1
题型 08 与圆有关的证明与计算题
一、单选题
1．如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点， ，则 的度
数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC 是等腰三角
形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．
【详解】解：如图，∵ ，
∴ ．
∵ 是 的弦， 交 于点 ，
∴ ．
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明 .
2．如图， 为 的切线，切点为 ，连接 ， 与 交于点 ，延长 与 交于点
，连接 ，若 ，则 的度数为( )
A． B． C． D．
AB O OC AB⊥ O C D O 30ADC∠ = ° BOC∠
30ADC∠ = °
2 60AOC ADC∠ = ∠ = °
AB O OC AB⊥ O C
AC BC=
60AOC BOC∠ = ∠ = °
AC BC=
AB O A AO BO、 BO O C BO O
D AD 36ABO∠ = ADC∠
54 36 32 272
【答案】D
【分析】由切线性质得到 ，再由等腰三角形性质得到 ，然后用三角形外角性质得
出
【详解】切线性质得到
故选 D
【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
3．如图， 是 的内接三角形， ，过点 的圆的切线交 于点 ，则 的度数为
（ ）
A．32° B．31° C．29° D．61°
【答案】A
【分析】根据题意连接 OC， 为直角三角形，再根据 BC 的优弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍，可
计算的 的度，再根据直角三角形可得 的度数.
【详解】根据题意连接 OC.因为
所以可得 BC 所对的大圆心角为
因为 BD 为直径，所以可得
由于 为直角三角形
所以可得
故选 A.
AOB∠ OAD ODA∠ = ∠
ADC∠
90BAO∠ =
90 36 54AOB∴∠ = − =
OD OA=
OAD ODA∠ = ∠∴
AOB OAD ODA∠ = ∠ + ∠
27ADC ADO∴∠ = ∠ =
ABC∆ O 119A∠ = ° C BO P P∠
COP∆
COP∠ P∠
119A∠ = °
2 119 238BOC ° °∠ = × =
238 180 58COD ° ° °∠ = − =
COP∆
90 58 32P ° ° °∠ = − =3
【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的 2 倍.
4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ，点 是这段弧所在圆的圆心， ，点 是 的中点，
且 ，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，可以推出 AD＝BD＝20，若设半径为 r，则 OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半
径 r 的值．
【详解】解： ，
，
在 中， ，
设半径为 得： ，
解得： ，
这段弯路的半径为
故选：A．
【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为 r 后，用 r 表示出 OD、OB
的长度．
5．如图，点 为扇形 的半径 上一点，将 沿 折叠，点 恰好落在 上的点 处，且
（ 表示 的长），若将此扇形 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 OD，求出∠AOB，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可.
【详解】解：连接 交 AC 于 ．
O 40AB m= C AB
10CD m=
25m 24m 30m 60m
OC AB⊥
20AD DB m∴ = =
Rt AOD∆ 2 2 2OA OD AD= +
r ( )22 210 20r r= − +
25r m=
∴ 25m
C OAB OB OAC∆ AC O AB D
: 1:3BD AD′ ′ = BD′ BD OAB
1:3 1:π 1: 4 2:9
OD M4
由折叠的知识可得： ， ，
，
，
且 ，
设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
，
．
故选： ．
【点睛】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.
6．如图，边长为 的等边 的内切圆的半径为( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】连接 AO、CO，CO 的延长线交 AB 于 H，如图，利用内心的性质得 CH 平分∠BCA，AO 平分∠BAC，再
根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH= AB=3，然后利用正切的定义计算
出 OH 即可．
【详解】设 的内心为 O，连接 AO、BO，CO 的延长线交 AB 于 H，如图，
∵ 为等边三角形，
∴CH 平分 ，AO 平分 ，∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
1
2OM OA= 90OMA∠ = °
30OAM∴∠ = °
60AOM∴∠ = °
: 1:3BD AD′ ′ =
80AOB∴∠ = °
r l
80 2180
l r
π π=
: 2:9r l∴ =
D
2 3 ABC∆
3 2 3
1
2
ABC∆
ABC∆
BCA∠ BAC∠ ABC∆
60CAB °∠ = CH AB⊥
30OAH °∠ = 1 32AH BH AB= = =5
在 中，∵ ，
∴ ，
即 内切圆的半径为 1．
故选 A．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三
角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．
7．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB= ，BC=2，以 AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交 AC
于点 D，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 OD，过点 O 作 OH⊥AC，垂足为 H，则有 AD=2AH，∠AHO=90°，在 Rt△ABC 中，利用∠A 的正
切值求出∠A=30°，继而可求得 OH、AH 长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据 S 阴影=S△ABC-S△AOD-S
扇形 BOD 进行计算即可.
