2020年中考数学十大题型专练10二次函数的综合应用题（含解析）.docx

1 题型 10 二次函数的综合应用题 一、解答题 1．如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 N，过 A 点的直线 l： 与 y 轴交于点 C，与抛物线 的另一个交点为 D，已知 ，P 点为抛物线 上一动点（不与 A、D 重合）． （1）求抛物线和直线 l 的解析式； （2）当点 P 在直线 l 上方的抛物线上时，过 P 点作 PE∥x 轴交直线 l 于点 E，作 轴交直线 l 于点 F，求 的最大值； （3）设 M 为直线 l 上的点，探究是否存在点 M，使得以点 N、C，M、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存 在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ，直线 l 的表达式为： ；（2） 最大值：18；（3）存在，P 的坐标为： 或 或 或 . 【分析】（1）将点 A、D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解； （2） ，即可求解； （3）分 NC 是平行四边形的一条边、NC 是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可． 【详解】解：（1）将点 A、D 的坐标代入直线表达式得： ，解得： ， 故直线 l 的表达式为： ， 将点 A、D 的坐标代入抛物线表达式， 同理可得抛物线的表达式为： ； （2）直线 l 的表达式为： ，则直线 l 与 x 轴的夹角为 ， 即：则 ， 2y x bx c= − + + y kx n= + 2y x bx c= − + + ( 1,0) (5, 6)A D− −， 2y x bx c= + +﹣ / /PF y PE PF+ 2 3 4y x x= + +﹣ 1y x= - - PE PF+ (2 14, 3 14)+ − − (2 14, 3 14)− − + (4 5)，﹣ ( 4 3)− ， 2 22 2 3 4 1 2 2 18PE PF PF x x x x+ + + + + +＝ ＝（﹣ ）＝﹣（﹣） 0 5 6 k n k n − + =  + = − 1 1 k n = −  = − 1y x＝- - 2 3 4y x x= + +﹣ 1y x＝﹣﹣ 45° PE PE＝2 设点 P 坐标为 、则点 ， ，故 有最大值， 当 时，其最大值为 18； （3） ， ①当 NC 是平行四边形的一条边时， 设点 P 坐标为 、则点 ， 由题意得： ，即： ， 解得 或 0 或 4（舍去 0）， 则点 P 坐标为 或 或 ； ②当 NC 是平行四边形的对角线时， 则 NC 的中点坐标为 ， 设点 P 坐标为 、则点 ， N、C，M、P 为顶点的四边形为平行四边形，则 NC 的中点即为 PM 中点， 即： ， 解得： 或 （舍去 0）， 故点 ； 故点 P 的坐标为： 或 或 或 ． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的 思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．已知二次函数 的图象过点 ，点 （ 与 0 不重合）是图象上的一点，直线 过点 且平行于 轴． 于点 ，点 ． （1）求二次函数的解析式； （2）求证：点 在线段 的中垂线上； 2 3 4x x x+ +（ ，- ） 1F x x（ ，- - ） 2 22 2 3 4 1 2 2 18PE PF PF x x x x+ + + + + +＝ ＝（﹣ ）＝﹣（﹣） ， 2 0﹣＜ PE PF+ 2x＝ 5NC＝ 2 3 4x x x+ +（ ，﹣ ） 1M x x（ ，﹣﹣） | | 5M Py y﹣ ＝ 2 3 4 |1 5| x x x+ + + +﹣ ＝ 2 14x = ± (2 14, 3 14)+ − − (2 14, 3 14)− − + 4 5（ ，﹣） 1 ,22  −   2 3 4m m m+ +（ ，﹣ ） 1M n n（ ，﹣ ﹣） 21 m 3 4 1,22 2 2 n m m n+ − + + − −− = = 0m＝ 4﹣ 4 3P（﹣，） (2 14, 3 14)+ − − (2 14, 3 14)− − + 4 5（ ，﹣） 4 3（﹣，） 2 ( 0)y ax a= ≠ (2, 1)− P P l (0,1) x PM l⊥ M (0, 1)F − P MF3 （3）设直线 交二次函数的图象于另一点 ， 于点 ，线段 的中垂线交 于点 ，求 的值； （4）试判断点 与以线段 为直径的圆的位置关系． 【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ；（4）点 在以线段 为直径的圆上 【分析】（1）把点 代入函数表达式，即可求解； （2） ，即 ，又 ,即可求解； （3）证明 ≌ 、 ≌ ，即 ，即 ，即 可求解； （4）在 中，由（3）知 平分 ， 平分 ， 则 ，即可求解． 