2020年中考数学十大题型专练07动态问题试题（含解析）.docx

1 题型 07 动态问题试题 一、单选题 1．如图，矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 上一动点， 为 中点，连 接 ，则 的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据中位线定理可得出点 P 的运动轨迹是线段 P1P2，再根据垂线段最短可得当 BP⊥P1P2 时，PB 取 得最小值;由矩形的性质以及已知的数据即可知 BP1⊥P1P2，故 BP 的最小值为 BP1 的长，由勾股定理求解即 可. 【详解】解：点 P 为 DF 的中点， 当 F 运动过程中，点 P 的运动轨迹是线段 P1P2 因此可得当 C 点和 F 点重合时，BP1⊥P1P2 时使 PB 最小为 BP1. 当 C 和 F 重合时，P1 点是 CD 的中点 故选 D. 【点睛】本题主要考查矩形中的动点问题，关键在于问题的转化，要使 PB 最小，就必须使得 DF 最长. 2．如图，在 中， ， ， ．点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分 时，AP 的长度为（　　） ABCD 4AB = 2AD = E AB F EC P DF PB PB 2 2 2  1 2CP∴ = 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2BP BC CP∴ = + = + = Rt ABC∆ 90°∠ =C 5AB = 4BC = PQ AB∥ ABC∠2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出 AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到 ，得到 ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ，又 ， ， ， ， ， ， ，即 ， 解得， ， ， 故选 B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．如图是函数 的图象，直线 轴且过点 ，将该函数在直线 l 上方的 图象沿直线 l 向下翻折，在直线 1 下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值 与最小值之差不大于 5，则 m 的取值范围是（ ） 8 13 15 13 25 13 32 13 QBD BDQ∠ = ∠ =QB QD 90C °∠ = 5AB = 4BC = 2 2AC AB BC 3∴ = − = PQ AB ∥ ABD BDQ∴∠ = ∠ ABD QBD∠ = ∠ QBD BDQ∴∠ = ∠ QB QD∴ = 2QP QB∴ = PQ AB ∥ CPQ CAB∴∆ ∆ CP CQ PQ CA CB AB ∴ = = 4 2 3 4 5 CP QB QB−= = 24 13CP = 15 13AP CA CP∴ = − = 2 2 3(0 4)y x x x= − − ≤ ≤ / /l x (0, )m3 A． B． C． D． 或 【答案】C 【分析】找到最大值和最小值差刚好等于 5 的时刻，则 M 的范围可知. 【详解】解：如图 1 所示，当 t 等于 0 时， ∵ ， ∴顶点坐标为 ， 当 时， ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴当 时， ， ∴此时最大值为 0，最小值为 ； 如图 2 所示，当 时， 此时最小值为 ，最大值为 1． 综上所述： ， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为 5 的 m 的值为解题 关键． 4．矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 ，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，P 是 对角线 OB 上一动点（不与原点重合），连接 PC，过点 P 作 ，交 x 轴于点 D．下列结论：① ；②当点 D 运动到 OA 的中点处时， ；③在运动过程中， 是一个定 m 1≥ 0m ≤ 0 1m≤ ≤ m 1≥ 0m ≤ 2( 1) 4y x= − − (1, 4)− 0x = 3y = − (0, 3)A − 4x = 5y = (4,5)C 0m = (4, 5)D − 5− 1m = 4− 0 1m≤ ≤ (2 3, 2)B PD PC⊥ 2 3OA BC= = 2 2 7PC PD+ = CDP∠4 值；④当△ODP 为等腰三角形时，点 D 的坐标为 ．