1
题型 01 操作类试题
一、单选题
1．如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点 ，
再分别以点 为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交边 于点
，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本作图得到 AG 平分∠BAC，利用角平分线的性质得到 G 点到 AC 的距离为 1，然后根据三角
形面积公式计算△ACG 的面积．
【详解】解：由作法得 平分 ，
点到 的距离等于 的长，即 点到 的距离为 ，
所以 的面积 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；
作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性
质．
2．如图，在 中，将 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处．若 ，
，则 的周长为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到 ， ， ，再根据 是等
Rt ABC∆ 90B = ∠ A AB AC、 ,D E
D E、 1
2 DE F AF BC
1, 4BG AC= = ACG∆
1 3
2 2 5
2
AG BAC∠
G∴ AC BG G AC 1
ACG∆ 1 4 1 22
= × × =
ABCD ADC∆ =60B °∠
=3AB ADE∆
=2BC =6AB =6AD ADE∆2
边三角形，即可得到 的周长为 ．
【详解】由折叠可得， ，
，
又 ，
，
，
，
由折叠可得， ，
，
是等边三角形，
的周长为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种
对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3．如图，将 绕点 顺时针旋转得到 ，使点 的对应点 恰好落在边 上，点 的对应点
为 ，连接 ．下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用旋转的性质得 AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项 A、C 不一定正确
再根据等腰三角形的性质即可得出 ，所以选项 D 正确；再根据∠EBC
=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC= -∠ACB 判断选项 B 不一定正确即可．
【详解】解：∵ 绕点 顺时针旋转得到 ，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA= ；∠EBC=∠BEC= ,
∴选项 A、C 不一定正确
∴∠A =∠EBC
∴选项 D 正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC= -∠ACB 不一定等于 ，
ADE∆ 6 3 18× =
90ACD ACE °∠ = ∠ =
90BAC °∴∠ =
60B °∠ =
30ACB °∴∠ =
2 6BC AB∴ = =
6AD∴ =
60E D B °∠ = ∠ = ∠ =
60DAE °∴∠ =
ADE∴∆
ADE∴∆ 6 3 18× =
ABC∆ C DEC∆ A D AB B
E BE
AC AD= AB EB⊥ BC DE= A EBC∠ = ∠
A EBC∠ = ∠
0180
ABC∆ C DEC∆
180 ACD
2
∠°− 180 BCE
2
∠°−
0180 0903
∴选项 B 不一定正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
4．如图，菱形 的对角线 ， 交于点 ， ，将 沿点 到点 的方向
平移，得到 ，当点 与点 重合时，点 与点 之间的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由菱形性质得到 AO，BO 长度，然后在 利用勾股定理解出 即可
【详解】由菱形的性质得
为直角三角形
故选 C
【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理以及菱形的性质，本题关键在于利用菱形性质求出直角三角形
的两条边
5．4 张长为 a、宽为 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为 的正方形，图中空白部
分的面积为 ，阴影部分的面积为 ．若 ，则 a、b 满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用 a、b 的代数式分别表示 ， ，再根据 ，得
，整理，得 ，所以 ．
ABCD AC BD O 4 16AC BD= =， ABO A C
A B C′ ′ ′ A′ C A B′
6 8 10 12
Rt AO B′ ′ AB′
2 8AO OC CO BO OD B O′ ′ ′= = = = = =，
90AOB AO B′ ′∠ = ∠ =
AO B′ ′∴
2 2 2 26 8 10AB AO B O′ ′ ′ ′∴ = + = + =
( )b a b> ( )a b+
1S 2S 1 22S S=
2 5a b= 2 3a b= 3a b= 2a b=
2 2
1 2S a b= + 2
2 2S ab b= − 1 22S S=
2 2 22 2(2 )a b ab b+ = − 2( 2 ) 0a b− = 2a b=4
【详解】解： ，
，
∵ ，
∴ ，
整理，得 ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
6．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中
是折痕．若正方形 与五边形 的面积相等，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 HF，设直线 MH 与 AD 边的交点为 P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得 PH＝MF 且正方形 EFGH
的面积＝ ×正方形 ABCD 的面积，从而用 a 分别表示出线段 GF 和线段 MF 的长即可求解．
【详解】连接 HF，设直线 MH 与 AD 边的交点为 P，如图：
由折叠可知点 P、H、F、M 四点共线，且 PH＝MF，
设正方形 ABCD 的边长为 2a，
则正方形 ABCD 的面积为 4a2，
∵若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 的面积相等
2 2 2
1
1 1( ) 2 2 ( ) 22 2S b a b ab a b a b= + × + × + − = +
2 2 2 2 2
2 1( ) ( ) ( 2 ) 2S a b S a b a b ab b= + − = + − + = −
1 22S S=
2 2 22 2(2 )a b ab b+ = −
2( 2 ) 0a b− =
2 0a b− =
2a b=
,FM GN EFGH MCNGF FM
GF
5 2
2
−
2 1− 1
2
2
2
1
55
∴由折叠可知正方形 EFGH 的面积＝ ×正方形 ABCD 的面积＝ ，
∴正方形 EFGH 的边长 GF＝ ，
∴HF＝ GF＝ ，
∴MF＝PH＝ ，
∴ .