【详解】连接 OD，过点 O 作 OH⊥AC，垂足为 H，
则有 AD=2AH，∠AHO=90°，
在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB= ，BC=2，tan∠A= ，
∴∠A=30°，
∴OH= OA= ，AH=AO•cos∠A= ，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH= ，
Rt AOH∆ OHtan tan30AHOAH °∠ = =
3 3 13OH = × =
ABC∆
2 3
5 3
4 2
π− 5 3
4 2
π+ 2 3 π− 4 3 2
π−
2 3 2 3
32 3
BC
AB
= =
1
2
3
2
3 33 2 2
× =
36
∴S 阴影=S△ABC-S△AOD-S 扇形 BOD= = ，
故选 A.
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌
握和灵活运用相关知识是解题的关键.
8．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影
部分(即四边形 AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【答案】A
【分析】先利用勾股定理判断△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形 AEOF 为正方形，设⊙O
的半径为 r，利用面积法求出 r 的值即可求得答案.
【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O 为△ABC 内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且 AE=AF，
∴四边形 AEOF 为正方形，
设⊙O 的半径为 r，
∴OE=OF=r，
∴S 四边形 AEOF=r²，
连接 AO，BO，CO，
( )2
60 31 1 32 3 2 32 2 2 360
π ×
× × − × × − 5 3
4 2
π−7
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴ ，
∴r=2，
∴S 四边形 AEOF=r²=4，
故选 A.
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关
知识是解题的关键.
9．如图， 是 的直径， ， 是 上的两点，且 平分 ， 分别与 ， 相交
于点 ， ，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由圆周角定理和角平分线得出 ， ，由等腰三角形的性质得出
，得出 ，证出 ，选项 A 成立；由平行线的性质得出
，选项 B 成立；由垂径定理得出 ，选项 D 成立； 和 中，没有相等的边，
与 不全等，选项 C 不成立，即可得出答案．
【详解】∵ 是 的直径， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，选项 A 成立；
∴ ，选项 B 成立；
∴ ，选项 D 成立；
∵ 和 中，没有相等的边，
∴ 与 不全等，选项 C 不成立，
故选 C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本
1 1( )2 2AB AC BC r AB AC+ + = ⋅
AB O C D O BC ABD∠ AD BC OC
E F
OC BD AD OC⊥ CEF BED∆ ≅ ∆ AF FD=
90ADB∠ = ° OBC DBC∠ = ∠
OCB OBC∠ = ∠ DBC OCB∠ = ∠ OC BD
AD OC⊥ AF FD= CEF∆ BED∆
CEF∆ BED∆
AB O BC ABD∠
90ADB∠ = ° OBC DBC∠ = ∠
AD BD⊥
OB OC=
OCB OBC∠ = ∠
DBC OCB∠ = ∠
OC BD
AD OC⊥
AF FD=
CEF∆ BED∆
CEF∆ BED∆8
题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．
10．如图，在 中， 以 BC 为直径的半圆 O 交斜边 AB 于点 D，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和得到 ，根据圆周角定理得到 ，根据扇
形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵在 中， ，
，
，
，BC 为半圆 O 的直径，
，
，
，
图中阴影部分的面积
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积。
二、填空题
11．如图， 的两条相交弦 、 ， ， ，则 的面积是
_______．
Rt ABC∆ 90 30 4ACB A BC∠ = ° ∠ = ° =， ， ，
4 33
π − 2 3
3 2
π − 1 3
3 2
π − 1 33
π −
60B∠ °＝ 120 90COD CDB∠ ° ∠ °＝ ， ＝
Rt ABC∆ 90 30ACB A∠ ° ∠ °＝ ， ＝
60B∴∠ °＝
120COD∴∠ °＝
4BC ＝
90CDB∴∠ °＝
2OC OD∴ ＝ ＝
3 2 32CD BC∴ = =
2120 2 1 42 3 1 3360 2 3CODCODS S
π π
∆
⋅ × − × × = −扇形＝ ﹣ ＝ ，
O AC BD 60ACB CDB °∠ = ∠ = 2 3AC = O9
【答案】 ．
【分析】由 ，而 ，所以 ，得到 为等边三角
形，又 ，从而求得半径，即可得到 的面积．
【详解】解：∵ ，
而 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵ ，
∴圆的半径为 2，
∴ 的面积是 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．
12．如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中心与半径为 2 的⊙O 的圆心重合,E、F 分别是 AD、BA 的延长与⊙O 的交
点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留 )
【答案】 －1
【分析】延长 DC，CB 交⊙O 于 M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：延长 DC，CB 交⊙O 于 M，N，
则图中阴影部分的面积＝ ×（S 圆 O−S 正方形 ABCD）＝ ×（4π−4）＝π−1，
故答案为：π−1．
4π
A BDC∠ = ∠ 60ACB CDB °∠ = ∠ = 60A ACB °∠ = ∠ = ACB∆
2 3AC = O
A BDC∠ = ∠
60ACB CDB °∠ = ∠ =
60A ACB °∠ = ∠ =
ACB∆
2 3AC =
O 4π
4π
π
π
1
4
1
410
【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
13．如图， 为 的直径，弦 ，垂足为 ， ， ， ，则弦 的长
度为______．
【答案】
【分析】连接 、 ， 交 于 ，如图，利用垂径定理得到 ，设 的半径为 ，
则 ， ，根据勾股定理得到 ，解得 ，再利用垂径定理得到 ，
，则 ， ，然后解方程组求出 ，从而得到 的
长．
【详解】连接 、 ， 交 于 ，如图，
∵ ，
，
设⊙ 的半径为 ，则 ， ，
在 中， ，解得 ，
∵ ，
， ，
在 中， ，①
CD O AB CD⊥ E AB BF= 1CE = 6AB = AF
48
5
OA OB OB AF G 3AE BE= = O r
1OE r= − OA r= 2 2 23 1( )r r+ − = = 5r OB AF⊥
AG FG= 2 2 25AG OG+ = 2 2 2( )5 6AG OG+ − = AG AF
OA OB OB AF G
AB CD⊥
1 32AE BE AB∴ = = =
O r 1OE r= − OA r=
Rt OAE∆ 2 2 23 1( )r r+ − = = 5r
AB BF=
OB AF∴ ⊥ AG FG=
Rt OAG∆ 2 2 25AG OG+ =11
在 中， ，②
解由①②组成的方程组得到 ，
．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一
组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
14．如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧
围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为 ，则勒洛三角形的周长为__________．
【答案】
【分析】勒洛三角形的周长为 3 段相等的弧，计算弧长即可.