其中正确结论的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【分析】①根据矩形的性质即可得到 ；故①正确； ②由点 D 为 OA 的中点，得到 ，根据勾股定理即可得到 ，故②正确； ③如图，过点 P 作 于 F，FP 的延长线交 BC 于 E， ，则 ，根据三 角函数的定义得到 ，求得 ，根据相似三角形 的性质得到 ，根据三角函数的定义得到 ，故③正确； ④当 为等腰三角形时，Ⅰ、 ，解直角三角形得到 ， Ⅱ、OP＝OD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到 ，故不合题意舍去； Ⅲ、 ，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到 ，故不合题意舍去；于 是得到当 为等腰三角形时，点 D 的坐标为 ．故④正确． 【详解】解：①∵四边形 OABC 是矩形， ， ；故①正确； ②∵点 D 为 OA 的中点， ， ，故②正确； ③如图，过点 P 作 A 于 F，FP 的延长线交 BC 于 E， ，四边形 OFEC 是矩形， ， 2 3 ,03       2 3OA BC= = 1 32OD OA= = 2 2 2 2 2 72 ( 3)PC PD CD OC OD+ = = + = + = PF OA⊥ PE a= 2PF EF PE a= − = − 3 3BE PE a= = 2 3 3 3(2 )CE BC BE a a= − = − = − a 3 FD = 60PDC °∠ = ODP∆ OD PD= 3 2 3 3 3OD OC= = 105 90OCP ° °∠ = > OP PD= 105 90OCP ° °∠ = > ODP∆ 2 3 ,03       (2 3, 2)B 2 3OA BC∴ = = 1 32OD OA∴ = = 2 2 2 2 2 2 22 3 7PC PD CD OC OD∴ + + +＝ ＝ ＝ （ ）＝ PF OA⊥ PE BC∴ ⊥ 2EF OC∴ ＝ ＝5 设 ，则 ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ④ ，四边形 OABC 是矩形， ， ， ， 当 为等腰三角形时， Ⅰ、 PE a＝ 2PF EF PE a＝ ﹣ ＝﹣ Rt BEP∆ PE OC 3 BE BC 3tan CBO∠ = = = 3 3BE PE a∴ = = 2 3 3 3(2 )CE BC BE a a∴ = − = − = − PD PC⊥ 90CPE FPD °∴∠ ∠ = 90CPE PCE °∠ + ∠ = ,FPD ECP∴∠ = ∠ 90CEP PFD °∠ = ∠ = CEP PFD∴∆ ∆∽ PE CP FD PD ∴ = 3(2 ) 2 a a FD a −∴ = − 3 aFD∴ = tan 3 3 PC aPDC aPD ∴ ∠ = = = 60PDC °∴∠ = (2 3,2)B 2 3, 2OA AB∴ = = 3tan 3 ABAOB OA ∠ = = 30AOB °∴∠ = ODP∆ OD PD＝ ， 30DOP DPO∴∠ ∠ ＝ ＝ ， 60ODP∴∠ ＝ ， 60ODC∴∠ ＝ ，6 Ⅱ、 ， ，故不合题意舍去； Ⅲ、 ， ， 故不合题意舍去， ∴当 为等腰三角形时，点 D 的坐标为 ．故④正确， 故选：D． 【点睛】考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的 性质，构造出相似三角形表示出 CP 和 PD 是解本题的关键． 5．如图，在 中， ， ，点 在边 上，且 ，点 为 的中点， 点 为边 上的动点，当点 在 上移动时，使四边形 周长最小的点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得到 AB=OB=4，∠AOB=45°，求得 BC=3，OD=BD=2，得到 D（0，2），C（4，3），作 D 关于直线 OA 的对称点 E，连接 EC 交 OA 于 P，则此时，四边形 PDBC 周长最小，E（0，2），求得直线 EC 的 3 2 3 3 3OD OC∴ = = OP OD= 75ODP OPD∴∠ ∠ ＝ ＝ 90COD CPD∠ ∠  ＝ ＝ ， 105 90OCP∴∠  ＝ ＞ OP PD＝ 30POD PDO∴∠ ∠ ＝ ＝ 150 90OCP∴∠  ＝ ＞ ODP∆ 2 3 ,03       Rt ABO 90OBA∠ = ° ( )4,4A C AB 1 3 AC CB = D OB P OA P OA PDBC P ( )2,2 5 5,2 2      8 8,3 3      ( )3,37 解析式为 y= x+2，解方程组即可得到结论． 