故选 A．
【点睛】本题考查了剪纸问题、正方形的性质以及折叠的性质，根据剪纸的过程得到图形中边的关系是解
决问题关键．
7．如图，矩形 与菱形 的对角线均交于点 ，且 ，将矩形折叠，使点 与点 重
合，折痕 过点 ．若 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长 交 于 点，连接 、 ；由四边形 是菱形， ，得
， ， ， ，根据根据折叠性质，
再证四边形 为菱形，得 是梯形 的中位线，根据中位线性质求解.
【详解】延长 交 于 点，连接 、 ；如图所示：
则 ， 为直角三角形，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ， ，
1
5
24
5 a
24 2 5
5 5a a=
2 2 10
5 a
2 102 5 105
2 5
a a
a
− −=
5 10 2 5 5 2
5 5 2
FM aGF a
− −= ÷ =
ABCD EFGH O / /EG BC C O
MN G AB 6= 2EF = 120H∠ = DN
6 3− 6 3
2
+ 3
2 2 3 6−
EG DC P GC FH EFGH 120EHG∠ =
2GH EF= = 60OHG °∠ = EG FH⊥ 3sin 60 2 32OG GH °= ⋅ = × =
OGCM PG MCDN
EG DC P GC FH
1 6
2 2CP DP CD= = = GCP∆
EFGH 120EHG∠ =
2GH EF= = 60OHG °∠ = EG FH⊥6
∴ ，
由折叠的性质得： ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
根据题意得： 是梯形 的中位线，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
【点睛】考核知识点：矩形折叠，菱形判定和性质，三角函数.理解折叠的性质是关键.
8．如图，直线 是矩形 的对称轴，点 在 边上，将 沿 折叠，点 恰好落在线段
与 的交点 处， ，则线段 的长是（ ）
A．8 B． C． D．10
【答案】A
【分析】根据正方形的性质及折叠的特点得到 ， ，再根据含 30°的直角三
3sin 60 2 32OG GH °= ⋅ = × =
3CG OG= = OM CM= MOG MCG∠ = ∠
2 2 6
2PG CG CP= − =
/ /OG CM
180MOG OMC °∠ + ∠ =
180MCG OMC °∠ + ∠ =
/ /OM CG
OGCM
OM CM=
OGCM
3CM OG= =
PG MCDN
2 6DN CM PG+ = =
6 3DN = −
EF ABCD P CD BCP∆ BP C AP
EF Q 4 3BC= AB
8 2 8 3
ABQ BQF∠ = ∠ 30ABQ °∠ =7
角形的性质即可求解.
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
由题意得： ， ，
∴ ，
由折叠的性质得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ， ；
故选：A．
【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质与特点.
9．如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置．已知 的面积为 16，阴影部分三
角形的面积 9．若 ，则 等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】由 S△ABC＝16、S△A′EF＝9 且 AD 为 BC 边的中线知 ，
，根据△DA′E∽△DAB 知 ，据此求解可得．
【详解】 、 ，且 为 边的中线，
， ，
将 沿 边上的中线 平移得到 ，
ABCD
90C = ∠
1
2BF BC= / /EF AB
ABQ BQF∠ = ∠
90BQP C °∠ = ∠ = BQ BC=
90AQB °∠ = 1
2BF BQ=
30BQF °∠ =
30ABQ °∠ =
Rt ABQ∆ 2AB AQ= 3 4 3BQ AQ= =
4AQ = 8AB =
ABC∆ BC AD A B C′ ′ ′∆ ABC∆
1AA′ = A D′
3
2
1 9
2 2A DE A EFS S ′∆′∆ = =
1 82ABD ABCS S∆ ∆= =
2
A DE
ABD
SA D
AD S
∆
∆
′ =′
16ABCS∆ = 9A EFS∆ ′ = AD BC
1 9
2 2A DE A EFS S∆ ∆′ ′∴ = = 1 82ABD ABCS S∆ ∆= =
ABC∆ BC AD A B C′ ′ ′∆8
，
，
则 ，即 ，
解得 或 （舍），
故选： ．
【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的
性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
10．如图，在△ABC 中，D 是 AC 边上的中点，连结 BD，把△BDC′沿 BD 翻折，得到△ ，DC 与 AB 交
于点 E，连结 ，若 AD=AC′=2，BD=3 则点 D 到 BC 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 CC′，交 BD 于点 M，过点 D 作 DH⊥BC 于点 H，由翻折知，△BDC≌△BDC’，BD 垂直平分 CC，
证△ADC 为等边三角形，利用解直角三角形求出 DM=1，CM= = ，BM=2，在 Rt△BMC'中，利用勾股
定理求出 BC′的长，在△BDC 中利用面积法求出 DH 的长.