【详解】解：（1）∵ 的图象过点 ， ∴ ，即 ，∴ ； （2）设二次函数的图象上的点 ，则 ， ，即 ， ， PF Q QN l⊥ N MF l R MR RN R PQ 21 4y x= − 1MR RN = R PQ (2, 1)− 2 1 1 1 4y x= − 2 1 1 14 , 1x y PM y= − = − ( ) ( )2 2 2 1 1 1 1 1 10 1 4 2 1 1PF x y y y y y PM= − + + = − + + + = − = PMR∆ PFR∆ (SAS) Rt RFQ∆ Rt RNQ∆ ( )HL RN FR= MR FR RN= = PQR∆ PR MRF∠ QR FRN∠ 1 ( ) 902PRQ MRF FRN∠ = ∠ + ∠ =  2y ax= ( 0)a ≠ (2, 1)− 21 2a− = × 1 4a = 21 4y x= − 1 1( , )P x y 1( ,1)M x 2 1 1 1 4y x= − 2 1 14x y= − 11PM y= −4 又 ， 即 ， ∴点 在线段 的中垂线上； （3）连接 ， ∵ 在线段 的中垂线上， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ， 连接 ，又在 和 中， ∵ 在 的图象上，由（2）结论知∴ ， ∵ ， ∴ ≌ ， 即 ， 即 ， ∴ ； （4）在 中，由（3）知 平分 ， 平分 ， ∴ ， ∴点 在以线段 为直径的圆上． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识等，其中（3），证 明 ≌ 、 ≌R 是本题解题的关键． 3．如图，抛物线 与 轴交于点 A（-1，0），点 B（-3,0），且 OB=OC， （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点 P 的坐标； （3）抛物线上两点 M，N，点 M 的横坐标为 m，点 N 的横坐标为 m+4.点 D 是抛物线上 M，N 之间的动点，过 点 D 作 y 轴的平行线交 MN 于点 E, ①求 DE 的最大值. ②点 D 关于点 E 的对称点为 F.当 m 为何值时，四边形 MDNF 为矩形？ ( ) ( )2 2 2 1 1 1 1 1 10 1 4 2 1 1PF x y y y y y PM= − + + = − + + + = − = PF PM= P MF RF R MF MR FR= PM PF= PR PR= PMR∆ PFR∆ (SAS) 90PFR PMR∠ = ∠ =  RF PF⊥ RQ Rt RFQ∆ Rt RNQ∆ Q 21 4y x= − QF QN= RQ RQ= Rt RFQ∆ Rt RNQ∆ ( )HL RN FR= MR FR RN= = 1MR RN = PQR∆ PR MRF∠ QR FRN∠ 1 ( ) 902PRQ MRF FRN∠ = ∠ + ∠ =  R PQ PMR∆ PFR∆ (SAS) Rt RFQ∆ Rt RNQ∆ ( )HL 2y ax bx c= + + x5 【答案】（1） ；（2）点 P 坐标为 或 或 或 ；（3）①当 时， 最大值为 4，②当 或 时，四 边形 MDNF 为矩形. 【分析】（1）已知抛物线与 x 轴两交点坐标，可设交点式 y=a（x+1）（x+3）；由 OC=OB=3 得 C（0，-3），代 入交点式即求得 a=-1． （2）由∠POB=∠ACB 联想到构造相似三角形，因为求点 P 坐标一般会作 x 轴垂线 PH 得 Rt△POH，故可过点 A 在 BC 边上作垂线 AG，构造△ACG∽△POH．利用点 A、B、C 坐标求得 AG、CG 的长，由相似三角形对应边 成比例推出 ．设点 P 横坐标为 p，则 OH 与 PH 都能用 p 表示，但需按 P 横纵坐标的正负性 进行分类讨论．得到用 p 表示 OH 与 PH 并代入 OH=2PH 计算即求得 p 的值，进而求点 P 坐标． （3）①用 m 表示 M、N 横纵坐标，把 m 当常数求直线 MN 的解析式．设 D 横坐标为 t，把 x=t 代入直线 MN 解 析式得点 E 纵坐标，D 与 E 纵坐标相减即得到用 m、t 表示的 DE 的长，把 m 当常数，对未知数 t 进行配方， 即得到当 t=m+2 时，DE 取得最大值． ②由矩形 MDNF 得 MN=DF 且 MN 与 DF 互相平分，所以 E 为 MN 中点，得到点 D、E 横坐标为 m+2．由①得 d=m+2 时，DE=4，所以 MN=8．用两点间距离公式用 m 表示 MN 的长，即列得方程求 m 的值． 【详解】解：（1）∵抛物线与 x 轴交于点 A（-1，0），点 B（-3，0） ∴设交点式 y=a（x+1）（x+3） ∵OC=OB=3，点 C 在 y 轴负半轴 ∴C（0，-3） 把点 C 代入抛物线解析式得：3a=-3 ∴a=-1 ∴抛物线解析式为 y=-（x+1）（x+3）=-x2-4x-3 （2）如图 1，过点 A 作 AG⊥BC 于点 G，过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H 2 4 3y x x= − − − ( 2,1),− 3 3( , )2 4 − 9 33 9 33( , )4 8 − + − + 9 33 9 33( , )4 8 + +− − 2t m= + DE 34 2m = − + 34 2 − − 1 2 PH AG OH CG = =6 ∴∠AGB=∠AGC=∠PHO=90° ∵∠ACB=∠POB ∴△ACG∽△POH ∵OB=OC=3，∠BOC=90° ∴∠ABC=45°， ∴△ABG 