的点 处，当 是直角三角形时，则 的长为_____． 【答案】 或 【分析】依据沿过点 D 的直线折叠，使直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，当△BDE 是直角三角形时，分 两种情况讨论：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到 CD 的长 【详解】分两种情况： ①若 ，则 ， ， 连接 ，则 ， ， ， 设 ，则 ， 中， ， 解得 ， ； ②若 ，则 ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， 9 5 5 2 或 ABC 90ACB∠ =  10AB = 6AC = D BC D C AB E BDE∆ CD 3 24 7 90DEB∠ =  90AED C∠ = = ∠ CD ED= AD ( )Rt ACD Rt AEAD HL∆ ≅ ∆ 6AE AC∴ = = 10 6 4BE = − = CD DE x= = 8BD x= − Rt BDE∆ 2 2 2DE BE BD+ = 2 2 24 (8 )x x∴ + = − 3x = 3CD∴ = 90BDE∠ =  90CDE DEF C∠ = ∠ = ∠ =  CD DE= ∴ CDEF 90AFE EDB∴∠ = ∠ =  AEF B∠ = ∠ ~AEF EBD∴∆ ∆15 ， 设 ，则 ， ， ， ， 解得 ， ， 综上所述， 的长为 或 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形 16．如图，在矩形 中， ，点 是 的中点，点 在 上， ，点 、 在线段 上．若 是等腰三角形且底角与 相等，则 _____． 【答案】6 或 【分析】分两种情况：①MN 为等腰△PMN 的底边时，作 于 ，则 ，由 矩形的性质得出 ， ， ，得出 ， ，证明 ，得出 ，求出 ，证出 ，由等腰三角形的性质得出 ， ，证出 ，得出 ，求出 ，即 可得出答案； ②MN 为等腰△PMN 的腰时，作 PF⊥BD 于 F，设 MN=PN=x，则 FN=3-x，在 Rt△PNF 中，由勾股定理得出方程， 解方程即可． 【详解】分两种情况：①MN 为等腰△PMN 的底边时，作 于 ，如图所示： AF EF ED BD ∴ = CD x= EF DF x= = 6AF x= − 8BD x= − 6 8 x x x x −∴ = − 24 7x = 24 7CD∴ = CD 3 24 7 3 24 7 ABCD 3 3 10AD AB= = P AD E BC 2CE BE= M N BD PMN∆ DEC∠ MN = 15 8 PF MN⊥ F 90PFM PFN∠ = ∠ = ° AB CD= 3 3 10BC AD AB= = = 90A C∠ = ∠ = ° 10AB CD= = 2 2 10BD AB AD= + = PDF BDA∆ ∆ PF PD AB BD = 3 2PF = 2CE CD= MF NF= PNF DEC∠ = ∠ PNF DEC∆ ∆ 2NF CE PF CD = = 2 3NF PF= = PF MN⊥ F16 则 ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， 点 是 的中点， ， ， ， ，即 ， 解得： ， ， ， ， ， 是等腰三角形且底角与 相等， ， ， ， ， ， ， ， ； ②MN 为等腰△PMN 的腰时，作 PF⊥BD 于 F，如图所示， 90PFM PFN∠ = ∠ = °  ABCD ∴ AB CD= 3 3 10BC AD AB= = = 90A C∠ = ∠ = ° ∴ 10AB CD= = 2 2 10BD AB AD= + =  P AD ∴ 1 3 10 2 2PD AD= =  PDF BDA∠ = ∠ ∴ PDF BDA∆ ∆ ∴ PF PD AB BD = 3 10 2 1010 PF = 3 2PF =  2CE BE= ∴ 3BC AD BE= = ∴ BE CD= ∴ 2CE CD=  PMN∆ DEC∠ PF MN⊥ ∴ MF NF= PNF DEC∠ = ∠  90PFN C∠ = ∠ = ° ∴ PNF DEC∆ ∆ ∴ 2NF CE PF CD = = ∴ 2 3NF PF= = ∴ 2 6MN NF= =17 由①得： ， ， 设 ，则 ， 在 中， ， 解得： ，即 ， 综上所述，MN 的长为 6 或 . 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练 掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 17．在平行四边形 ABCD 中，∠A＝30°，AD＝ ，BD＝4，则平行四边形 ABCD 的面积等于________. 