【详解】
解：如图，连接 CC′，交 BD 于点 M，过点 D 作 DH⊥BC′于点 H，
∵AD=AC'=2，D 是 AC 边上的中点，
∴DC=AD=2，
由翻折知，△BDC≌△BDC′，BD 垂直平分 CC′，
/ /A E AB∴ ′
DA E DAB′∴∆ ∼ ∆
2
A DE
ABD
SA D
AD S
∆
∆
′ =′
2
2
99
1 8 16
A D
A D
= =
′
+ ′
3A D′ = 3
7A D′ = −
B
'BDC
'AC
3 3
2
3 21
7
7 13
3DM 39
∴DC=DC′=2，BC=BC′，CM=C′M，
∴AD=AC'=DC′=2，
∴△ADC′为等边三角形，
∴∠ADC=∠AC′D=∠C′AC=60°，
∵DC=DC′，
∴∠DCC′=∠DC′C= ×60°=30°，
在 Rt△CDM 中，∠DC′C=30°，DC′=2，
∴DM=1，C′M= DM= ，
·.BM=BD-DM=3-1=2，
在 Rt△BMC 中，BC′=
∴.BM=BD-DM=3-1=2,
在 Rt△C'DM 中，
∴
∴
故选 B.
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度.
二、填空题
11．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC 的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）
【答案】1.9
【分析】过点 C 作 CD⊥AB 的延长线于点 D，测量出 AB，CD 的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC
的面积．
【详解】解：过点 C 作 CD⊥AB 的延长线于点 D，如图所示．
1
2
3 3
2 2 2 22 ( 3) 7BM C M′+ = + =
1 1
2 2BDCS BC DH BD CM′ ′
∆ = ⋅ = ⋅
7 3 3DH∴ = ×
2 2 2 22 ( 3) 7BC BM C M′ ′= + = + =
1 1
2 2BDCS BC DH BD CM′
∆ = ′⋅ = ⋅
7 3 3DH = ×
3 21
7DH =10
经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
（cm2）．
故答案为：1.9．
【点睛】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
12．如图，把某矩形纸片 ABCD 沿 EF、GH 折叠（点 E、H 在 AD 边上，点 F、G 在 BC 边上），使得点 B、点 C
落在 AD 边上同一点 P 处，A 点的对称点为 点，D 点的对称点为 点，若 ， 的面积为
4， 的面积为 1，则矩形 ABCD 的面积等于_____.
【答案】 .
【分析】根据相似三角形的判断得到△A'EP～△D'PH，由三角形的面积公式得到 S△A'EP，再由折叠的性质和
勾股定理即可得到答案.
【详解】∵A'E∥PF
∴∠A'EP=∠D'PH
又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90°
∴∠A'=∠D'
∴△A'EP～△D'PH
又∵AB=CD，AB=A'P，CD=D'P
∴A'P= D'P
设 A'P=D'P=x
∵S△A'EP：S△D'PH=4：1
∴A'E=2D'P=2x
∴S△A'EP=
∵
∴
1 1 2.2 1.7 1.92 2∆∴ = ⋅ = × × ≈ABCS AB CD
A′ D¢ 90FPGÐ = ° A EP¢△
D PH¢△
6 5+10
21 1 2 42 2A E A P x x x′ ′× × = × × = =
0x >
2x =11
∴A'P=D'P=2
∴A'E=2D'P=4
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质.
13．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图 1 所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图 2 所示
的正五边形 ．图中， ____度．
【答案】36
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】 ， 是等腰三角形，
度．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． 解题关键在于知道n 边形的内角和为：
180°（n﹣2）．
14．如图，有一张矩形纸片 ， ．先将矩形纸片 折叠，使边 落在边
上，点 落在点 处，折痕为 ；再将 沿 翻折， 与 相交于点 ，则 的周长
为_____．
【答案】
2 2 2 24 2 2 5EP A E A P′ ′= + = + =
1= 52PH EP =
1 12DH D H A P′ ′= = =
4 2 5 5 1 5 3 5AD AE EP PH DH= + + + = + + + = +
2AB A P′= =
2 (3 5 5) 6 5 10ABCDS AB AD= × = × + = +矩形
ABCDE BAC∠ =
(5 2) 180 1085ABC
− × °∠ = = ° ABC∆
36BAC BCA∴∠ = ∠ =
ABCD 8, 6AB AD= = ABCD AD AB
D E AF AEF∆ EF AF BC G GCF∆
4 2 2+12
【分析】根据折叠的性质得到 ，根据矩形的性质得到 ，根据勾股定理
求出 ，根据周长公式计算即可．
【详解】解：由折叠的性质可知， ，
∴ ，
∴ ，
由题意得，四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
则 的周长 ，
故答案为：
【点睛】考核知识点：矩形的折叠问题.运用矩形性质分析问题是关键.
15．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点 D 为△ABC 内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接 BD，
将△ABD 绕点 A 逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点 E，连接 DE，DE 交 AC 于点 F，则 CF 的长
为________cm.
【答案】
【分析】过点 A 作 AH⊥DE，垂足为 H，由旋转的性质可得 AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，
再根据等腰直角三角形的性质可得∠HAE=45°，AH=3 ，进而得∠HAF=30°，继而求出 AF 长即可求得答
案.