【详解】勒洛三角形的周长为 3 段相等的弧，每段弧的长度为：
则勒洛三角形的周长为：
故答案为：
【点晴】考查弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键.
15．如图，在平面直角坐标系中，已知 经过原点 ，与 轴、 轴分别交于 、 两点，点 坐标为
， 与 交于点 ， ，则圆中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【分析】由圆周角定理可得 ，在 Rt△AOB 中，利用解直角三角形求出 OA、AB 的长，然
后根据 S 阴=S 半-S△ABO 求解即可.
【详解】连接 ，
Rt ABG∆ 2 2 2( )5 6AG OG+ − =
24
5AG =
482 5AF AG∴ = =
48
5
a
aπ
60π a 1 πa.180 3
⋅ =
1 πa 3 πa.3
× =
πa.
D O x y A B B
(0,2 3) OC D C 30OCA∠ = °
2 2 3π −
30OBA C∠ = ∠ = °
AB12
∵ ，
∴ 是直径，
根据同弧对的圆周角相等得 ，
∵ ，
∴ ， ，即圆的半径为 2，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了：①同弧对的圆周角相等；②90°的圆周角对的弦是直径；③锐角三角函数的概念；④
圆、直角三角形的面积分式．熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.
16．如图， 是圆 的弦， ，垂足为点 ，将劣弧 沿弦 折叠交于 的中点 ，若
，则圆 的半径为_____．
【答案】 ．
【分析】连接 OA，设半径为 x，用 x 表示 OC，根据勾股定理建立 x 的方程，便可求得结果．
【详解】解：连接 OA，设半径为 x，
将劣弧 沿弦 AB 折叠交于 OC 的中点 D，
， ，
90AOB∠ = °
AB
30OBA C∠ = ∠ = °
2 3OB =
3tan tan30 2 3 23OA OB ABO OB °= ∠ = = × = sin30 4AB AO °= ÷ =
22 1 2 2 3 2 2 32 2ABOS S S
π π×= − = − × × = −△阴影 半圆
2 2 3π −
AB O OC AB⊥ C AB AB OC D
2 10AB = O
3 2
AB
2
3OC x∴ = OC AB⊥13
，
，
，
解得， ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．
17．如图，扇形 中， . 为弧 上的一点，过点 作 ，垂足为 ， 与
交于点 ，若 ，则该扇形的半径长为___________
【答案】5
【分析】连接 OP，设半径为 r，在直角三角形 OCP 中利用勾股定理将 CO 用 r 表示，得到 AC，又有△ACD∽△
AOB，利用 ，解出 r 即可
【详解】连接 OP，设半径为 r，则 OP=OA=OB=r，PC=PD+CD=3,
在直角三角形 OCP 中， ，即得 OC2=r2-9，得到 OC=
得到 AC= ，又易知△ACD∽△AOB，所以 ，即 ，
得到 ，解出 r=5；故填 5
【点睛】本题主要考查勾股定理及相似三角形的证明与性质，本题关键在于能够连 OP，表示出 AC
18．如图，在圆心角为 90°的扇形 中， ， 为 上任意一点，过点 作 于点 ，
设 为 的内心，当点 从点 运动到点 时，则内心 所经过的路径长为_____．
1 102AC AB∴ = =
2 2 2OA OC AC− =
2 22( ) 103x x∴ − =
3 2x =
3 2
OAB 90AOB∠ = ° P AB P PC OA⊥ C PC AB
D 2, 1PD CD= =
AC DC
AO BO
=
2 2 2OC PC OP+ = 2r 9−
2r r 9− − AC DC
AO BO
= 2r r 9 1
r r
− − =
2r r 9 1− − =
OAB 2OB = P AB P PE OB⊥ E
M OPE∆ P A B M14
【答案】
【分析】以 为斜边在 的右边作等腰 ，以 为圆心 为半径作⊙ ，在优弧 上取
一点 H，连接 ， ， ， ．求出 ，证 ，得
，由 ，证 四点共圆，故点 的运动轨迹是
，由弧长公式可得.