【详解】∵在 Rt△ABO 中，∠OBA=90°，A（4，4）， ∴AB=OB=4，∠AOB=45°， ∵ ，点 D 为 OB 的中点， ∴BC=3，OD=BD=2， ∴D（0，2），C（4，3）， 作 D 关于直线 OA 的对称点 E，连接 EC 交 OA 于 P， 则此时，四边形 PDBC 周长最小，E（0，2）， ∵直线 OA 的解析式为 y=x， 设直线 EC 的解析式为 y=kx+b， ∴ ， 解得： ， ∴直线 EC 的解析式为 y= x+2， 解 得， ， ∴P（ ， ）， 故选 C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到 P 点的位置是解题的关 键． 6．如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是2 3 10，点E( -2,0) 为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F(0,6)到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的 中点处，则菱形ABCD的边长等于（ ） 1 4 1 3 AC CB = 2 4 3 b k b   + ＝ ＝ 1 4 2 k b ＝ ＝   1 4 1 24 y x y x  + ＝ ＝ 8 3 8 3 x y     ＝ ＝ 8 3 8 38 A．10 3 B． 10 C．16 3 D．3 【答案】A 【分析】如图 1 中，当点 P 是 AB 的中点时，作 FG⊥PE 于 G，连接 EF．首先说明点 G 与点 F 重合时，FG 的 值最大，如图 2 中，当点 G 与点 E 重合时，连接 AC 交 BD 于 H，PE 交 BD 于 J．设 BC=2a．利用相似三角形 的性质构建方程求解即可． 【详解】如图 1 中，当点 P 是 AB 的中点时，作 FG⊥PE 于 G，连接 EF． ∵E（-2，0），F（0，6）， ∴OE=2，OF=6， ∴EF= 22 + 42 = 2 10， ∵∠FGE=90°， ∴FG≤EF， ∴当点 G 与 E 重合时，FG 的值最大． 如图 2 中，当点 G 与点 E 重合时，连接 AC 交 BD 于 H，PE 交 BD 于 J．设 BC=2a．9 ∵PA=PB，BE=EC=a， ∴PE∥AC，BJ=JH， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，BH=DH= 10 3 ，BJ= 10 6 ， ∴PE⊥BD， ∵∠BJE=∠EOF=∠PEF=90°， ∴∠EBJ=∠FEO， ∴△BJE∽△EOF， ∴BE EF = BJ EO， ∴ a 2 10 = 10 6 2 ， ∴a=5 3， ∴BC=2a=10 3 ， 故选 A． 【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题 的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 7．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点， 是以点 （0,3）为圆心，2 为半径的圆上的动 点， 是线段 的中点，连结 .则线段 的最大值是（ ） 21 44y x= − x A B P C Q PA OQ OQ10 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式可求得点 A（-4,0），B（4,0），故 O 点为 AB 的中点，又 Q 是 AP 上的中点可知 OQ= BP，故 OQ 最大即为 BP 最大，即连接 BC 并延长 BC 交圆于点 P 时 BP 最大，进而即可求得 OQ 的最大值. 【详解】∵抛物线 与 轴交于 、 两点 ∴A（-4,0），B（4,0），即 OA=4. 在直角三角形 COB 中 BC= ∵Q 是 AP 上的中点，O 是 AB 的中点 ∴OQ 为△ABP 中位线，即 OQ= BP 又∵P 在圆 C 上，且半径为 2， ∴当 B、C、P 共线时 BP 最大，即 OQ 最大 此时 BP=BC+CP=7 OQ= BP= . 【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，与圆相离的点到 圆上最长的距离，解本题的关键是将求 OQ 最大转化为求 BP 最长时的情况. 8．如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 的最小值是( ) A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】如图，作 DH⊥AB 于 H，CM⊥AB 于 M．