是等腰直角三角形 ∴OH=2PH 设 P（p，-p2-4p-3） ①当 p＜-3 或-1＜p＜0 时，点 P 在点 B 左侧或在 AC 之间，横纵坐标均为负数 ∴OH=-p，PH=-（-p2-4p-3）=p2+4p+3 ∴-p=2（p2+4p+3） 解得： 或 ②当-3＜p＜-1 或 p＞0 时，点 P 在 AB 之间或在点 C 右侧，横纵坐标异号 ∴p=2（p2+4p+3） AG CG PH OH ∴ = AG PH CG OH ∴ = 2 2 3 2BC OB OC= + = 2 22AG BG AB= = = 3 2 2 2 2CG BC BG∴ = − = − = 1 2 PH AG OH CG ∴ = = 1 2 9 33 9 33,4 4p p + − += − = 9 33 9 33,4 8P  + +∴ − −    9 33 9 33,4 8  − + − +   7 解得：p1=-2，p2=- ∴P（-2，1）或 综上所述，点 P 的坐标为 或 或 或 ； （3）①如图 2， ∵x=m+4 时，y=-（m+4）2-4（m+4）-3=-m2-12m-35 ∴M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35） 设直线 MN 解析式为 y=kx+n ∴ 解得： ∴直线 MN：y=（-2m-8）x+m2+4m-3 设 D（t，-t2-4t-3）（m＜t＜m+4） ∵DE∥y 轴 ∴xE=xD=t，E（t，（-2m-8）t+m2+4m-3） ∴DE=-t2-4t-3-[（-2m-8）t+m2+4m-3]=-t2+（2m+4）t-m2-4m=-[t-（m+2）]2+4 ∴当 t=m+2 时，DE 的最大值为 4． ②如图 3， 3 2 3 3,2 4  −   ( 2,1),− 3 3( , )2 4 − 9 33 9 33( , )4 8 − + − + 9 33 9 33( , )4 8 + +− − 2 2 4 3 ( 4) 12 35 km n m m k m n m m  + = − − −  + + = − − − 2 2 8 4 3 k m n m m = − −  = + −8 ∵D、F 关于点 E 对称 ∴DE=EF ∵四边形 MDNF 是矩形 ∴MN=DF，且 MN 与 DF 互相平分 ∴DE= MN，E 为 MN 中点 由①得当 d=m+2 时，DE=4 ∴MN=2DE=8 ∴（m+4-m）2+[-m2-12m-35-（-m2-4m-3）]2=82 解得： ∴m 的值为 或 时，四边形 MDNF 为矩形． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性 质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩形的性质．第（3）题没有图要先根据题意画草图帮 助思考，设计较多字母运算时抓住其中的常量和变量来分析和计算． 4．如图，已知直线 与抛物线 ： 相交于 和点 两点. 1 2 4 22D E m mx x m + += = = + 1 2 3 34 , 42 2m m= − − = − + 34 2 − − 34 2 − + AB C 2y ax 2x c= + + ( )1,0A − ( )B 2, 39 ⑴求抛物线 的函数表达式； ⑵若点 是位于直线 上方抛物线上的一动点，以 为相邻两边作平行四边形 ,当平行 四边形 的面积最大时，求此时四边形 的面积 及点 的坐标； ⑶在抛物线 的对称轴上是否存在定点 ,使抛物线 上任意一点 到点 的距离等于到直线 的距离，若存在，求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】⑴ ；⑵当 ， □MANB= △ = ，此时 ；⑶存在. 当 时，无论 取任何实数，均有 . 理由见解析. 【分析】（1）利用待定系数法，将 A，B 的坐标代入 y=ax2+2x+c 即可求得二次函数的解析式； （2）过点 M 作 MH⊥x 轴于 H，交直线 AB 于 K，求出直线 AB 的解析式，设点 M（a，-a2+2a+3），则 K（a， a+1），利用函数思想求出 MK 的最大值，再求出△AMB 面积的最大值，可推出此时平行四边形 MANB 的面积 S 及点 M 的坐标； （3）如图 2，分别过点 B，C 作直线 y= 的垂线，垂足为 N，H，设抛物线对称轴上存在点 F，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 y= 的距离，其中 F（1，a），连接 BF，CF，则可根据 BF=BN，CF=CN 两组等量关系列出关于 a 的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入 y=ax2+2x+c， 得， ， 解得 a=-1，c=3， ∴此抛物线 C 函数表达式为：y=-x2+2x+3； （2）如图 1，过点 M 作 MH⊥x 轴于 H，交直线 AB 于 K， C M AB MA MB、 MANB MANB MANB S M C F C P F 17y 4 = F 2y x 2x 3= − + + 1 2a = S 2S ABM 27 4 1 15M ,2 4      15F 1, 4      x PG PF= 17 4 17 4 2 0 4 4 3 a c a c − + =  + + =10 