【详解】如图，以 为斜边在 的左边作等腰 ，以 为圆心 为半径作⊙ ，在优弧
上取一点 H，连接 ， ， ， ．
∵ ，
∴ ，
∵点 是内心，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴点 的运动轨迹是 ，
∴内心 所经过的路径长 ，
2
2
π
OB OB /Rt P OB∆ /P PB /P OB
HB HO BM MP 135OMP °∠ = ( )OMB OMP SAS∆ ≅ ∆
135OMB OMP °∠ = ∠ = 180H OMB °∠ + ∠ = , , ,O M B H M
OB
OB OB /Rt P OB∆ /P /P B /P OB
HB HO BM MP
PE OB⊥
90PEO∠ =
M
135OMP °∠ =
OB OP= MOB MOP∠ = ∠ OM OM=
( )OMB OMP SAS∆ ≅ ∆
135OMB OMP °∠ = ∠ =
1 452H BPO °∠ = ∠ =
180H OMB °∠ + ∠ =
, , ,O M B H
M OB
M 90 2 2
180 2
π π⋅= =15
故答案为 ．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l= ，其中 l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的度数．同时考
查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．
19．如图， ， ，以点 为圆心， 为半径作弧交 于点 ，点 ，交 于点
，若 ，则阴影部分的面积为_____.
【答案】
【分析】根据题意连接 OC，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧 AC 所对的阴影部分
面积等于弧 AC 所对圆心角的面积减去 的面积，而不规则图形 BCD 的面积等于 的面积减去弧 DC
所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.
【详解】解：根据题意连接 OC
为等边三角形
阴影部分面积 1=
阴影部分面积 2=
阴影部分面积=阴影部分面积 1+阴影部分面积 2=
故答案为 。
【点睛】本题只要考查圆弧的面积计算，关键在于阴影部分面积的分割.
2
2
π
180
n Rπ
90AOB∠ = ° 30B∠ = ° O OA AB A C OB
D 3OA =
3
4
π
OAC∆ OBC∆
, 90 90 30 60OA OC OAB B° ° ° °= ∠ = − ∠ = − =
ACO∴∆
60AOC °∴∠ =
∴ 260 1 3 93 3 3cos30 3360 2 2 4
π π°× × − × × = −
∴ 21 3 30 9 3 33 3 32 2 360 4 4
π π× × − × × = −
∴ 3
4
π
3
4
π16
20．如图，在扇形 AOB 中， ，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 ．若 ，则阴影
部分的面积为_____．
【答案】
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是 的面积与扇形 OBC 的
面积之和再减去 的面积，本题得以解决．
【详解】
解：作 于点 F，
在扇形 AOB 中， ，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 ． ，
， ， ，
，
， ， ， ，
，
阴影部分的面积是： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三、解答题
21．如图， 内接于 ，直径 交 于点 E，延长 至点 F，使 ，连接 并延长
交过点 A 的切线于点 G，且满足 ，连接 ，若 ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的半径 ；
（3）求证： 是 的切线．
120AOB °∠ = OC OA⊥ 2 3=OA
3 π+
AOD∆
BDO∆
OE AB⊥
120AOB °∠ = OC OA⊥ 2 3=OA
90AOD °∴∠ = 90BOC °∠ = OA OB=
30OAB OBA °∴∠ = ∠ =
3tan30 2 3 23OD OA °∴ = ⋅ = × = 4=AD 32 2 2 3 62AB AF= = × × = 3OF =
2BD∴ =
∴ 22 3 2 30 (2 3) 2 3 32 360 2AOD BDOOBCS S S
π π∆ ∆
× × ×−+ +− = = +扇形
3 π+
ABC∆ O AD BC AD 2DF OD= FC
/ /AG BC OC 1cos 3BAC∠ = 6BC =
COD BAC∠ = ∠
O OC
CF O17
【答案】（1）见解析；（2） 的半径 为 ；（3）见解析.
【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理，结合题意进行计算，即可得到答案；
（2）根据三角函数性质，得到 ，从而得出答案；
（3）根据相似三角形的性质进行计算，即可得到答案.