由 tanA= =2，设 AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求 出 a，再证明 DH= BD，推出 CD+ BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题． 【详解】如图，作 DH⊥AB 于 H，CM⊥AB 于 M． 3 41 2 7 2 4 1 2 21 44y x= − x A B 2 2 2 23 4 5+ = + =OC OB 1 2 1 2 7 2 5 5CD BD+ 2 5 4 5 5 3 BE AE 5 5 5 511 ∵BE⊥AC， ∴∠AEB=90°， ∵tanA= =2，设 AE=a，BE=2a， 则有：100=a2+4a2， ∴a2=20， ∴a=2 或-2 （舍弃）， ∴BE=2a=4 ， ∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB， ∴CM=BE=4 （等腰三角形两腰上的高相等）） ∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA， ∴ ， ∴DH= BD， ∴CD+ BD=CD+DH， ∴CD+DH≥CM， ∴CD+ BD≥4 ， ∴CD+ BD 的最小值为 4 ． 故选 B． 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅 助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 9．如图，已知 两点的坐标分别为 ，点 分别是直线 和 x 轴上的动点， ,点 是线段 的中点，连接 交 轴于点 ；当⊿ 面积取得最小值时， 的 值是（ ） BE AE 5 5 5 5 5sin 5 DH AEDBH BD AB ∠ = = = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 A B、 ( ) ( )8,0 0, 8， C F、 5x = − CF 10= D CF AD y E ABE tan BAD∠12 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设直线 x=-5 交 x 轴于 K．由题意 KD= CF=5，推出点 D 的运动轨迹是以 K 为圆心，5 为半 径的圆，推出当直线 AD 与⊙K 相切时，△ABE 的面积最小，作 EH⊥AB 于 H．求出 EH，AH 即可解决问题． 【详解】如图，设直线 x=-5 交 x 轴于 K．由题意 KD= CF=5， ∴点 D 的运动轨迹是以 K 为圆心，5 为半径的圆， ∴当直线 AD 与⊙K 相切时，△ABE 的面积最小， ∵AD 是切线，点 D 是切点， ∴AD⊥KD， ∵AK=13，DK=5， ∴AD=12， ∵tan∠EAO= ， ∴ ， ∴OE= ， ∴AE= ， 作 EH⊥AB 于 H． 8 17 7 17 4 9 5 9 1 2 1 2 OE DK OA AD = 5 8 12 OE = 10 3 2 2 26 3OE OA+ =13 ∵S△ABE= •AB•EH=S△AOB-S△AOE， ∴EH= ， ∴ ， ∴ ， 故选 B. 【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题 的关键是灵活运用所学知识解决问题. 10．如图， 是 的直径， 、 是弧 （异于 、 ）上两点， 是弧 上一动点， 的角平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ．当点 从点 运动到点 时，则 、 两 点的运动路径长的比是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接 BE，由题意可得点 E 是△ABC 的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点 E 的运动 轨迹是是弓形 AB 上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在 AB 的中垂线上，根据题意过圆心 O 作直径 CD，则 CD⊥ AB，在 CD 的延长线上，作 DF＝DA，则可判定 A、E、B、F 四点共圆，继而得出 DE＝DA＝DF，点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心，设⊙O 的半径为 R，求出点 C 的运动路径长为 ，DA＝ R，进而求出点 E 的运动路径为 弧 AEB，弧长为 ，即可求得答案. 