【详解】过点 A 作 AH⊥DE，垂足为 H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD 绕点 A 逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点 E，
∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，
∴DE= ，∠HAE= ∠DAE=45°，
∴AH= DE=3 ，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°，
045DAF BAF∠ = ∠ = 2FC ED= =
GF
045DAF BAF∠ = ∠ =
6AE AD= =
2EB AB AE= − =
EFCB
2FC ED= =
/ / FCAB
045GFC A∠ = ∠ =
2GC FC= =
2 2 2 2GF FC GC= + =
GCF∆ 4 2 2GC FC GF= + + = +
4 2 2+
10 2 6−
2
2 2 6 2AD AE+ = 1
2
1
2 213
∴AF= ，
∴CF=AC-AF= ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确添加辅
助线构建直角三角形、灵活运用相关知识是解题的关键.
16．如图在正方形 中， ，将 沿 翻折，使点 对应点刚好落在对角线 上，将
沿 翻折，使点 对应点落在对角线 上，求 ______.
【答案】
【分析】作 于点 ，构造直角三角形，运用勾股定理求解即可.
【详解】作 于点 ，
由折叠可知： ， ，
∴正方形边长
∴ .
故答案为： .
【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问
3 2 2 6cos 3
2
AH
HAF
= =∠
10 2 6−
10 2 6−
ABCD 1BE = BC CE B AC AD
AF D AC EF =
6
FM AB⊥ M
FM AB⊥ M
1EX EB AX= = = 2AE = 1AM DF YF= = =
2 1, 2 1AB FM EM= = + = −
2 2 2 2( 2 1) ( 2 1) 6EF EM FM= + = − + + =
614
题，学会利用参数构建方程解决问题，
17．如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 于点
，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点
．若 ，则 _____．
【答案】 ．
【分析】利用基本作图得 BD 平分 ，再计算出 ，所以 ，利用
得到 ，然后根据三角形面积公式可得到 的值．
【详解】解：由作法得 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ .
故答案为 ．
【点睛】本题考查了作图 基本作图：熟练掌握基本作图 作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；
作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线 ．
18．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”. 由边长为 的正方形 可以制作一
副如图 1 所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形 内拼成如图 2 所示的“拼搏兔”造型(其中点
分别与图 2 中的点 重合，点 在边 上)，则“拼搏兔”所在正方形 的边长是_____.
Rt ABC∆ 090C∠ = B ,AB BC
,M N ,M N 1
2 MN P BP AC
D 30A∠ = BCD
ABD
S
S
∆
∆
=
1
2
ABC∠ 30ABD CBD∠ = ∠ = DA DB=
2BD CD= 2AD CD= BCD
ABD
S
S
BD ABC∠
90C = ∠ 30A∠ =
60ABC °∠ =
30ABD CBD °∠ = ∠ =
DA DB=
Rt BCD∆ 2BD CD=
2AD CD=
1
2
BCD
ABD
S
S
∆
∆
=
1
2
- (
)
4 2 ABCD
EFGH Q R、
E G、 P EH EFGH15
【答案】
【分析】如图 3 中，连接 CE 交 MN 于 O，先利用相似求出 OM、ON 的长，再利用勾股定理解决问题即可．
【详解】如图 3， 连结 交 于 .
观察图 1、图 2 可知， ， .
图 3
∴ ，
∴ ，
∴ .
在 中， ，同理可求得 ，
∴ ，即“拼搏兔”所在正方形 的边长是 .
故答案为：4
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19．如图，过点 C(3,4)的直线 交 轴于点 A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线 过点 B，
将点 A 沿 轴正方向平移 个单位长度恰好落在该曲线上，则 的值为________．
4 5
CE MN O
4, 8EN MN CM= = = 90ENM CMN∠ = ∠ = °
EON COM∆ ∆∽
1
2
EN ON
CN OM
= =
1 4 2 8,3 3 3 3ON MN OM MN= = = =
Rt ENO∆ 2 2 4 10
3OE ON EN= + = 8 10
3OG =
2 ( ) 22GF OE OG= + = EFGH 4 5
5
2y x b= + x 0ky xx
= >（ ）
y a a16
【答案】4
【分析】分别过点 B、点 C 作 轴和 轴的平行线，两条平行线相交于点 M，与 轴的交点为 N．将 C(3,4)
代入 可得 b=-2，然后求得 A 点坐标为(1,0)，证明△ABN≌△BCM，可得 AN=BM=3，CM=BN=1，可求
出 B(4,1)，即可求出 k=4，由 A 点向上平移后落在 上，即可求得 a 的值.
【详解】分别过点 B、点 C 作 轴和 轴的平行线，两条平行线相交于点 M，与 轴的交点为 N，则∠M=∠
ANB=90°，
把 C(3,4)代入 ，得 4=6+b，解得：b=-2，
所以 y=2x-2，
令 y=0，则 0=2x-2，解得：x=1，
所以 A(1，0)，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBM+∠ABN=90°，
∵∠ANB=90°，
∴∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠CBM=∠BAN，
又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC，
∴△ABN≌△BCM，
∴AN=BM，BN=CM，
∵C(3，4)，∴设 AN=m，CM=n，
则有 ，解得 ，
∴ON=3+1=4，BN=1，
∴B(4，1)，
∵曲线 过点 B，
∴k=4，
∴ ，
y x x
2y x b= +
4y x
=
y x x
2y x b= +
4
1 3
m n
m n
+ =
+ − =
3
1
m
n
=
=
0ky xx
= >（ ）
4y x
=17
∵将点 A 沿 轴正方向平移 个单位长度恰好落在该曲线上，此时点 A 移动后对应点的坐标为(1，a)，
∴a=4，
故答案为：4.