【答案】 或 【分析】过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，分点 E 在 AB 上或 AB 的延长线上两种情况，分别利用三角函数求出 AE、DE 的长，利用勾股定理求出 BE 的长，继而可得 AB 的长，然后利用平行四边形的面积公式进行求解即 可. 【详解】过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E， 如图 1，点 E 在 AB 上， ∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°= ，AE=ADcos30°=6， 在 Rt△DBE 中，BE= ， ∴AB=AE+BE=8， ∴平行四边形 ABCD 的面积为 ； 如图 2，点 E 在 AB 的延长线上， ∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°= ，AE=ADcos30°=6， 在 Rt△DBE 中，BE= ， ∴AB=AE-BE=4， ∴平行四边形 ABCD 的面积为 ， 故答案为： 或 . 3 2PF = 3MF = = =MN PN x 3= −FN x Rt PNF 2 2 23 (3 )2   + − =   x x 15 8x = 15 8 =MN 15 8 4 3 16 3 8 3 2 3 2 2 2BD DE− = 8 2 3 16 3× = 2 3 2 2 2BD DE− = 4 2 3 8 3× = 16 3 8 318 【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的面积，正确地画出图形是解题的关键. 18．如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 是 轴上一动点，以点 为圆心，以 1 个 单位长度为半径作 ，当 与直线 相切时，点 的坐标是_____． 【答案】（﹣ ，0）或 P（﹣ ，0） 【分析】根据函数解析式求得 ， ，得到 ， ，根据勾股定理得到 ， 设 与直线 相切于 ，连接 ，则 ， ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵直线 y＝﹣ x﹣3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B， ∴令 x＝0，得 y＝﹣3，令 y＝0，得 x＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0．﹣3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝5， 设⊙P 与直线 AB 相切于 D， 如图所示：连接 PD， 则 PD⊥AB，PD＝1， ∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO， ∴△APD∽△ABO， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴AP＝ ， ∴OP＝ 或 OP＝ ， ∴P（﹣ ，0）或 P（﹣ ，0）. 3 34y x= − − x A y B P x P P P AB P 7 3 17 3 ( )4,0A − ( )0, 3B − 4OA = 3OB = 5AB = P AB D PD PD AB⊥ 1PD = 3 4 PD OB AP AB 1 3 AP 5 5 3 7 3 17 3 7 3 17 319 故答案是：（﹣ ，0）或 P（﹣ ，0）． 【点睛】考查了切线的判定和性质、一次函数图形上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质，解题的关 键正确的理解题意，分两种情况解析． 19．如图，在矩形 ABCD 中， ， ，点 E 在边 BC 上，且 ．连接 AE，将 沿 AE 折叠，若点 B 的对应点 落在矩形 ABCD 的边上，则 a 的值为________． 【答案】 或 【分析】分两种情况：①点 落在 AD 边上，根据矩形与折叠的性质易得 ，即可求出 a 的值；②点 落在 CD 边上，证明 ，根据相似三角形对应边成比例即可求出 a 的值． 【详解】解：分两种情况： ①当点 落在 AD 边上时，如图 1． 四边形 ABCD 是矩形， ， 将 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 落在 AD 边上， ， 7 3 17 3 1AB = BC a= 3 5BE α= ABE∆ B′ 5 3 5 3 B′ =AB BE B′ ADB B CE′ ′∆ ∪ ∆ B′  90BAD B °∴∠ = ∠ =  ABE∆ B′ 1 452BAE B AE BAD′ °∴∠ = ∠ = ∠ =20 ， ， ； ②当点 落在 CD 边上时，如图 2． ∵四边形 ABCD 是矩形， ， ． 将 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 落在 CD 边上， ， ， ， ， ． 