【详解】解：（1）∵ 是 的切线， 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ，
∴ 的半径 为 ；
O OC 27
8
2 2 23 9x x+ =
AG O AD O
90GAF °∠ =
/ /AG BC
AE BC⊥
CE BE=
2BAC EAC∠ = ∠
2COE CAE∠ = ∠
COD BAC∠ = ∠
COD BAC∠ = ∠
1cos cos 3
OEBAC COE OC
∠ = ∠ = =
OE x= 3OC x=
6BC =
3CE =
CE AD⊥
2 2 2OE CE OC+ =
2 2 23 9x x+ =
9
8x =
273 8OC x= =
O OC 27
818
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题考查平行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平
行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质.
22．如图, 内接于 ， .将斜边 绕点 顺时针旋转一定角度得到 ，
过点 作 于点 ，连接 交 于点 .
（1）求证： 是 的切线;
（2）连接 交 于点 ，连接
求证： .
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点 O 在 AB 上，AB 为⊙O 直径，故只需证 AD⊥AB 即
可．由∠ABC+∠BAC=90°和∠DAE=∠ABC 可证得∠DAE+∠BAC=90°，而 E、A、C 在同一直线上，用 180°减
去 90°即为∠BAD=90°，得证．
（2）由（1）利用勾股定理得出 ，公积金图形得出 ，可知 ，
即可得到 ，再根据相似三角形的性质得到 ，又因为 ，
即可解答
【详解】（1）证明： 且
为 的半径
为 的切线
2DF OD=
3 3OF OD OC= =
OE OC 1
OC OF 3
= =
COE FOC∠ = ∠
COE FOE∆ ∆∽
90OCF DEC °∠ = ∠ =
CF O
Rt ABC∆ O 90 , 2ACB BC∠ = ° = AB A AD
D DE AC⊥ , , 1E DAE ABC DE∠ = ∠ = DO O F
AD O
FC AB G FB
2FG = G0 GB•
5AB = AED BCA∆ ∆≌ 2 5
5
AE AD DE
AD DO AO
= = =
~ABD DAO∆ ∆ FGO BGF∠ = ∠ ~FGO BGF∆ ∆
DAE ABC∠ = ∠∵ 90ABC CAB∠ + ∠ = °
90EAD CAB∴ ∠ + ∠ = °
90DAB∴∠ = °
AO O
AD∴ O19
（2）证明：由①知
由模型可知，
【点睛】此题考查三角形相似，圆切线证明，解题关键在于证明 AD⊥AB
23．如图 1，有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心 （保留作图痕迹，不写做法）
如图 2，设 是该残缺圆 的直径， 是圆上一点， 的角平分线 交 于点 ，过点 作
的切线交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；（2）若 ， ，求残缺圆的半圆面积．
【答案】图 1 做图题作法：详见解析；图 2 解答过程：（1）详见解析；（2）5π
【分析】作弦 ， ，再作两弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点 O 即为圆心．
（1）连接 交 于 ，由切线的性质可得 ，然后证明 ∥ 即可；
（2）首先证明四边形 是矩形，然后求出 BC，再利用勾股定理求出 AB 即可解决问题．
【详解】解：图 1 做图题作法：
①在残缺的圆上取两条不平行的弦 和 ；
90DAB∠ = °
1 2 5AC BC AB= = ∴ =
5AED B ADCA∆ ∆ ∴ =≌
5 5
2 2AO DO= ∴ =∵
2 5
5
AE AD DE
AD DO AO
= = =
~ABD DAO∴∆ ∆
/ /EBD ADO AE DO∴∠ = ∠ ∴
ACF CFO ABF∴∠ = ∠ = ∠
FGO BGF∠ = ∠
~FGO BGF∴∆ ∆
FG GO
BG FG
∴ =
2FG GO GB∴ = •
O
AB O C CAB∠ AD O D D
O AC E
AE DE⊥ 3DE = 2AC =
PQ TS
OD BC H OD DE⊥ OD AE
CEDH
PQ TS20
②以点 为圆心大于 一半长为半径在 两侧作圆弧；
③以点 为圆心，同样长的半径在 两侧作圆弧与②中的圆弧交于 ， 两点；
④作直线 即为线段 的垂直平分线；
⑤以同样的方法做线段 的垂直平分线 与直线 交于点 即为该残缺圆的圆心.
图 2 解答过程：
（1）证明：连接 交 于
∵ 为 的切线
∴
∵ 平分
∴
∵
∴
∴ ∥
∴
（2）解：
∵ 是 的直径
∴
∵ ∥
∴
∴ ，四边形 为矩形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
P PQ PQ
Q PQ M N
MN PQ
TS LK MN O
OD BC H
DE O
OD DE⊥
AD CAB∠
CAD DAB∠ = ∠
OD OA=
DAB ODA CAD∠ = ∠ = ∠
OD AE
AE DE⊥
AB O
90ACB∠ = °
OD AE
OD BC^
2BC CH= CEDH
3CH ED= =
6BC =
2AC =
2 10AB =
10AO =
21= 52S AOπ π=半圆21
【点睛】本题考查作图−复杂作图，切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
24．如图 1，已知⊙O 外一点 P 向⊙O 作切线 PA，点 A 为切点，连接 PO 并延长交⊙O 于点 B，连接 AO 并延
长交⊙O 于点 C，过点 C 作 ，分别交 PB 于点 E，交⊙O 于点 D，连接 AD．
（1）求证：△APO～△DCA；
（2）如图 2，当 时
①求 的度数；
②连接 AB，在⊙O 上是否存在点 Q 使得四边形 APQB 是菱形．若存在，请直接写出 的值；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）① ；②存在， .