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，点的
平移等知识，正确添加辅助线，利用数形结合思想灵活运用相关知识是解题的关键.
20．如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中， 的顶点 A 在格点上，B 是小正方形边的中点，
， ，经过点 A，B 的圆的圆心在边 AC 上．
（Ⅰ）线段 AB 的长等于_______________；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点 P，使其满足 ，
并简要说明点 P 的位置是如何找到的（不要求证明）_____．
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）如图，取圆与网格线的交点 ，连接 与 相交，得圆心 ；
与网格线相交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，与点 的连线 相交于
点 ，连接 ，则点 满足 ．
y a
ΔABC
ABC 50∠ °= BAC 30∠ °=
PAC PBC PCB∠ ∠ ∠= =
17
2
E F， EF AC O AB
D DO O Q QC B O， BO
P AP P PAC PBC PCB∠ = ∠ = ∠18
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可求出 AB 的长
（Ⅱ）先确定圆心，根据∠EAF= 取格点 E、F 并连接可得 EF 为直径，与 AC 相交即可确定圆心的位置，
先在 BO 上取点 P,设点 P 满足条件，再根据点 D 为 AB 的中点，根据垂径定理得出 OD AB，再结合已知条件
， 得出 ，设 PC 和 DO 的延长线相交于点 Q，根
据 ASA 可得 ,可得 OA=OQ，从而确定点 Q 在圆上，所以连接 并延长，交 于点 ，连
接 并延长，与点 的连线 相交于点 ，连接 即可找到点 P
【详解】（Ⅰ）解：
故答案为：
（Ⅱ）取圆与网格线的交点 ，连接 ，与 相交于点 O，
∵∠EAF= ，∴EF 为直径,
∵圆心在边 AC 上∴点 O 即为圆心
∵ 与网格线的交点 D 是 AB 中点，连接 OD 则 OD AB，
连接 OB，∵ ,OA=OB
∴∠OAB=∠OBA= ，∠DOA=∠DOB= ，
在 BO 上取点 P ，并设点 P 满足条件，∵
∵ ，
∴∠APO=∠CPO= ，
设 PC 和 DO 的延长线相交于点 Q，则∠DOA=∠DOB=∠POC=∠QOC=
∴∠AOP=∠QOP= ，
∵OP=OP, ∴ ∴OA=OQ,
∴点 Q 在圆上，∴连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，与点 的连线 相交于点 ，
连接 ,则点 P 即为所求
090
⊥
ABC 50∠ °= BAC 30∠ °= 20PAC PBC PCB∠ = ∠ = ∠ =
OPQ OPA≅ DO O Q
QC B O， BO P AP
2 21( )2
17
22AB += =
17
2
E F， EF AC
090
AB ⊥
BAC 30∠ °=
030 060
ABC 50∠ °=
20PAC PBC PCB∠ = ∠ = ∠ =
040
060
0120
OPQ OPA∆ ≅ ∆
DO O Q QC B O， BO P
AP19
【点睛】本题主要考查了应用与设计作图、勾股定理、垂径定理、三角形的全等的性质与判定、等腰三角
形的性质等知识，是一道综合性较强的题目，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结
合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
三、解答题
21．按要求解答下列各题：
（1）如图①，求作一点 ，使点 到 的两边的距离相等，且在 的边 上．（用直尺和圆
规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）如图②， 表示两个港口，港口 在港口 的正东方向上．海上有一小岛 在港口 的北偏东
方向上，且在港口 的北偏西 方向上．测得 海里，求小岛 与港口 之间的距离．（结果可
保留根号）
【答案】（1）见解析；（2） .
【分析】(1)作出∠ABC 的平分线(以点 B 为圆心，以任意长为半径画弧，与 AB、BC 各交一点，然后分别以
这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧在三角形内部交于一点，过点 B 及这个点
作射线)交 AC 于点 P 即可；
(2)过点 作 于点 ，由题意得 ， ，在 中，求出 AD 的长，
继而在 中，求出 AC 长即可.
【详解】(1)如图所示：
P P ABC∠ ABC△ AC
B C、 C B A B 60°
C 45° 40AB＝ A C
20 2
A AD BC⊥ D 30ABC∠ = 45ACD∠ = Rt ADB
Rt ADC20
作出的平分线
标出点 .
(2)过点 作 于点 ，
由题意得 ， ，
在 中，
，
，
在 中，
，
(海里)，
答：小岛与港口之间的距离是 海里.
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，解直角三角形的应用，正确掌握作角平分线的方法是解(1)
的关键，添加辅助线构建直角三角形是解(2)的关键.
22．图①，图②均为 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段 ，在图②
中已画出线段 ，其中 均为格点，按下列要求画图：
⑴在图①中，以 为对角线画一个菱形 ，且 为格点；
⑵在图②中，以 为对角线画一个对边不相等的四边形 ，且 为格点，
.