将点（-1，0）、（2，3）代入 y=kx+b 中， 得， ， 解得，k=1，b=1， ∴yAB=x+1， 设点 M（a，-a2+2a+3），则 K（a，a+1）， 则 MK=-a2+2a+3-（a+1） =-（a- ）2+ ， 根据二次函数的性质可知，当 a= 时，MK 有最大长度 ， ∴S△AMB 最大=S△AMK+S△BMK = MK•AH+ MK•（xB-xH） = MK•（xB-xA） = × ×3 = ， ∴以 MA、MB 为相邻的两边作平行四边形 MANB，当平行四边形 MANB 的面积最大时， S 最大=2S△AMB 最大=2× = ，M（ ， ）； （3）存在点 F， ∵y=-x2+2x+3 =-（x-1）2+4， ∴对称轴为直线 x=1， 当 y=0 时，x1=-1，x2=3， ∴抛物线与点 x 轴正半轴交于点 C（3，0）， 如图 2，分别过点 B，C 作直线 y= 的垂线，垂足为 N，H， 0 2 3 k b k b − +  + ＝ ＝ 1 2 9 4 1 2 9 4 1 2 1 2 1 2 1 2 9 4 27 8 27 8 27 4 1 2 15 4 17 411 抛物线对称轴上存在点 F，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 y= 的距离，设 F（1，a）， 连接 BF，CF， 则 BF=BN= -3= ，CF=CH= ， 由题意可列： ， 解得，a= ， ∴F（1， ）． 【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行 四边形 MANB 的面积最大时，△ABM 的面积最大，且此时线段 MK 的长度也最大． 5．如图，抛物线 y＝ax2+bx（a＞0）过点 E（8，0），矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上（点 A 在点 B 的左侧）， 点 C、D 在抛物线上，∠BAD 的平分线 AM 交 BC 于点 M，点 N 是 CD 的中点，已知 OA＝2，且 OA：AD＝1：3. （1）求抛物线的解析式； （2）F、G 分别为 x 轴，y 轴上的动点，顺次连接 M、N、G、F 构成四边形 MNGF，求四边形 MNGF 周长的最小 17 4 17 4 5 4 17 4 2 2 2 2 2 2 5(2 1) ( 3) 4 17(3 1) 4 a a   − + − =       − + =     15 4 15 412 值； （3）在 x 轴下方且在抛物线上是否存在点 P，使△ODP 中 OD 边上的高为 ？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由； （4）矩形 ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 K、L，且直线 KL 平分 矩形的面积时，求抛物线平移的距离. 【答案】（1）y＝ x2﹣4x；（2）四边形 MNGF 周长最小值为 12 ；（3）存在点 P，P 坐标为（6，﹣6）； （4）抛物线平移的距离为 3 个单位长度. 【分析】（1）由点 E 在 x 轴正半轴且点 A 在线段 OE 上得到点 A 在 x 轴正半轴上，所以 A（2，0）；由 OA＝ 2，且 OA：AD＝1：3 得 AD＝6.由于四边形 ABCD 为矩形，故有 AD⊥AB，所以点 D 在第四象限，横坐标与 A 的横坐标相同，进而得到点 D 坐标.由抛物线经过点 D、E，用待定系数法即求出其解析式；（2）画出四边 形 MNGF，由于点 F、G 分别在 x 轴、y 轴上运动，故可作点 M 关于 x 轴的对称点点 M'，作点 N 关于 y 轴的对 称点点 N'，得 FM＝FM'、GN＝GN'.易得当 M'、F、G、N'在同一直线上时 N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形 MNGF 周长最小值等于 MN+M'N'.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点 M、M'、N、N'坐标，即求得答案； （3）因为 OD 可求，且已知△ODP 中 OD 边上的高，故可求△ODP 的面积.又因为△ODP 的面积常规求法是过 点 P 作 PQ 平行 y 轴交直线 OD 于点 Q，把△ODP 拆分为△OPQ 与△DPQ 的和或差来计算，故存在等量关系.设 点 P 坐标为 t，用 t 表示 PQ 的长即可列方程.求得 t 的值要讨论是否满足点 P 在 x 轴下方的条件；（4）由 KL 平分矩形 ABCD 的面积可得 K 在线段 AB 上、L 在线段 CD 上，画出平移后的抛物线可知，点 K 由点 O 平移 得到，点 L 由点 D 平移得到，故有 K（m，0），L（2+m，-6）.易证 KL 平分矩形面积时，KL 一定经过矩形的 中心 H 且被 H 平分，求出 H 坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得 m 的值. 