【分析】（1）由切线性质和直径 AC 可得 ，由 可得 ，
即可得： ；
（2）①连接 OD，由 可得△OAD 是等边三角形，由此可得 ， ；
②作 交⊙O 于 Q，可证 ABQP 为菱形，求 可转化为求 ．
【详解】（1）∵PA 切⊙O 于点 A，AC 是⊙O 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）如图 2，连接 OD，
①∵ ， ，
CD PB⊥
AD AO=
P∠
PQ
CQ
30P∠ = ° 3PQ
CQ
=
PAO CDA 90∠ ∠= = ° PB AD POD CAD∠ ∠=
APO DCA∼
AD OA OD= = POA 60∠ = ° P 30∠ = °
BQ AC⊥ PQ
CQ
AB
BC
PAO CDA 90∠ ∠= = °
CD PB⊥
CEP 90∠ = °
CEP CDA∠ ∠=
PB AD
POA CAO∠ ∠=
APO DCA∼
AD AO= OD AO=22
∴△ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
②存在．如图 2，过点 B 作 交⊙O 于 Q，连接 PQ，BC，CQ，
由①得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 ABQP 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 ABQP 是菱形，
∴
∴ ，
OAD
OAD 60∠ = °
PB AD
POA OAD 60∠ ∠= = °
PAO 90∠ = °
P 90 POA 90 60 30∠ ∠= °− = °− ° = °
BQ AC⊥
POA 60∠ = ° PAO 90∠ = °
BOC POA 60∠ ∠= = °
OB OC=
ACB 60∠ = °
BQC BAC 30∠ ∠= = °
BQ AC⊥
CQ BC=
BC OB OA= =
( )CBQ OBA AAS ≌
BQ AB=
OBA OPA 30∠ ∠= = °
AB AP=
BQ AP=
PA AC⊥
BQ AP⁄⁄
AB AP=
PQ AB= ，
PQ AB tan ACB tan60 3CQ BC
∠= = = ° =23
【点睛】本题是有关圆的综合题，难度不大；主要考查了切线性质，圆周角与圆心角，等边三角形性质，
特殊角三角函数值，菱形性质等．
25．四边形 是 的圆内接四边形，线段 是 的直径，连结 ．点 是线段 上
的一点，连结 ，且 ， 的延长线与 的延长线相交与点 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，
①求证： 为等腰直角三角形；
②求 的长度．
【答案】（1）见解析;（2）①见解析;② .
【分析】（1）由圆周角的定理可得 ，可证 ，由一组对边平行且相
等的是四边形是平行四边形可证四边形 是平行四边形；
（2）①由平行线的性质可证 ，由 ，可证 为等腰直
角三角形；
②通过证明 ，可得 ，可得 ，通过证明 ，可得
，可得 ，可求 ，由等腰直角三角形的性质可求 的长度．
【详解】证明：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
ABCD O AB O AC BD、 H BD
AH CH、 ,ACH CBD AD CH∠ = ∠ = BA CD P
ADCH
, 5AC BC PB PD= = 2( 5 1)AB CD+ = +
DHC∆
CH
2CH =
DBC DAC ACH∠ = ∠ = ∠ AD CH∕∕
ADCH
90ADH CHD∠ = ∠ = ° 45CDB CAB∠ = ∠ = ° DHC∆
ADP CBP∆ ∆∽ AD PD
BC PB
= 1
5
CH
BC
= CHD ACB∆ ∆∽
1
5
CD CH
AB BC
= = 5AB CD= 2CD = CH
,DBC DAC ACH CBD∠ = ∠ ∠ = ∠
DAC ACH∠ = ∠
AD CH∕∕ AD CH=24
∴四边形 是平行四边形，
（2）①∵ 是直径，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ 为等腰直角三角形；
②∵四边形 是 的圆内接四边形，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 为等腰直角三角形，
∴ ，
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质
等知识，求 的长度是本题的关键．
26．如图，点 是 的内心， 的延长线与 的外接圆 交于点 ，与 交于点 ，延长 、
相交于点 ， 的平分线交 于点 .