【详解】连结 BE， ∵点 E 是∠ACB 与∠CAB 的交点， ∴点 E 是△ABC 的内心， ∴BE 平分∠ABC， ∵AB 为直径， 1 2 7 2 3 2 2 17 2 3AH AE EH= − = 7 2 73tan 1717 2 3 EHBAD AH ∠ = = = AB O M N AB A B C MN ACB∠ O D BAC∠ CD E C M N C E 2 2 π 3 2 5 2 Rπ 2 2 2 Rπ14 ∴∠ACB＝90°， ∴∠AEB＝180°－ (∠CAB+∠CBA)＝135°，为定值， ， ∴点 E 的轨迹是弓形 AB 上的圆弧， ∴此圆弧的圆心一定在弦 AB 的中垂线上， ∵ ， ∴AD=BD， 如下图，过圆心 O 作直径 CD，则 CD⊥AB， ∠BDO＝∠ADO＝45°， 在 CD 的延长线上，作 DF＝DA， 则∠AFB＝45°， 即∠AFB+∠AEB＝180°， ∴A、E、B、F 四点共圆， ∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°， ∴DE＝DA＝DF， ∴点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心， 设⊙O 的半径为 R， 则点 C 的运动路径长为： ， DA＝ R， 点 E 的运动路径为弧 AEB，弧长为： ， C、E 两点的运动路径长比为： ， 故选 A. 1 2  AD BD=  AD BD= Rπ 2 90 2 2 180 2 R R π π× = 2 2 2 R R π π =15 【点睛】本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性 较强，正确分析出点 E 运动的路径是解题的关键. 二、填空题 11．如图，矩形硬纸片 ABCD 的顶点 A 在 轴的正半轴及原点上滑动，顶点 B 在 轴的正半轴及原点上滑动， 点 E 为 AB 的中点，AB=24,BC=5,给出下列结论：①点 A 从点 O 出发，到点 B 运动至点 O 为止，点 E 经过的 路径长为 12π；②△OAB 的面积的最大值为 144；③当 OD 最大时，点 D 的坐标为 ，其 中正确的结论是_________（填写序号）. 【答案】②③ 【分析】①由条件可知 AB=24，则 AB 的中点 E 的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点 E 所经 过的路径长；②当△OAB 的面积最大时，因为 AB=24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即 OA=OB，可求出最 大面积为 144；③当 O、E、D 三点共线时，OD 最大，过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F，可求出 OD=25，证明△DFA∽△ AOB 和△DFO∽△BOA，可求出 DF 长，则 D 点坐标可求出． 【详解】解：∵点 E 为 AB 的中点，AB=24， ∴AB 的中点 E 的运动轨迹是以点 O 为圆心，12 为半径的一段圆弧， ∵∠AOB=90°， ∴点 E 经过的路径长为 ，故①错误； y x 25 26 125 26( , )26 26 1 122OE AB∴ = = 90 12 6180 π π× × =16 当△OAB 的面积最大时，因为 AB=24，所以△OAB 为等腰直角三角形，即 OA=OB， ∵E 为 AB 的中点， ，故②正确； 如图，当 O、E、D 三点共线时，OD 最大，过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F， ∴OD=DE+OE=13+12=25， 设 DF=x， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DFA=∠AOB， ∴∠DAF=∠ABO， ∴△DFA∽△AOB ∵E 为 AB 的中点，∠AOB=90°， ∴AE=OE， ∴∠AOE=∠OAE， ∴△DFO∽△BOA， 1, 122OE AB OE AB∴ ⊥ = = 1 24 12 1442AOBS∴ = × × =  15, 122AD BC AE AB= = = = 2 2 2 25 12 13DE AD AE∴ = + = + = 2 2 2 225OF OD DF x∴ = − = − DF DA OA AB ∴ = 5 24 x OA ∴ = 24 5 xOA∴ =17 解得 舍去， ，故③正确． 故答案为②③． 【点睛】本题考查四边形综合题、直角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．解题的 关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 12．