【详解】（1）∵点 A 在线段 OE 上，E（8，0），OA＝2 ∴A（2，0） ∵OA：AD＝1：3 ∴AD＝3OA＝6 ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AD⊥AB ∴D（2，﹣6） ∵抛物线 y＝ax2+bx 经过点 D、E ∴ 解得： 6 10 5 1 2 2 4 2 6 64 8 0 a b a b + = −  + = 1 2 4 a b  =  = −13 ∴抛物线的解析式为 y＝ x2﹣4x （2）如图 1，作点 M 关于 x 轴的对称点 M'，作点 N 关于 y 轴的对称点 N'，连接 FM'、GN'、M'N' ∵y＝ x2﹣4x＝ （x﹣4）2﹣8 ∴抛物线对称轴为直线 x＝4 ∵点 C、D 在抛物线上，且 CD∥x 轴，D（2，﹣6） ∴yC＝yD＝﹣6，即点 C、D 关于直线 x＝4 对称 ∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即 C（6，﹣6） ∴AB＝CD＝4，B（6，0） ∵AM 平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90° ∴∠BAM＝45° ∴BM＝AB＝4 ∴M（6，﹣4） ∵点 M、M'关于 x 轴对称，点 F 在 x 轴上 ∴M'（6，4），FM＝FM' ∵N 为 CD 中点 ∴N（4，﹣6） ∵点 N、N'关于 y 轴对称，点 G 在 y 轴上 ∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN' ∴C 四边形 MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM' ∵当 M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小 ∴C 四边形 MNGF＝MN+M'N'= ∴四边形 MNGF 周长最小值为 12 . 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 26 4 4 6 6 4 4 6 2 2 10 2 12 2− + − + + + + + = + = 214 （3）存在点 P，使△ODP 中 OD 边上的高为 . 过点 P 作 PQ∥y 轴交直线 OD 于点 Q ∵D（2，﹣6） ∴OD＝ ，直线 OD 解析式为 y＝﹣3x 设点 P 坐标为（t， t2﹣4t）（0＜t＜8），则点 Q（t，﹣3t） ①如图 2，当 0＜t＜2 时，点 P 在点 D 左侧 ∴PQ＝yQ﹣yP＝﹣3t﹣（ t2﹣4t）＝﹣ t2+t ∴S△ODP＝S△OPQ+S△DPQ＝ PQ•xP+ PQ•（xD﹣xP）＝ PQ（xP+xD﹣xP）＝ PQ•xD＝PQ＝﹣ t2+t ∵△ODP 中 OD 边上的高 h＝ ， ∴S△ODP＝ OD•h ∴﹣ t2+t＝ ×2 × 方程无解 ②如图 3，当 2＜t＜8 时，点 P 在点 D 右侧 6 10 5 2 22 6 2 10+ = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6 10 5 1 2 1 2 1 2 10 6 10 515 ∴PQ＝yP﹣yQ＝ t2﹣4t﹣（﹣3t）＝ t2﹣t ∴S△ODP＝S△OPQ﹣S△DPQ＝ PQ•xP﹣ PQ•（xP﹣xD）＝ PQ（xP﹣xP+xD）＝ PQ•xD＝PQ＝ t2﹣t ∴ t2﹣t＝ ×2 × 解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6 ∴P（6，﹣6） 综上所述，点 P 坐标为（6，﹣6）满足使△ODP 中 OD 边上的高为 . （4）设抛物线向右平移 m 个单位长度后与矩形 ABCD 有交点 K、L ∵KL 平分矩形 ABCD 的面积 ∴K 在线段 AB 上，L 在线段 CD 上，如图 4 ∴K（m，0），L（2+m，-6） 连接 AC，交 KL 于点 H 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 10 6 10 5 6 10 516 ∵S△ACD＝S 四边形 ADLK＝ S 矩形 ABCD ∴S△AHK＝S△CHL ∵AK∥LC ∴△AHK∽△CHL ∴ = =1， ∴AH＝CH，KH=HL，即点 H 为 AC 中点，也是 KL 中点 ∴H（4，﹣3） ∴ ∴m＝3 ∴抛物线平移的距离为 3 个单位长度. 【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中 求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式.易错的地方有第（1）题对点 D、 C、B 坐标位置的准确说明，第（3）题在点 D 左侧不存在满足的 P 在点 D 左侧的讨论，第（4）题对 KL 必过 矩形中心的证明. 6．如图，在直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ，点 ，对称轴为 的抛物 线过 两点，且交 轴于另一点 ，连接 ． （1）直接写出点 ，点 ，点 的坐标和抛物线的解析式； （2）已知点 为第一象限内抛物线上一点，当点 到直线 的距离最大时，求点 的坐标； （3）抛物线上是否存在一点 （点 除外），使以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在， 求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）点 ；（3）点 的坐标为： 或 或 ． 