在 与 中， ， ， ，即 ， 解得 ， （舍去）． 综上，所求 a 的值为 或 ． 故答案为 或 ． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类 AB BE∴ = 3 15 a∴ = 5 3a∴ = B′ 90BAD B C D °∴∠ = ∠ = ∠ = ∠ = AD BC a= =  ABE∆ B′ 90B AB E′ °∴∠ = ∠ = 1AB AB′= = 3 5EB EB a′= = 2 2 21DB B A AD a′ ′∴ = − = − 3 2 5 5EC BC BE a a= − = − = ADB′∆ B CE′∆ 90 A 90 B AD EB C B D D C ° ° ∠ = ∠ = − ∠′ ′ ′ ∠ = ∠ = ADB B CE′ ′∴∆ ∪ ∆ DB AB CE B E ′ ′ ′∴ = 21 1 2 3 5 5 a a a − = 1 5 3a = 2 0a = 5 3 5 3 5 3 5 321 讨论与数形结合是解题的关键． 20．如图， 中， ， ，点 在边 上， ， .点 是线段 上一动点，当半径为 6 的圆 与 的一边相切时， 的长为________. 【答案】 或 【分析】根据勾股定理得到 ， ，当⊙P 于 BC 相切时， 点 P 到 BC 的距离=6，过 P 作 PH⊥BC 于 H，则 PH=6，当⊙P 于 AB 相切时，点 P 到 AB 的距离=6，根据相似三 角形的性质即可得到结论． 【详解】∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BD+CD=18， ∴ ， 在 Rt△ADC 中，∠C=90°，AC=12，CD=5， ∴ ， 当⊙P 于 BC 相切时，点 P 到 BC 的距离=6， 过 P 作 PH⊥BC 于 H，则 PH=6， ∵∠C=90°， ∴AC⊥BC， ∴PH∥AC， ∴△DPH∽△DAC， ∴ ， ∴ ， ∴PD=6.5， Rt ABC∆ 90C∠ = ° 12AC = D BC 5CD = 13BD = P AD P ABC∆ AP 13 2 3 13 2 212 18 6 13AB = + = 2 2 13AD AC CD= + = 2 212 18 6 13AB = + = 2 2 13AD AC CD= + = PD PH DA AC ＝ 6 13 12 PD =22 ∴AP=6.5； 当⊙P 于 AB 相切时，点 P 到 AB 的距离=6， 过 P 作 PG⊥AB 于 G， 则 PG=6， ∵AD=BD=13， ∴∠PAG=∠B， ∵∠AGP=∠C=90°， ∴△AGP∽△BCA， ∴ ， ∴ ， ∴AP=3 ， ∵CD=5＜6， ∴半径为 6 的⊙P 不与△ABC 的 AC 边相切， 综上所述，AP 的长为 6.5 或 3 ， 故答案为 6.5 或 3 ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解 题的关键． 三、解答题 21．如图，直线 与 轴、 轴分别交于 两点，抛物线 经过点 ，与 轴另一交点为 ，顶点为 ． （1）求抛物线的解析式； （2）在 轴上找一点 ，使 的值最小，求 的最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在， 请说明理由． AP PG AB AC ＝ 6 126 13 AP = 13 13 13 3y x= − + x y B C、 2y x bx c= − + + B C、 x A D x E EC ED+ EC ED+ P APB OCB∠ = ∠ P23 【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ． 【分析】由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将 B、C 两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线 的解析式． 作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则此时 为最小，再将 的坐标代入一 次函数表达式即可解得 分别求出点 P 在 x 轴的位置即可. 