如图，在边长为 的菱形 中， ，将 沿射线 的方向平移得到 ， 分别连接 ， ， 则 的最小值为____. 【答案】 【分析】过 C 点作 BD 的平行线 ，以 为对称轴作 B 点的对称点 ，连接 交直线 于点 ，当 三点共线时 取最小值，再根据勾股定理即可求解. 【详解】如图，过 C 点作 BD 的平行线 ，以 为对称轴作 B 点的对称点 ，连接 交直线 于点 根据平移和对称可知 ，当 三点共线时 取最小值，即 ，又 ， 根据勾股定理得， ，故答案为 OD OF AB OA ∴ = 2 225 25 2424 5 x x −∴ = 25 26 25 26,26 26x x= = − 125 26 26OF∴ = 25 26 125 26,26 26D  ∴     1 ABCD 60ABC∠ = ° ABD∆ BD A B D′ ′ ′∆ A C′ A D′ B C′ A C B C′ ′+ 3 l l 1B 1AB l 1C 1 1, ,A B C 1 1AC BC+ l l 1B 1AB l 1C 1 1A C B C AC BC+ = +′ ′ 1 1, ,A B C 1 1AC BC+ 1AB 1AB 1BB= = 1 3AB = 318 【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知平移的性质及勾股定理的应用. 13．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，∠DCA＝30°，点 F 是对角线 AC 上的一个动点，连接 DF，以 DF 为斜边 作∠DFE＝30°的直角三角形 DEF，使点 E 和点 A 位于 DF 两侧，点 F 从点 A 到点 C 的运动过程中，点 E 的运 动路径长是________． 【答案】 ． 【分析】当 F 与 A 点重合时和 F 与 C 重合时，根据 E 的位置，可知 E 的运动路径是 EE'的长；由已知条件可 以推导出△DEE'是直角三角形，且∠DEE'=30°，在 Rt△ADE'中，求出 DE'＝ 即可求解． 【详解】解：如图 E 的运动路径是 EE'的长； ∵AB＝4，∠DCA＝30°， ∴BC＝ ， 当 F 与 A 点重合时， 在 Rt△ADE'中，AD＝ ，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°， 4 3 3 2 3 3 4 3 3 4 3 319 ∴DE'＝ ，∠CDE'＝30°， 当 F 与 C 重合时，∠EDC＝60°， ∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°， 在 Rt△DEE'中，EE'＝ ； 故答案为 ． 【点睛】本题考查点的轨迹；能够根据 E 点的运动情况，分析出 E 点的运动轨迹是线段，在 30 度角的直角 三角形中求解是关键． 14．如图，点 是双曲线 ： （ ）上的一点，过点 作 轴的垂线交直线 ： 于点 ，连结 ， .当点 在曲线 上运动,且点 在 的上方时，△ 面积的最大值是______. 【答案】3 【分析】令 PQ 与 x 轴的交点为 E，根据双曲线的解析式可求得点 A、B 的坐标，由于点 P 在双曲线上，由双 曲线解析式中 k 的几何意义可知△OPE 的面积恒为 2，故当△OEQ 面积最大时△ 的面积最大.设 Q（a， ）则 S△OEQ= ×a×（ ）= = ，可知当 a=2 时 S△OEQ 最大为 1，即当 Q 为 AB 中点时△OEQ 为 1，则求得△ 面积的最大值是是 3. 【详解】 ∵ 交 x 轴为 B 点，交 y 轴于点 A, ∴A（0，-2），B（4，0） 即 OB=4，OA=2 2 3 3 4 3 3 4 3 3 P C 4y x = 0x > P x AB 1 22y x= − Q OP OQ P C P Q POQ POQ 1 22 a − 1 2 1 22 a − 21 4 −a a 21( 1) 12 − +a POQ 1 22y x= −20 令 PQ 与 x 轴的交点为 E ∵P 在曲线 C 上 ∴△OPE 的面积恒为 2 ∴当△OEQ 面积最大时△ 的面积最大 设 Q（a, ） 则 S△OEQ= ×a×（ ）= = 当 a=2 时 S△OEQ 最大为 1 即当 Q 为 AB 中点时△OEQ 为 1 故△ 面积的最大值是是 3. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握 反比例函数中 k 的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值. 15．如图，正方形 ABCD 中， ，点 P 在 BC 上运动（不与 B、C 重合），过点 P 作 ，交 CD 于点 Q，则 CQ 的最大值为_______． 