【分析】（1）y= x+3，令 x=0，则 y=3，令 y=0，则 x=6，故点 B、C 的坐标分别为：（6，0）、（0，3）， 即可求解； 1 2 2 ΔAHK ΔCHL S AH S CH  =    2( )KH HL m 2 m 42 + + = 1 32y x= − + x y B C 1x = ,B C x A AC A B C P P BC P Q C Q A B ABC∆ Q 21 1 38 4y x x= − + + 21(3, )8P Q (2,3) (12, 12)− ( 10, 12)− − 1 2 −17 （2）PH=PGcosα= ,即可求解； （3）分点 Q 在 x 轴上方、点 Q 在 x 轴下方两种情况，分别求解． 【详解】（1） ，令 ，则 ，令 ，则 ， 故点 的坐标分别为 、 ， 抛物线的对称轴为 ，则点 ， 则抛物线的表达式为： ， 即 ，解得： ， 故抛物线的表达式为： （2）过点 作 轴的平行线交 于点 ，作 于点 ， 将点 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BC 的表达式为： ， 则 ， ，则 ， 设点 ，则点 ， 则 ∵ ，故 有最小值，此时 ， 则点 ； （3）①当点 在 轴上方时， 则点 为顶点的三角形与 全等，此时点 与点 关于函数对称轴对称， 则点 ； ②当点 在 轴下方时， 22 5 1 1 1x x 3 x 35 8 4 2  − + + + −   1 32y x= − + 0x = 3y = 0y = 6x = ,B C (6,0) (0,3) 1x = ( 4,0)A − 2( 6)( 4) ( 2 24)y a x x a x x= − + = − − 24 3a− = 1 8a = − 21 1y x x 38 4 = − + + P y BC G PH BC⊥ H ,B C 1 32y x= − + HPG CBA α∠ = ∠ = 1tan tan2 OCCBA OB α∠ = = = 2cos 5 α = 21 1( , 3)8 4P x x x− + + 1( , 3)2G x x− + 2 22 5 1 1 1 5 3 5cos ( 3 3)5 8 4 2 20 10PH PG x x x x xα= = − + + + − = − + 5 020 − < PH 3x = 21(3, )8P Q x , ,Q A B ABC∆ Q C (2,3)Q Q x18 为顶点的三角形与 相似，则 ， 当 时， 直线 BC 表达式的 值为 ，则直线 表达式的 值为 ， 设直线 表达式为： ，将点 的坐标代入上式并解得： 直线 的表达式为： ②， 联立①②并解得： 或﹣8（舍去 6）， 故点 坐标为 （舍去）； 当 时， 同理可得：直线 的表达式为： ③， 联立①③并解得： 或﹣10（舍去 6）， 故点 坐标为 ， 由点的对称性，另外一个点 的坐标为 ； 综上，点 的坐标为： 或 或 ． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形三角形相似等，其中（3），要 注意分类求解，避免遗漏． 7．如图，在平面在角坐标系中，抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交与点 A，B（点 A 在点 B 的左侧）交 y 轴于点 C， 点 D 为抛物线的顶点，对称轴与 x 轴交于点 E． , ,Q A B ABC∆ 'ACB Q AB∠ = ∠ 'ABC ABQ∠ = ∠ k 1 2 − 'BQ k 1 2 'BQ 1 2y x b= + B 'BQ 1 32y x= − 6x = '( )Q Q ( 8, 7)− − 'ABC ABQ∠ = ∠ 'BQ 3 9 4 2y x= − 6x = '( )Q Q ( 10, 12)− − Q (12, 12)− Q (2,3) (12, 12)− ( 10, 12)− −19 （1）连结 BD，点 M 是线段 BD 上一动点（点 M 不与端点 B，D 重合），过点 M 作 MN⊥BD 交抛物线于点 N（点 N 在对称轴的右侧），过点 N 作 NH⊥x 轴，垂足为 H，交 BD 于点 F，点 P 是线段 OC 上一动点，当 MN 取得最 大值时，求 HF+FP+ PC 的最小值； （2）在（1）中，当 MN 取得最大值 HF+FP+1/3PC 取得小值时，把点 P 向上平移个 单位得到点 Q，连结 AQ，把△AOQ 绕点 O 瓶时针旋转一定的角度 （0°< 8 4a− = − 1 2a = BC BC P PH x BC H ~EPH CAO∆ ∆ 5 3EP PH= ( ), PP t y ( ),H PH x y ( )25 46f t t= − − 1 2 5 8 8 3f f m m − = − −   8 4a− = − 1 2a = 21 42y x x= − − 0y = 4x = 2− A B ( )2,0− ( )4,0 2 5AC = ( )2,0− ( )4,0 2 5 21 42y x x= − − BC75 如图所示，点 向右平移 4 个单位、向上平移 4 个单位得到点 ， 设：点 ，点 ， 则点 向右平移 4 个单位、向上平移 4 个单位得到点 ， 即： ， ， 解得： 或 6(舍去 4)， 即点 ； 当 是平行四边形的对角线时， 设点 、点 ，其中 ， 由中心公式可得： ， ， 解得： 或 4(舍去 4)， 故点 ； 故点 的坐标为 或 ； ②如图，过点 作 轴交 于点 ， ∵ 轴，∴ ， ∵ 轴，∴ ， C B 21, 42P n n n − −   ( ),0Q m P Q 4n m+ = 21 4 4 02 n n− − + = 4m = ( )6,0Q BC ( ),P m n ( ),0Q s 21 42n m m= − − 2m s+ = − 0 4n + = 2s = ( )2,0Q Q ( )2,0 ( )6,0 P PH x BC H GP y HEP ACB∠ = ∠ PH x PHO AOC∠ = ∠76 ∴ ，∴ ，即： ， 则 ， 设点 ，点 ， 则 ， 则 ， ， 当 时， ， 当 时， ， 则 ， 则 ，∴ ， . 