【详解】解：（1）直线 与 轴、 轴分别交于 两点，则点 的坐标分别为 ， 将点 的坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ， 故函数的表达式为： ， 令 ，则 或 3，故点 ； （2）如图 1，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则此时 为最小， 函数顶点坐标为 ，点 ， 将 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 的表达式为： ， 当 时， ， 故点 ； （3）①当点 在 轴上方时，如下图 2， 2y x 2x 3= − + + 3( )7 ,0E (1, 10 3)− (1, 3 )10− C x C′ CD′ x E EC ED+ CD 3y x= − + x y B C、 B C、 ( ) ( )3,0 0,3、 B C、 9 3 0 3 b c c − + + =  = 2 3 b c =  = 2y x 2x 3= − + + 0y = 1x = − ( )1,0A − C x C′ CD′ x E EC ED+ ( )1,4 ( )0, 3C′ − CD CD 7 3y x= − 0y = 3 7x = 3( )7 ,E x P x24 ∵ ，则 ， 过点 作 ，设 ， 则 ， 由勾股定理得： ， ，解得： （负值已舍去）， 则 ， 则 ； ②当点 在 轴下方时， 则 ； 故点 的坐标为 或 ． 【点睛】本题考查二次函数，熟练掌握二次函数的运算法则是解题关键. 22．如图，在矩形 中， ， 为边 上一点， ，连接 ．动点 从点 同时出发，点 以 的速度沿 向终点 运动；点 以 的速度沿折线 向 终点 运动．设点 运动的时间为 ，在运动过程中，点 ，点 经过的路线与线段 围成的图形面 积为 ． ⑴ ________ , ________°； ⑵求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围； ⑶当 时，直接写出 的值． 3OB OC= = 45OCB APB∠ = ° = ∠ B BH AH⊥ PH AH m= = 2PB PA m= = 2 2 2AB AH BH= + 2 2( 26 )1 m m m= + − 2 66 2m += 2 1 33PB m= = + 2 2(1 33) 2 10 3Py = + + = − P x ( 10 3)Py = − − P (1, 10 3)− (1, 3 )10− ABCD 4 , 3AD cm AB cm= = E BC BE AB= AE P Q、 A P 2 /cm s AE E Q 2 /cm s AD DC− C Q ( )x s P Q PQ ( )2y cm AE = cm EAD∠ = y x x 5 4PQ cm= x25 【答案】（1） ，45；（2） （ ）， （ ）， （ ）；（3） 或 . 【分析】（1）由勾股定理可求 AE 的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD 的度数； （2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解； （3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵AB=3cm，BE=AB=3cm， ∴AE= cm，∠BAE=∠BEA=45°， ∵∠BAD=90°， ∴∠DAE=45° 故答案为：3 ，45； （2）当 0＜x≤2 时，如图，过点 P 作 PF⊥AD， ∵AP= x，∠DAE=45°，PF⊥AD， ∴PF=x=AF， ∴y=S△PQA= ×AQ×PF=x2； （2）当 2＜x≤3 时，如图，过点 P 作 PF⊥AD， ∵PF=AF=x，QD=2x-4， 3 2 2y x= 0 2x< ≤ 2 8 8y x x= − + − 2 3x< ≤ 4y x= + 73 2x< ≤ 5 2 8 25 8 2 2 3 2AB BE+ = 2 2 1 226 ∴DF=4-x， ∴y= x2+ （2x-4+x）（4-x）=-x2+8x-8； 当 3＜x≤ 时，如图，点 P 与点 E 重合． ∵CQ=（3+4）-2x=7-2x，CE=4-3=1cm， ∴y= （1+4）×3- （7-2x）×1=x+4； （3）当 0＜x≤2 时， ∵QF=AF=x，PF⊥AD， ∴PQ=AP. ∵PQ= cm， ∴ x= ， ∴x= ； 当 2＜x≤3 时，过点 P 作 PM⊥CD， ∴四边形 MPFD 是矩形， ∴PM=DF=4-2x，MD=PF=x， 1 2 1 2 7 2 1 2 1 2 5 4 2 5 4 5 2 827 ∴MQ=x-（2x-4）=4-x. ∵MP2+MQ2=PQ2， ∴（4-2x）2+（4-x）2= ， ∵△＜0， ∴方程无解， 当 3＜x≤ 时， ∵PQ2=CP2+CQ2， ∴ =1+（7-2x）2， ∴x= ， 综上所述：x= 或 . 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论 思想解决问题是本题的关键． 23．如图，已知 的圆心为点 ，抛物线 过点 ，与 交于 两点，连接 、 ，且 ， 两点的纵坐标分别是 2、1． （1）请直接写出点 的坐标，并求 的值； （2）直线 经过点 ，与 轴交于点 ．点 （与点 不重合）在该直线上，且 ，请 25 16 7 2 25 16 25 8 25 8 5 2 8 A ( )3,0 2 37 6y ax x c= − + A A B C、 AB AC AB AC⊥ B C、 B a c、 1y kx= + B x D E D AD AE=28 判断点 是否在此抛物线上，并说明理由； （3）如果直线 与 相切，请直接写出满足此条件的直线解析式． 