【答案】4 【分析】先证明 ，得到与 CQ 有关的比例式，设 ，则 ，代入解 析式，得到 y 与 x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值． 【详解】解： 又 设 ，则 ． ，化简得 ， POQ 1 22 a − 1 2 1 22 a − 21 4 −a a 21( 1) 12 − +a POQ 112 4AB AE AB= =， PQ EP⊥ BPE CQP∆ ∆∽ CQ y BP x＝ ， ＝ 12CP x＝ ﹣ 90 90BEP BPE QPC BPE∠ + ∠ ° ∠ + ∠ ° ＝ ， ＝ ， BEP CPQ∴∠ ∠＝ ． 90B C∠ ∠ °＝ ＝ ， BPE CQP∴∆ ∆∽ ． BE BP PC CQ ∴ = CQ y BP x＝ ， ＝ 12CP x＝ ﹣ 9 12 x x y ∴ =− ( )21 129y x x= − −21 整理得 ， 所以当 时，y 有最大值为 4． 故答案为 4． 【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数 最值求解考查了树形结合思想． 16．如图，在平面直角坐标中，一次函数 y＝﹣4x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点.正方形 ABCD 的顶点 C、D 在第一象限，顶点 D 在反比例函数 （k≠0）的图象上.若正方形 ABCD 向左平移 n 个单位 后，顶点 C 恰好落在反比例函数的图象上，则 n 的值是_____. 【答案】3. 【分析】过点 D 作 DE⊥x 轴过点 C 作 CF⊥y 轴，可证△ABO≌△DAE(AAS)，△CBF≌△BAO(AAS)，则可求 D(5，1)，C(4，5)，确定函数解析式 ，C 向左移动 n 个单位后为(4﹣n，5)，进而求 n 的值. 【详解】过点 D 作 DE⊥x 轴，过点 C 作 CF⊥y 轴， ∵AB⊥AD， ∴∠BAO＝∠DAE， ∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA， ∴△ABO≌△DAE(AAS)， ∴AE＝BO，DE＝OA， 21 ( 6) 49y x= − − + 6x＝ ky x = 5y x =22 y＝﹣4x+4，当 x=0 时，y=4， 当 y=0 时，0=-4x+4，x=1， ∴A(1，0)，B(0，4)， ∴OA=1，OB=4， ∴OE=OA+AE=5， ∴D(5，1)， ∵顶点 D 在反比例函数 上， ∴k＝5， ∴ ， 易证△CBF≌△BAO(AAS)， ∴CF＝4，BF＝1， ∴C(4，5)， ∵C 向左移动 n 个单位后为(4﹣n，5)， ∴5(4﹣n)＝5， ∴n＝3， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的 平移等，综合性较强，正确添加常用辅助线是解题的关键. 17．如图 1，在四边形 中， ∥ ， ,直线 .当直线 沿射线 方向，从点 开始向右平移时，直线 与四边形 的边分别相交于点 、 .设直线 向右平移的距离为 ，线段 的长为 ，且 与 的函数关系如图 2 所示，则四边形 的周长是_____. 【答案】 【分析】根据图 1 直线 l 的平移过程分为三段，当 F 与 A 重合之前，x 与 y 都不断增大，当当 F 与 A 重合之 后到点 E 与点 C 重合之前，x 增加 y 不变，E 与点 C 重合后继续运动至 F 与 D 重合 x 增加 y 减小.结合图 2 可知 BC=5，AD=7-4=3，由 且∠B=30°可知 AB= ，当 F 与 A 重合时，把 CD 平移到 E 点位置可得 ky x = 5y x = ABCD AD BC 30B °∠ = l AB⊥ l BC B l ABCD E F l x EF y y x ABCD 10 2 3+ l AB⊥ 2 323 三角形 AED′为正三角形，可得 CD=2，进而可求得周长. 【详解】由题意和图像易知 BC=5，AD=7-4=3 当 BE=4 时（即 F 与 A 重合），EF=2 又∵ 且∠B=30° ∴AB= ， ∵当 F 与 A 重合时，把 CD 平移到 E 点位置可得三角形 AED′为正三角形 ∴CD=2 ∴AB+BC+CD+AD= +5+2+3=10+ 故答案时 . 【点睛】本题考查了 30°所对的直角边是斜边的一半，对四边形中动点问题几何图像的理解，解本题的关 键是清楚掌握直线 l 平移的距离为 ，线段 的长为的图像和直线运动的过程的联系，找到对应线段长度. 18．如图，在矩形 中， ，点 是 边上的一个动点，连接 ，作点 关于直 线 的对称点 ，连接 ，设 的中点为 ，当点 从点 出发，沿边 运动到点 时停止运动， 点 的运动路径长为_____． 【答案】 【分析】如图，连接 BA1，取 BC 使得中点 O，连接 OQ，BD．