ABC∠
P
A AD BC⊥ D
30ABC∠ = 45ACD∠ =
Rt ADB
40AB =
sin30 20AD AB∴ = =
Rt ADC
sin ADACD AC
∠ =
20 2sin 45
ADAC∴ = =
20 2
4 4× AB
CD A B C D、 、 、
AB AEBF ,E F
CD CGDH ,G H
090CGD CHD∠ = ∠ =21
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，菱形 AEBF 即为所求．
（2）如图，四边形 CGDH 即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，在 的方格中， 的顶点均在格点上，试按要求画出线段 EF（E,F 均为格点），各画出
一条即可．
【答案】见解析.
【分析】图 1，根据格点的特征，利用全等三角形画出图形即可；图 2：根据格点的特征，利用全等三角形
及两锐角互余的三角形为直角三角形画出图形即可；图 3：根据格点的特征，结合线段垂直平分线的判定定
理画出图形即可.
【详解】如图所示：
7 6× ABC△22
【点睛】本题考查了格点三角形中的作图，正确利用格点的特征是解决问题的关键．
24．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
（1）如图 1，A 为圆 E 上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线
相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）
作图：
①如图 2，在□ABCD 中，E 为 CD 的中点，作 BC 的中点 F;
②图 3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC 的高 AH
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.
【分析】(1)作直径 AC，分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的一半长为半径画弧，在 AC 的两侧分别交于点 M、
N，作直线 MN 交圆于点 B，D，四边形 ABCD 即为所求；
(2)①连接 AC、BD 交于点 O，则 O 为 BD 的中点，连接 BE 交 CO 于点 G，连接 DG 并延长交 BC 于点 F，则 F 即
为所求；
②如图，利用网格特点连接 BM，则可得直线 BM⊥AC，连接 CN，则可得直线 CN⊥AB，两线交于点 E，连接 AE
并延长交 BC 于点 H，则 AH 即为所求.
【详解】(1)如图所示，四边形 ABCD 即为所求；
(2)①如图所示，点 F 即为所求；23
②如图所示，AH 即为所求.
【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是
解题的关键.
25．如图，将平行四边形纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为
．求证：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】(1)依据平行四边形的性质，即可得到 ，由折叠可得， ，即可得到
；
(2)依据平行四边形的性质，即可得出 ， ，由折叠可得， ， ，即
可得到 ， ，进而得出 ．
【详解】(1) 四边形 是平行四边形，
，
由折叠可得， ，
，
ABCD A C D G
EF
ECB FCG∠ = ∠
EBC FGC∆ ≅ ∆
A BCD∠ = ∠ A ECG∠ = ∠
ECB FCG∠ = ∠
D B∠ = ∠ AD BC= D G∠ = ∠ AD CG=
B G∠ = ∠ BC CG= EBC FGC∆ ≅ ∆
ABCD
A BCD∴ = ∠
A ECG∠ = ∠
BCD ECG∴∠ = ∠24
，
；
(2) 四边形 是平行四边形，
， ，
由折叠可得， ， ，
， ，
又 ，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以
及折叠的性质是解题的关键.
26．图①、图②、图③均是 6×6 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为 1，点
均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求
画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段 为边画一个 ，使其面积为 6．
（2）在图②中以线段 为边画一个 ，使其面积为 6．
（3）在图③中以线段 为边画一个四边形 ，使其面积为 9，且 ．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；
（2）直接利用三角形面积求法得出答案；
（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．
【详解】解：（1）如图①所示， 即为所求；
（2）如图②所示， 即为所求；
（3）如图③所示，四边形 即为所求；
BCD ECF ECG ECF∴∠ − ∠ = ∠ − ∠
ECB FCG∴∠ = ∠
ABCD
D B∴∠ = ∠ AD BC=
D G∠ = ∠ AD CG=
B G∴∠ = ∠ BC CG=
ECB FCG∠ = ∠
( )EBC FGC ASA∴∆ ≅ ∆
A B C D E F、 、 、 、 、
AB ABM∆
CD CDN∆
EF EFGH 090EFG∠ =
ABM∆
CDN∆
EFGH25
【点睛】考核知识点：作三角形和四边形.利用三角形面积公式求解是关键.
27．如图，矩形 中，点 在边 上，将 沿 折叠，点 落在 边上的点 处，过点
作 交 于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求四边形 的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据题意可得 ，因此可得 ，又 ，则可得四边形 是
平行四边形，再根据 可得四边形 是菱形.
（2）设 ，则 ，再根据勾股定理可得 x 的值，进而计算出四边形 的面积.
【详解】（1）证明：由题意可得，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵
∴四边形 是菱形；
（2）∵矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
ABCD E CD BCE BE C AD F F
FG CD BE G CG
CEFG
6, 10AB AD= = CEFG
20
3
BCE BFE ≌ FG EC= FG CE CEFG
,CE FE= CEFG
EF x= , 6CE x DE x= = − CEFG
BCE BFE∴ ≌
,BEC BEF FE CE∠ = ∠ =
FG CE
FGE CEB∠ = ∠
FGE FEG∠ = ∠
FG FE=
FG EC=
CEFG
,CE FE=
CEFG
ABCD 6, 10,AB AD BC BF= = =
90 , 10BAF AD BC BF∠ = ° = = =
8AF =
2DF =
EF x= , 6CE x DE x= = −
90FDE∠ = °
( )22 22 6 x x+ − =26
解得， ，
∴ ，
∴四边形 的面积是： ．
【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可.