【答案】（1）B（2,2）， ；（2）点 在抛物线上，见解析；（3）满足条件的直线解析式为： 或 ． 【分析】（1）证明 ，即可求解； （2）点 在直线 上，则设 的坐标为 ，由 ，即可求解； （3）分当切点在 轴下方、切点在 轴上方两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）过点 分别作 轴的垂线交于点 ， ∵ ， ∴ ，又 ， ∴ ， ∴ ， 故点 的坐标分别为 、 ， 将点 坐标代入抛物线 并解得： ， 故抛物线的表达式为： ； （2）将点 坐标代入 并解得： ，则点 ， 点 的坐标分别为 、 、 、 ， 则 ， 点 在直线 上，则设 的坐标为 ， ∵ ，则 ， 解得： 或 6（舍去 ）， 故点 ， E 1 1y k x= − A 5 , 116 = =a c E 1 12y x= − − 2 1y x= − ( )Rt BRA Rt ASC AAS∆ ∆≌ E BD E 1, 12x x +   AD AE= x x B C、 x R S、 90 , 90BAR RAB RAB CAS∠ + ∠ = ° ∠ + ∠ = ° RAB CAR∠ = ∠ AB AC= ( )Rt BRA Rt ASC AAS∆ ∆≌ 2 , 1AS BR AR CS= = = = B C、 ( )2,2 ( )5,1 B C、 2 37 6y ax x c= − + 5 , 116 = =a c 25 37 116 6y x x= − + B 1y kx= + 1 12y x= + ( )2,0D − A B C D、 、 、 ( )3,0 ( )2,2 ( )5,1 ( )2,0− 5 , 5AB AD= = E BD E 1, 12x x +   AD AE= ( ) 2 225 3 11 2x x = − + +   2x = − 2− ( )6,4E29 把 代入 ， 故点 在抛物线上； （3）①当切点在 轴下方时， 设直线 与 相切于点 ，直线与 轴、 轴分别交于点 、 ，连接 ， ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ，即： ， 解得： 或 （舍去 ）， 故点 ， 把点 坐标代入 并解得： 直线的表达式为： ； ②当切点在 轴上方时， 直线的表达式为： ； 故满足条件的直线解析式为： 或 ． 【点睛】考核知识点：二次函数和相似三角形.数形结合分析问题是关键.特别是熟练掌握圆的性质和函数 性质. 24．如图所示抛物线 过点 ，点 ，且 （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点 在直线 上的两个动点，且 ，点 在点 的上方，求四边形 的周长的最小 值； 6x = 25 37 11 46 6y x x= − + = E x 1 1y k x= − A H x y K ( )0, 1G − GA 5AH AB= = 10GA = 90 ,AHK KOG HKA HKA∠ = ∠ = ° ∠ = ∠ KOG KHA∆ ∆∽ KO OG KH HA = 2 1 5( 3) 5 KO KO = + − 2KO = 1 2 − 1 2 − ( )2,0K − K G、 1 1y k x= − 1 12y x= − − x 2 1y x= − 1 12y x= − − 2 1y x= − 2y ax bx c= + + ( )1,0A − ( )0,3C OB OC= ,D E 1x = 1DE = D E ACDE30 （3）点 为抛物线上一点，连接 ，直线 把四边形 的面积分为 3∶5 两部分，求点 的坐标. 【答案】（1） ，对称轴为直线 ；（2）四边形 的周长最小值为 ；（3） 【分析】（1）OB=OC，则点 B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a， 即可求解； （2）CD+AE=A′D+DC′，则当 A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解； （3）S△PCB：S△PCA= EB×（yC-yP）： AE×（yC-yP）=BE：AE，即可求解． 