ADCH
AB
90ACB ADB∠ = ° = ∠ AC BC=
45CAB ABC∠ = ∠ = °
45CDB CAB∠ = ∠ = °
AD CH∕∕
90ADH CHD∠ = ∠ = ° 45CDB∠ = °
45CDB DCH∠ = ∠ = °
CH DH= 90CHD∠ = °
DHC∆
ABCD O
ADP PBC∠ = ∠ P P∠ = ∠
ADP CBP∆ ∆∽
AD PD
BC PB
= 5PB PD=
1
5
AD
BC
= AD CH=
1
5
CH
BC
=
45 , 90CDB CAB CHD ACB∠ = ∠ = ° ∠ = ∠ = °
CHD ACB∆ ∆∽
1
5
CD CH
AB BC
= =
5AB CD=
2( 5 1)AB CD+ = +
5 2( 5 1)CD CD+ = +
2CD = DHC∆
2CH =
CD
I ABC∆ BI ABC∆ O D AC E CD
BA F ADF∠ AF G25
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3
【分析】(1)根据三角形内心的性质得 ，再利用圆内接四边形的性质得 ，则
，从而得到 ，则可判断 ；
(2)根据三角形内心的性质得 ，然后证明 得到 ；
(3)证明 ，利用相似比得到 ，则 ，然后计算 即可．
【详解】(1)∵点 是 的内心，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
(2)∵点 是 的内心，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ；
DG CA
AD ID=
4DE = 5BE = BI
2 7∠ = ∠ ADF ABC∠ = ∠
1 2∠ = ∠ 1 3∠ = ∠ DG AC
5 6∠ = ∠ 4 DAI∠ = ∠ DA DI=
DAE DBA∆ ∼ ∆ 6AD = 6DI = BD DI−
I ABC∆
2 7∠ = ∠
DG ADF∠
11 2 ADF∠ = ∠
ADF ABC∠ = ∠
1 2∠ = ∠
3 2∠ = ∠
1 3∠ = ∠
DG AC
I ABC∆
5 6∠ = ∠
4 7 5 3 6∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠
4 DAI∠ = ∠
DA DI=26
(3)∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理等知识，熟练掌握和灵活运用相
关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.
27．如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，将 沿 折叠，点 恰好落在对
角线 上的 点. 为 上一点， 经过点 ， .
(1)求证： 是 的切线；
(2)在边 上截取 ，点 是线段 的黄金分割点吗？请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)点 是线段 的黄金分割点.
【分析】(1)连接 ，由等腰三角形性质和折叠性质证 ，根据矩形性质证 ；
（2）根据矩形性质和勾股定理求 CE,CF,由 得出结论.
【详解】解：(1)证明：连接 ，
∵ ，
∴ .
由折叠可知 ，
∴ .
∴ .
∴ .
∵四边形 是矩形，
∴ .
∴ .即 .
∴ 是 的切线；
3 7∠ = ∠ ADE BDA∠ = ∠
DAE DBA∆ ∼ ∆
: :AD DB DE DA= :9 4:AD AD=
6AD =
6DI =
9 6 3BI BD DI= − = − =
ABCD 2CD = 4=AD P BC ABP∆ AP B
AC E O AC O A P
BC O
CB CF CE= F BC
F BC
OP AB OP 90OPC B∠ = ∠ = °
2 5 2 5 1
4 2
CF
BC
− −= =
OP
OA OP=
OAP OPA∠ = ∠
BAP OAP∠ = ∠
BAP OPA∠ = ∠
AB OP
OPC B∠ = ∠
ABCD
90B∠ = °
90OPC B∠ = ∠ = ° OP BC⊥
BC O27
(2)点 是线段 的黄金分割点.
∵四边形 是矩形，
∴ ， .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴点 是线段 的黄金分割点.
【点睛】考核知识点：矩形性质，切线判定.根据需要寻找条件是关键.
28．宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的
实物图，图②是其示意图，其中 、 都与地面 l 平行，车轮半径为 ， ，
，坐垫 与点 的距离 为 .
（1）求坐垫 到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫 到 的距离调整为人体腿长的 0.8 时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为 ，
现将坐垫 调整至坐骑舒适高度位置 ，求 的长．
（结果精确到 ，参考数据： ， ， ）
【答案】（1）99.5（2）3.9
【分析】（1）作 于点 ，由 可得答案；
（2）作 于点 ，先根据 求得 的长度，再根据 可得答
F BC
ABCD
2AB CD= = 4BC AD= =
2AE AB= =
2 2 2 24 2 2 5AC AD CD= + = + =
2 5 2CE AC AE= − = −
2 5 2CF CE= = −
2 5 2 5 1
4 2
CF
BC
− −= =
F BC
AB CD 32cm 64BCD∠ = °
60BC cm= E B BE 15cm
E
E CD 80cm
E 'E 'EE
0.1cm sin 64 0.90° ≈ cos64 0.44° ≈ tan 64 2.05° ≈
EM CD⊥ M sin 75sin 46EM EC BCM= ∠ = °
'E H CD⊥ H '' sin
E HE C ECD
= ∠ 'E C ' 'EE CE CE= −28
案
【详解】（1）如图 1，过点 E 作 于点 ，
由题意知 、 ，
∴ ，
则单车车座 到地面的高度为 ；
（2）如图 2 所示，过点 作 于点 ，
由题意知 ，
则 ，
∴ .