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、相似三角形的判定与性质 等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想与分类讨论思想的运用. 28．已知抛物线 经过点 和 ，与 轴交于另一点 ，顶点为 ． （1）求抛物线的解析式，并写出 点的坐标； （2）如图，点 分别在线段 上（ 点不与 重合），且 ，则 能否为等 腰三角形？若能，求出 的长；若不能，请说明理由； （3）若点 在抛物线上，且 ，试确定满足条件的点 的个数． EPH CAO∆ ∼ ∆ EP PH AC AB = 62 5 EP PH= 5 3EP PH= ( ), PP t y ( ),H PH x y 21 4 42 Ht t x− − = − 21 2Hx t t= − ( )2 25 1 5 43 2 6f PH t t t t t   = = − − = − −     t m= ( )2 1 5 46f m m= − 14 2t m= − 2 2 5 3 26 4f m m = − −   1 2 5 8 8 3f f m m − = − −   0 2m< < 1 2 0f f− > 1 2f f> ( )22y a x c= − + ( )2,0A 90, 4C      x B D D ,E F ,AB BD E ,A B DEF A∠ = ∠ DEF∆ BE P PBD CBD S mS ∆ ∆ = P77 【答案】（1） ；（2）可能， 的长为 或 ；（3）当 时，满足条件的点 的个数有 个，当 时，满足条件的点 的个数有 个，当 时，满足条件的点 的个数有 个（此时点 在 的左侧）． 【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题． （2）可能分三种情形①当 时，②当 时，③当 时，分别求解即可． （3）如图 2 中，连接 ，当点 在线段 的右侧时，作 于 ，连接 ．设 ，构建二次函数求出 的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题． 【详解】（1）由题意： 解得 抛物线的解析式为 ， 顶点 坐标 ． （2）可能．如图 1， ①当 时， ，此时 与 重合，与条件矛盾，不成立． ②当 时， 又 ， ， ③当 时， ( )2,3 BE 5 25 8 30 10m< < P 4 3 10m = P 3 3 10m > P 2 P BD DE DF= DE EF= DF EF= BD P BD DH AB⊥ H , ,PD PH PB ( )23, 2 316P n n − − +   PBD∆ 16 0 94 4 a c a c + = + = 3 16 3 a c  =  = ∴ 23 ( 2) 316y x= − − + ∴ D ( )2,3 ( 2,0), (2,3), (6,0)A D B− 8, 5AB AD BD∴ = = = D E=D F DFE DEF ABD∠ = ∠ = ∠ / /EF AB∴ E B DE EF= ~BEF AED∆ ∆ BEF AED∴∆ ≅ ∆ 5BE AD∴ = = DF EF= EDF DEF DAB DBA∠ = ∠ = ∠ = ∠78 ， ， 答：当 的长为 或 时， 为等腰三角形． （3）如图 2 中，连接 ，当点 在线段 的右侧时，作 于 ，连接 ．设 则 时， 的面积的最大值为 ， 当点 在 的右侧时， 的最大值 ， 观察图象可知：当 时，满足条件的点 的个数有 个， ~FDE DAB∆ ∆ DE BD AB EF∴ = EF BD 5 DE AB 8 ∴ = = ~AEF BCE∆ ∆ EF 5 AD DE 8 EB∴ = = 5 25 8 8EB AD∴ = = BE 5 25 8 CFE∆ BD P BD DH AB⊥ H , ,PD PH PB ( )23, 2 316P n n − − +   PBD PDH BDHPBHS S S S+ ∆ ∆∆ = −  21 34 ( 2) 32 16 n = × × − − +   1 13 ( 2) 4 32 2n+ × × − − × × = ( )23 348 2n= − − + 3 08 − P 2 P BD 2 6y ax ax= + 3 3a = 1 1 OD OE − 1 1 1 6OD OE − = 2 6 2 t t+ BD DO BE OE = 6 6 t t− − 1 1 t m − − 1 1 OD OE −80 过 O、A、B 三点，B 为顶点 ， 又∵PC=PB ， ∵CE 为切线 °， 又 ， ∴CE=DE， （3）设 OE=m，即 E（m,0） 由切割定理：CE2=OE·AE ， ， 已知 ， 由角平分线定理： 即： 由①②得 ∴t2=－18t－36 ， 【点睛】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与 x 轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角 形的判定、切割线定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键． 