【详解】（1）∵OB=OC，∴点 B（3，0）， 则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a， 故-3a=3，解得：a=-1， 故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①； 对称轴为：直线 （2）ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE，其中 AC= 、DE=1 是常数， 故 CD+AE 最小时，周长最小， 取点 C 关于函数对称点 C（2，3），则 CD=C′D， 取点 A′（-1，1），则 A′D=AE， 故：CD+AE=A′D+DC′，则当 A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小， 四边形 ACDE 的周长的最小值=AC+DE+CD+AE= +1+A′D+DC′= +1+A′C′= +1+ ； （3）如图，设直线 CP 交 x 轴于点 E， P CP CP CBPA P 2y x 2x 3= − + + 1x = ACDE 10 13 1+ + 1 2(4, 5) , (8, 45)P P− − 1 2 1 2 1x = 10 10 10 10 1331 直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3：5 两部分， 又∵S△PCB：S△PCA= EB×（yC-yP）： AE×（yC-yP）=BE：AE， 则 BE：AE，=3：5 或 5：3， 则 AE= 或 ， 即：点 E 的坐标为（ ，0）或（ ，0）， 将点 E、C 的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3， 解得：k=-6 或-2， 故直线 CP 的表达式为：y=-2x+3 或 y=-6x+3…② 联立①②并解得：x=4 或 8（不合题意值已舍去）， 故点 P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1）， 通过确定点 A′点来求最小值，是本题的难点． 25．在矩形 中，连结 ，点 E 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 的路径运动， 运动时间为 t（秒）．过点 E 作 于点 F，在矩形 的内部作正方形 ． （1）如图，当 时， ①若点 H 在 的内部，连结 、 ，求证： ； ②当 时，设正方形 与 的重叠部分面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； （2）当 ， 时，若直线 将矩形 的面积分成 1︰3 两部分，求 t 的值． 【答案】（1）①证明见解析；② ；（3）t 的值为 或 或 ． 【分析】（1）①如图 1 中，证明 即可解决问题． 1 2 1 2 5 2 3 2 3 2 1 2 ABCD AC B A C→ → EF BC⊥ ABCD EFGH 8AB BC= = ABC∆ AH CH AH CH= 0 8t< ≤ EFGH ABC∆ 6AB = 8BC = AH ABCD 2 2 (0 4) 32 32 (4 8) t tS t t t   G ABC ∴ 1 2 DG AG =  EF BC 1 2 BE DG AE AG ∴ = = 1 2 CF DG AF AG = = 1 1 12 2 BE CF AE AF + = + = A AN BC EF N FE CB M BE BM AE AN = CF CM AF AN = ∴ BE CF BM CM BM CM AE AF AN AN AN ++ = + =  BM CM BM CD DM+ = + + D BC BD CD= ∴ 2BM CM BM BD DM DM DM DM+ = + + = + =39 又 结论成立； （3）（1）中结论不成立，理由如下： 当 点与 点重合时， 为 中点， , 点 在 的延长线上时， , ,则 ， 同理：当点 在 的延长线上时， ， 结论不成立. 【点睛】本题考查了三角形的重心，相似三角形的性质和判定，分类讨论思想，解本题的关键是通过三角 形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1 与相似比结合来解题，并合理作出辅助线来解题. 28．⑴如图 1， 是正方形 边 上的一点，连接 ，将 绕着点 逆时针旋转 90°， 旋转后角的两边分别与射线 交于点 和点 . ①线段 和 的数量关系是 ； ②写出线段 和 之间的数量关系. ⑵当四边形 为菱形， ，点 是菱形 边 所在直线上的一点，连接 ， 将 绕着点 逆时针旋转 120°，旋转后角的两边分别与射线 交于点 和点 . ①如图 2，点 在线段上时，请探究线段 和 之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图 3，点 在线段 的延长线上时， 交射线 于点 ；若 ,直接写出线段 的长度. ∴ 2BE CF DM AE AF AN + =  1 2 DM DG AN AG = = ∴ 12 12 BE CF AE AF + = × = F C E AB BE AE= F AC BE AE> 1BE AE ∴ > 1BE CF AE AF + > E AB 1BE CF AE AF + > ∴ E ABCD AB BD DE、 BDE∠ D BC F G DB DG BE BF、 DB ABCD ADC 60∠ =  E ABCD AB BD DE、 BDE∠ D BC F G E BE BF、 BD E AB DE BC M BE 1,AB 2= = GM40 【答案】⑴① ; ② ；⑵① . 