28．综合与实践
动手操作：
第一步：如图 1，正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 所在直线折叠，展开铺平.在沿过点 C 的直线折叠，使点 B，
点 D 都落在对角线 AC 上.此时，点 B 与点 D 重合，记为点 N，且点 E，点 N，点 F 三点在同一直线上，折痕
分别为 CE，CF.如图 2.
第二步：再沿 AC 所在的直线折叠，△ACE 与△ACF 重合，得到图 3
第三步：在图 3 的基础上继续折叠，使点 C 与点 F 重合，如图 4，展开铺平，连接 EF，FG，GM，ME，如图
5，图中的虚线为折痕.
问题解决：
(1)在图 5 中，∠BEC 的度数是 ， 的值是 ；
(2)在图 5 中，请判断四边形 EMGF 的形状，并说明理由；
(3)在不增加字母的条件下，请你以图中 5 中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并
写出这个菱形： .
【答案】(1)67.5°； ；(2)四边形 EMGF 是矩形，理由见解析；(3)菱形 FGCH 或菱形 EMCH(一个即可).
【分析】(1)由正方形的性质可得∠B=90°，∠ACB=∠BAC=45°，根据折叠的性质可得∠BCE =22.5°，继而
可求得∠BEC=67.5°，在 Rt△AEN 中，由 sin∠EAN= 可得 AE= EN，即可求得 ；
(2)四边形 EMGF 是矩形，理由如下：由折叠的性质可得∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM=CG，∠BEC=∠NEC=∠
NFC=∠DFC=67.5°，MC=ME，GC=GF，∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，继而可得∠MEF=∠GFE=90°，再
根据等腰直角三角形的性质可得 ∠CMG=45°，由三角形外角的性质得∠BME=∠1+∠5=45°，根据平角的定
10
3x =
10
3CE =
CEFG 10 2023 3CE DF⋅ = × =
AE
BE
2
EN
AE 2 2AE AE
BE EN
= =27
义求得∠EMG=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得到四边形 EMGF 是矩形；
(3) 如图所示，四边形 EMCH 是菱形，理由如下：先证明四边形 EMCH 是平行四边形，再根据有一组邻边相
等的平行四边形是菱形即可证明平行四边形 EMCH 是菱形.(同理四边形 FGCH 也是菱形).
【详解】(1)∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B=90°，∠ACB= ∠BCD=45°，∠BAC= ∠BAD=45°，
∵折叠，
∴∠BCE= ∠BCE=22.5°，BE=EN，∠ENC=∠B=90°，
∴∠BEC=90°-22.5°=67.5°，∠ANE=90°，
在 Rt△AEN 中，sin∠EAN= ，
∴ ，
∴AE= EN，
∴ ，
故答案为：67.5°， ；
(2)四边形 EMGF 是矩形，理由如下：
∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°，
由折叠可知：∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM=CG，
∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，
由折叠可知：MH、GH 分别垂直平分 EC，FC，
∴MC=ME，GC=GF，
∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，
∴∠MEF=∠GFE=90°，
∵∠MCG=90°，CM=CG，
∴∠CMG=45°，
又∵∠BME=∠1+∠5=45°，
∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°，
∴四边形 EMGF 是矩形；
1
2
1
2
1
2
EN
AE
2
2
EN
AE
=
2
2AE AE
BE EN
= =
228
(3) 如图所示，四边形 EMCH 是菱形，理由如下：
由(2)∠BME=45°=∠BCA，
∴EM//AC，
∵折叠，
∴CM=CH，EM=CM，
∴EM=CH，
∴EM CH，
∴四边形 EMCH 是平行四边形，
又 CM=EM，
∴平行四边形 EMCH 是菱形.
(同理四边形 FGCH 是菱形，如图所示
).
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定，菱形的判定，解直角三角形等，正确把握
相关知识是解题的关键.