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．
29．（材料阅读）:地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图 中的 ）．人们在
北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图 所示的工具尺（古人称它为“复矩”），
尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观
测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角 的大小是变化的．
（实际应用）:观测点 在图 1 所示的 上，现在利用这个工具尺在点 处测得 为 ，在点 所在
子午线往北的另一个观测点 ，用同样的工具尺测得 为 ． 是 的直径， ．
EM CD⊥ M
64BCM∠ = ° 60 15 75EC BC BE cm= + = + =
( )sin 75sin 46 67.5EM EC BCM cm= ∠ = ° ≈
E ( )67.5 32 99.5 cm+ ≈
'E 'E H CD⊥ H
' 80 0.8 64E H = × =
' 64' 71.1sin sin 64
E HE C ECH
= = ≈∠ °
( )' ' 75 71.1 3.9EE CE CE cm= − = − =
1 O
2
α
A O A α 31° A
B α 67° PQ O PQ ON⊥29
（1）求 的度数；
（2）已知 km，求这两个观测点之间的距离即 上 的长．（ 取 ）
【答案】（1） ；（2） （km）．
【分析】（1）设点 B 的切线 CB 交 ON 延长线于点 E，HD⊥BC 于 D，CH⊥BH 交 BC 于点 C，则∠DHC=67°，证
出∠HBD=∠DHC=67°，由平行线的性质得出∠BEO=∠HBD=67°，由直角三角形的性质得出∠BOE=23°，得
出∠POB=90°-23°=67°；
（2）同（1）可证∠POA=31°，求出∠AOB=∠POB-∠POA=36°，由弧长公式即可得出结果．
【详解】（1）设点 的切线 交 延长线于点 ， 于 ， 交 于点 ，如图所
示：
则 ，
，
，
POB∠
6400OP = O AB π 3.1
67∠ = °POB 3968=AB
B CB ON E HD BC⊥ D CH BH⊥ CB C
67DHC∠ = °
90HBD BHD BHD DHC∠ + ∠ = ∠ + ∠ = °
67HBD DHC∴∠ = ∠ = °30
，
，
，
，
，
；
（2）同（1）可证 ，
，
（km）．
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式
是解题的关键．
30．如图， 是 上的 5 等分点，连接 ，得到一个五角星图
形和五边形 ．
（1）计算 的度数；
（2）连接 ，证明： ；
（3）求证： ．
【答案】(1)36°;(2)见解析;(3)见解析.
【分析】（1）由题意可得∠COD=70°，由圆周角的定理可得∠CAD=36°；
（2）由圆周角的定理可得∠CAD=∠DAE=∠AEB=36°，可求∠AME=∠CAE=72°，可得 AE=ME；
（3）通过证明△AEN∽△BEA，可得 ，可得 ME2=BE•NE，通过证明 BM=NE，即可得结论．
【详解】（1）∵ 是 上的 5 等分点，
∴ 的度数
∴
∵
∴
ON BH ∥
67BEO HBD∴∠ = ∠ = °
90 67 23BOE∴∠ = °− ° = °
PQ ON⊥
90POE∠ = °
90 23 67POB∴∠ = °− ° = °
31POA∠ = °
67 31 36AOB POB POA∴∠ = ∠ − ∠ = °− ° = °
36 6400 3968180AB
π× ×∴ = =
A B C D E、 、 、 、 O AC CE EB BD DA、 、 、 、
MNFGH
CAD∠
AE AE ME=
2ME BM BE= ⋅
AE NE
BE AE
=
A B C D E、 、 、 、 O
CD
360 725
°= = °
70COD∠ = °
2COD CAD∠ = ∠
36CAD∠ = °31
（2）连接
∵ 是 上的 5 等分点，
∴
∴
∴ ，且
∴
∴
∴
（3）连接
∵
∴ ，且
∴
∴
∴ ，且
∴
∵
∴
∴
∴ ，且
∴
AE
A B C D E、 、 、 、 O
AB DE AE CD BC= = = =
36CAD DAE AEB∠ = ∠ = ∠ = °
72CAE∠ = ° 36AEB∠ = °
72AME∠ = °
AME CAE∠ = ∠
AE ME=
AB
AB DE AE CD BC= = = =
ABE DAE∠ = ∠ AEB AEB∠ = ∠
AEN BEA∆ ∆∽
AE NE
BE AE
=
2AE BE NE= ⋅ AE ME=
2ME BE NE= ⋅
AB DE AE CD BC= = = =
, 36AE AB CAB CAD DAE BEA ABE= ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = °
72BAD BNA∠ = ∠ = °
BA BN= AE ME=
BN ME=32
∴
∴
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明△AEN∽△BEA 是本题
的关键．
BM NE=
2ME BE NE BM BE= ⋅ = ⋅
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