理由见解析，② 的长度为 . 理由见解析. 【分析】（1）①根据旋转的性质解答即可； ②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； ②作辅助线，计算 BD 和 BF 的长，根据平行线分线段成比例定理可得 BM 的长，根据线段的差可得结论． 【详解】（1）①DB=DG，理由是： ∵∠DBE 绕点 B 逆时针旋转 90°，如图 1， 由旋转可知，∠BDE=∠FDG，∠BDG=90°， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠CBD=45°， ∴∠G=45°， ∴∠G=∠CBD=45°， ∴DB=DG； 故答案为 DB=DG； ②BF+BE= BD，理由如下： 由①知：∠FDG=∠EDB，∠G=∠DBE=45°，BD=DG， ∴△FDG≌△EDB（ASA）， ∴BE=FG， DB DG= BE BF 2BD+ = BE BF 3BD+ = GM 19 3 241 ∴BF+FG=BF+BE=BC+CG， Rt△DCG 中，∵∠G=∠CDG=45°， ∴CD=CG=CB， ∵DG=BD= BC， 即 BF+BE=2BC= BD； （2）①如图 2，BF+BE= BD， 理由如下：在菱形 ABCD 中，∠ADB=∠CDB= ∠ADC= ×60°=30°， 由旋转 120°得∠EDF=∠BDG=120°，∠EDB=∠FDG， 在△DBG 中，∠G=180°-120°-30°=30°， ∴∠DBG=∠G=30°， ∴DB=DG， ∴△EDB≌△FDG（ASA）， ∴BE=FG， ∴BF+BE=BF+FG=BG， 过点 D 作 DM⊥BG 于点 M，如图 2， ∵BD=DG， ∴BG=2BM， 在 Rt△BMD 中，∠DBM=30°， ∴BD=2DM． 设 DM=a，则 BD=2a， DM= a， ∴BG=2 a， ∴ ， ∴BG= BD， ∴BF+BE=BG= BD； 2 2 3 1 2 1 2 3 3 2 1 2 3 3 BD a BG a = = 3 342 ②过点 A 作 AN⊥BD 于 N，过 D 作 DP⊥BG 于 P，如图 3， Rt△ABN 中，∠ABN=30°，AB=2， ∴AN=1，BN= ， ∴BD=2BN=2 ， ∵DC∥BE， ∴ ， ∵CM+BM=2， ∴BM= ， Rt△BDP 中，∠DBP=30°，BD=2 ， ∴BP=3， 由旋转得：BD=BF， ∴BF=2BP=6， ∴GM=BG-BM=6+1- = ． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方形 和菱形的性质，直角三角形 30 度的角性质等知识，本题证明△FDG≌△BDE 是解本题的关键． 29．如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 A（0，2），对称轴为直线 x=﹣2，平行于 x 轴的直线与抛物线交 于 B、C 两点，点 B 在对称轴左侧，BC=6． （1）求此抛物线的解析式． （2）点 P 在 x 轴上，直线 CP 将△ABC 面积分成 2：3 两部分，请直接写出 P 点坐标． 3 3 2 1 CD CM BE BM = = 2 3 3 2 3 19 343 【答案】（1）抛物线的解析式为 y=x2+4x+2；（2）P 的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）． 【分析】（1）由对称轴直线 x=2，以及 A 点坐标确定出 b 与 c 的值，即可求出抛物线解析式； （2）由抛物线的对称轴及 BC 的长，确定出 B 与 C 的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出 B 与 C 坐标，利用待定系数法求出直线 AB 解析式，作出直线 CP，与 AB 交于点 Q，过 Q 作 QH⊥y 轴，与 y 轴交于 点 H，BC 与 y 轴交于点 M，由已知面积之比求出 QH 的长，确定出 Q 横坐标，代入直线 AB 解析式求出纵坐标， 确定出 Q 坐标，再利用待定系数法求出直线 CQ 解析式，即可确定出 P 的坐标． 