29．（1）如图 1，菱形 的顶点 、 在菱形 的边上，且 ，请直接写出
的结果（不必写计算过程）
（2）将图 1 中的菱形 绕点 旋转一定角度，如图 2，求 ；
（3）把图 2 中的菱形都换成矩形，如图 3，且 ，此时 的结果与
/ /
AEGH E H ABCD 60BAD∠ = °
: :HD GC EB
AEGH A : :HD GC EB
: : 1: 2AD AB AH AE= = : :HD GC EB29
（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请
说明理由．
【答案】（1） ；（2） （3）有变化，
【分析】（1）连接 ，由菱形 的顶点 、 在菱形 的边上，且 ，易得 ，
， 共线，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，交 于点 ，则
也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；
（2）连接 ， ，由 和 都是等腰三角形，易证与 与
，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；
（3）连接 ， ，易证 和 ，利用相似三角形的性质可得结论．
【详解】（1）连接 ，
∵菱形 的顶点 、 在菱形 的边上，且 ，
， ， ，
， ， 共线， ，
，
延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，交 于点 ，则 也为菱形，
， ，
，
∵ ，
，
∵ 为平行四边形，
，
．
1: 3 :1 1: 3 :1 1: 5 : 2
AG AEGH E H ABCD 60BAD∠ = ° A
G C HG BC M EG DC N MN GC O GMCN
AG AC ADC∆ AHG∆ DAH CAG∆ ∆
DAH BAE∆ ≅ ∆
AG AC ADC AHG∆ ∆ ADH ABE∆ ∆
AG
AEGH E H ABCD 60BAD∠ = °
30GAE CAB∴∠ = ∠ = ° AE AH= AB AD=
A∴ G C AB AE AD AH− = −
HD EB∴ =
HG BC M EG DC N MN GC O GMCN
GC MN∴ ⊥ 30NGO AGE∠ = ∠ = °
3cos30 2
OG
GN
∴ = ° =
2GC OG=
1
3
GN
GC
∴ =
HGND
HD GN∴ =
: : 1: 3 :1HD GC EB∴ =30
（2）如图，连接 ， ，
∵ 和 都是等腰三角形，
， ，
，
，
，
∵ ，
，
在 和 中，
，
．
（3）有变化．
如图，连接 ， ，
∵ ， ，
，
，
，
，
，
，
AG AC
ADC∆ AHG∆
: : 1: 3AD AC AH AG∴ = = 30DAC HAG∠ = ∠ = °
DAH CAG∴∠ = ∠
DAH CAG∴∆ ∆
: : 1: 3HD GC AD AC∴ = =
60DAB HAE∠ = ∠ = °
DAH BAE∴∠ = ∠
DAH∆ BAE∆
AD AB
DAH BAE
AH AE
=
∠ = ∠
=
( )DAH BAE SAS∴∆ ≅ ∆
HD EB∴ =
: : 1: 3 :1HD GC EB∴ =
AG AC
: : 1: 2AD AB AH AE= = 90ADC AHG∠ = ∠ = °
ADC AHG∴∆ ∆
: : 1: 5AD AC AH AG∴ = =
DAC HAG∠ = ∠
DAH CAG∴∠ = ∠
DAH CAG∴∆ ∆
: : 1: 5HD GC AD AC∴ = =31
，
，
，
，
，
【点睛】本题是菱形与相似三角形，全等三角形，三角函数等知识点的综合运用，难度较大．
30．如图，等边 中，AB=6，点 D 在 BC 上，BD=4，点 E 为边 AC 上一动点（不与点 C 重合），
关于 DE 的轴对称图形为 .
（1）当点 F 在 AC 上时，求证：DF//AB；
（2）设 的面积为 S1， 的面积为 S2，记 S=S1-S2，S 是否存在最大值？若存在，求出 S 的最大
值；若不存在，请说明理由；
（3）当 B，F，E 三点共线时。求 AE 的长。
【答案】（1）见解析；（2） 存在最大值， 最大值为 ；（3） .
【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC=∠A，可证 DF∥AB；
（2）过点 D 作 DM⊥AB 交 AB 于点 M，由题意可得点 F 在以 D 为圆心，DF 为半径的圆上，由△ACD 的面积为 S1
的值是定值，则当点 F 在 DM 上时，S△ABF 最小时，S 最大；
（3）过点 D 作 DG⊥EF 于点 G，过点 E 作 EH⊥CD 于点 H，由勾股定理可求 BG 的长，通过证明△BGD∽△
BHE，可求 EC 的长，即可求 AE 的长．
【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠可知：DF=DC，且点 F 在 AC 上，
∴∠DFC=∠C=60°，
∴∠DFC=∠A，
∴DF∥AB；
（2）存在，如图，
90DAB HAE∠ = ∠ = °
DAH BAE∴∠ = ∠
: : 1: 2DA AB HA AE= =
ADH ABE∴∆ ∆
: : 1: 2DH BE AD AB∴ = =
: : 1: 5 : 2HD GC EB∴ =
ABC∆ CDE∆
FDE∆
ACD∆ ABF∆
S S 6 3 3− 7 13AE = −32
过点 D 作 DM⊥AB 交 AB 于点 M，
∵AB=BC=6，BD=4，∴CD=2，∴DF=2，
∴点 F 在以 D 为圆心，DF 为半径的圆上，
∴当点 F 在 DM 上时，S△ABF 最小，
∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，
∴MD=2 ，
∴S△ABF 的最小值= ，
∴S 最大值= .
（3）如图，过点 作 于点 G，过点 E 作 EH⊥CD 于点 H，
∵△CDE 关于 DE 的轴对称图形为△FDE，
∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，
∵GD⊥EF，∠EFD=60°，
∴FG=1，DG= FG= ，
∵BD2=BG2+DG2，
∴16=3+（BF+1）2，
∴BF= -1，
∴BG= ，
∵EH⊥BC，∠C=60°，
∴CH= ，EH= HC= ,
∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，
∴△BGD∽△BHE，
∴ ，
∴ ,
3
( )1 6 2 3 2 =6 32
× × − − 6
( )1 2 3 3 6 3 = 32
× × − − 6 − 3 + 6
D DG EF⊥
3 3
13
13
2
EC 3 3
2 EC
DG EH
BG BH
=
3
3 2
113 6 2
EC
EC
=
−33
∴EC=
∴AE=AC-EC=
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和
性质，熟练掌握是解题的关键.
13 1−
7 13−
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