30．如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 的坐标为 ，抛物线 P PM OA∴ ⊥ 90PBC BOM∠ + ∠ = PCB PBC∴∠ = ∠ 90PCB ECD∴∠ + ∠ = BDP CDE∠ = ∠ ECD COE∴∠ = ∠ ( ) ( ) 2 2 6 6 2 tm t m m m t − = ⋅ + ⇒ = + ① CAE CBD∠ = ∠ CAE OBE∠ = ∠ CBO EBO∠ = ∠ BD DO BE OE = ( ) ( ) 2 2 3 27 6 63 27 t t tmm tm + + −= ⇒ = − −+ + ② 2 26 18 36 06 2 6 t t t tt t = ⇒ + + =+ − − 2 1 1 1 1 3 6 1 6 t OD OE t m t +− = − − = − = 3y x= − x A y C B (1,0) 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠81 经过 三点，抛物线的顶点为点 ，对称轴与 轴的交点为点 ，点 关于原点的对称点为 ，连 接 ，以点 为圆心， 的长为半径作圆，点 为直线 上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求 周长的最小值； （3）若动点 与点 不重合，点 为⊙ 上的任意一点，当 的最大值等于 时，过 两点的 直线与抛物线交于 两点（点 在点 的左侧），求四边形 的面积． 【答案】（1） ；（2） （3） 【分析】（1）直线 y=x-3，令 x=0，则 y=-3，令 y=0，则 x=3，故点 A、C 的坐标为（3，0）、（0，-3），即可 求解； （2）过点 B 作直线 y=x-3 的对称点 B′，连接 BD 交直线 y=x-3 于点 P，直线 B′B 交函数对称轴与点 G，则 此时△BDP 周长=BD+PB+PD=BD+B′B 为最小值，即可求解； （3）如图 2 所示，连接 PF 并延长交圆与点 Q，此时 PQ 为最大值，即可求解． 【详解】解：（1）直线 ，令 ，则 ，令 ，则 ， 故点 的坐标为 、 ， 则抛物线的表达式为： ， 则 ，解得： ， 故抛物线的表达式为： …①； （2）过点 作直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ， 直线 交函数对称轴与点 ，连接 ， 则此时 周长 为最小值， , ,A B C D x E E F CE F 1 2 CE P 3y x= − BDP∆ P C Q F PQ 3 2 CE ,P Q ,M N M N ABMN 2 4 3y x x= − + − 2 10+ ； 26 8 34 9 + 3y x= − 0x = 3y = − 0y = 3x = ,A C (3,0) (0, 3)− ( )2( 3)( 1) 4 3y a x x a x x= − − = − + 3 3a = − 1a = − 2 4 3y x x= − + − B 3y x= − 'B BD 3y x= − P 'B B G 'AB BDP∆ 'BD PB PD BD B B= + + = +82 ，则点 ，即： ， 即点 是 的中点，过点 ， 周长最小值 ； （3）如图 2 所示，连接 并延长交圆与点 ，此时 为最大值， 点 的坐标为 ， 则 ， ， 则 ， 设点 ，点 ， ， 解得： ，故点 ， 将点 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 的表达式为： …②， 联立①②并解得： ， 故点 的坐标分别为： (2,1)D (2, 1)G − BG EG= G 'BB '(3, 2)B − BDP∆ ' 2 10BD B B= + = + PF Q PQ , , , ,A B C E F (3,0),(1,0),(0, 3),(2,0),( 2,0)− − 13CE = 1 2FQ CE= 3 1 132 2PF CE CE= − = ( , 3)P m m − ( 2,0)F − 2 2 213 ( 2) ( 3)PF m m= = − + − 1m = (1, 2)P − ,P F PF 2 4 3 3y x= − − 7 34 3x ±= ,M N 7 34 26 2 34 7 34 26 2 34, , ,3 9 3 9    − − + + − −         83 过点 分别作 轴的垂线交于点 ， 则 . 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，其中（3）， 确定 PQ 最值时，通常考虑直线过圆心的情况，进而求解． ,M N x ,S R 26 8 34 9ARN SBMABMN NRSMS S S S∆ ∆ += − − =四边形 梯形