【详解】（1）由题意得：x=﹣ =﹣ =﹣2，c=2， 解得：b=4，c=2， 则此抛物线的解析式为 y=x2+4x+2； （2）∵抛物线对称轴为直线 x=﹣2，BC=6， ∴B 横坐标为﹣5，C 横坐标为 1， 把 x=1 代入抛物线解析式得：y=7， ∴B（﹣5，7），C（1，7）， 设直线 AB 解析式为 y=kx+2， 把 B 坐标代入得：k=﹣1，即 y=﹣x+2， 作出直线 CP，与 AB 交于点 Q，过 Q 作 QH⊥y 轴，与 y 轴交于点 H，BC 与 y 轴交于点 M， 可得△AQH∽△ABM， ∴ ， ∵点 P 在 x 轴上，直线 CP 将△ABC 面积分成 2：3 两部分， ∴AQ：QB=2：3 或 AQ：QB=3：2，即 AQ：AB=2：5 或 AQ：QB=3：5， ∵BM=5， ∴QH=2 或 QH=3， 当 QH=2 时，把 x=﹣2 代入直线 AB 解析式得：y=4， 此时 Q（﹣2，4），直线 CQ 解析式为 y=x+6，令 y=0，得到 x=﹣6，即 P（﹣6，0）； 当 QH=3 时，把 x=﹣3 代入直线 AB 解析式得：y=5， 2 b a 2 b QH AQ BM AB =44 此时 Q（﹣3，5），直线 CQ 解析式为 y= x+ ，令 y=0，得到 x=﹣13，此时 P（﹣13，0）， 综上，P 的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，二次函数图象上点的坐标特征以及相 似三角形的判定与性质等，有一定的难度，熟练掌握待定系数法和相似三角形的判定与性质是解本题的关 键． 30．如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 N，过 A 点的直 线 l： 与 y 轴交于点 C，与抛物线 的另一个交点为 D，已知 ，P 点为抛物线 上一动点（不与 A、D 重合）． （1）求抛物线和直线 l 的解析式； （2）当点 P 在直线 l 上方的抛物线上时，过 P 点作 PE∥x 轴交直线 l 于点 E，作 轴交直线 l 于点 F，求 的最大值； （3）设 M 为直线 l 上的点，探究是否存在点 M，使得以点 N、C，M、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存 在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ，直线 l 的表达式为： ；（2） 最大值：18；（3）存在，P 的坐标为： 或 或 或 . 【分析】（1）将点 A、D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解； （2） ，即可求解； （3）分 NC 是平行四边形的一条边、NC 是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可． 1 2 13 2 2y x bx c= − + + y kx n= + 2y x bx c= − + + ( 1,0) (5, 6)A D− −， 2y x bx c= + +﹣ / /PF y PE PF+ 2 3 4y x x= + +﹣ 1y x= - - PE PF+ (2 14, 3 14)+ − − (2 14, 3 14)− − + (4 5)，﹣ ( 4 3)− ， 2 22 2 3 4 1 2 2 18PE PF PF x x x x+ + + + + +＝ ＝（﹣ ）＝﹣（﹣）45 【详解】解：（1）将点 A、D 的坐标代入直线表达式得： ，解得： ， 故直线 l 的表达式为： ， 将点 A、D 的坐标代入抛物线表达式， 同理可得抛物线的表达式为： ； （2）直线 l 的表达式为： ，则直线 l 与 x 轴的夹角为 ， 即：则 ， 设点 P 坐标为 、则点 ， ，故 有最大值， 当 时，其最大值为 18； （3） ， ①当 NC 是平行四边形的一条边时， 设点 P 坐标为 、则点 ， 由题意得： ，即： ， 解得 或 0 或 4（舍去 0）， 则点 P 坐标为 或 或 ； ②当 NC 是平行四边形的对角线时， 则 NC 的中点坐标为 ， 设点 P 坐标为 、则点 ， N、C，M、P 为顶点的四边形为平行四边形，则 NC 的中点即为 PM 中点， 即： ， 解得： 或 （舍去 0）， 故点 ； 0 5 6 k n k n − + =  + = − 1 1 k n = −  = − 1y x＝- - 2 3 4y x x= + +﹣ 1y x＝﹣﹣ 45° PE PE＝ 2 3 4x x x+ +（ ，- ） 1F x x（ ，- - ） 2 22 2 3 4 1 2 2 18PE PF PF x x x x+ + + + + +＝ ＝（﹣ ）＝﹣（﹣） ， 2 0﹣＜ PE PF+ 2x＝ 5NC＝ 2 3 4x x x+ +（ ，﹣ ） 1M x x（ ，﹣﹣） | | 5M Py y﹣ ＝ 2 3 4 |1 5| x x x+ + + +﹣ ＝ 2 14x = ± (2 14, 3 14)+ − − (2 14, 3 14)− − + 4 5（ ，﹣） 1 ,22  −   2 3 4m m m+ +（ ，﹣ ） 1M n n（ ，﹣ ﹣） 21 m 3 4 1,22 2 2 n m m n+ − + + − −− = = 0m＝ 4﹣ 4 3P（﹣，）46 故点 P 的坐标为： 或 或 或 ． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的 思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． (2 14, 3 14)+ − − (2 14, 3 14)− − + 4 5（ ，﹣） 4 3（﹣，）