利用三角形的中位线定理证明 =定值， 推出点 Q 的运动轨迹是以 O 为圆心，OQ 为半径的圆弧，圆心角为 120°，已解决可解决问题． 【详解】解：如图，连接 ，取 使得中点 ，连接 ． ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， l AB⊥ 2 3 2 3 2 3 10 2 3+ x EF ABCD 3 , 3AB AD= = P AD BP A BP 1A 1AC 1AC Q P A AD D Q 3 3 π 3 2OQ = 1BA BC O ,OQ BD ABCD 90BAD∠ = ° tan 3ADABD AB ∠ = = 60ABD∠ = ° 1 ,AQ QC BO OC= =24 ∴ ， ∴点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆弧，圆心角为 ， ∴点 的运动路径长 ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型． 19．如图， 是⊙O 的内接三角形，且 AB 是⊙O 的直径，点 P 为⊙O 上的动点，且 ，⊙O 的半径为 6，则点 P 到 AC 距离的最大值是___． 【答案】 ． 【分析】过 O 作 OM⊥AC 于 M，延长 MO 交⊙O 于 P，则此时，点 P 到 AC 距离的最大，且点 P 到 AC 距离的最 大值=PM，解直角三角形即可得到结论． 【详解】过 O 作 于 M，延长 MO 交⊙O 于 P，则此时，点 P 到 AC 距离的最大，且点 P 到 AC 距离 的最大值 ， ∵ ， ，⊙O 的半径为 6， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 1 1 1 3 2 2 2OQ BA AB= = = Q O OQ 120° Q 3120 32 180 3 π π ⋅ ⋅ = = 3 3 π ABC∆ 60BPC °∠ = 6 3 3+ OM AC⊥ PM= OM AC⊥ 60A BPC °∠ = ∠ = 6OP OA= = 3 3 6 3 32 2OM OA= = × = 6 3 3PM OP OM= + = +25 ∴则点 P 到 AC 距离的最大值是 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关 键． 20．如图，在正方形 ABCD 中，AB=8，AC 与 BD 交于点 O，N 是 AO 的中点，点 M 在 BC 边上，且 BM=6. P 为对 角线 BD 上一点，则 PM—PN 的最大值为___. 【答案】2. 【分析】如图所示，以 BD 为对称轴作 N 的对称点 ，连接 ，根据对称性质可知， ，由此 可得 ，当 三点共线时，取“=”，此时即PM—PN 的值最大，由正方形的性质求 出 AC 的长，继而可得 ， ，再证明 ，可得 PM∥AB∥CD，∠ 90°，判断出△ 为等腰直角三角形，求得 长即可得答案. 【详解】如图所示，以 BD 为对称轴作 N 的对称点 ，连接 ，根据对称性质可知， ，∴ ，当 三点共线时，取“=”， ∵正方形边长为 8， ∴AC= AB= ， ∵O 为 AC 中点， ∴AO=OC= ， ∵N 为 OA 中点， ∴ON= ， ∴ ， ∴ ， ∵BM=6， ∴CM=AB-BM=8-6=2， ∴ ， ∴PM∥AB∥CD，∠ 90°， ∵∠ =45°， 6 3 3+ 6 3 3+ N′ PN′ PN PN= ′ PM PN MN′− ≤ ′ , ,P M N′ 2 2ON ON′ = = 6 2AN′ = 1 3 CM CN BM AN ′= ′ = CMN′ = N CM′ N M′ N′ PN′ PN PN= ′ PM PN MN′− ≤ ′ , ,P M N′ 2 8 2 4 2 2 2 2 2ON ON′ = = 6 2AN′ = 1 3 CM CN BM AN ′= ′ = CMN′ = N CM′26 ∴△ 为等腰直角三角形， ∴CM= =2， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题 等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 三、解答题 21．如图，抛物线 C1：y＝x2﹣2x 与抛物线 C2：y＝ax2+bx 开口大小相同、方向相反，它们相交于 O，C 两点， 且分别与 x 轴的正半轴交于点 B，点 A，OA＝2OB． （1）求抛物线 C2 的解析式； （2）在抛物线 C2 的对称轴上是否存在点 P，使 PA+PC 的值最小？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说 明理由； （3）M 是直线 OC 上方抛物线 C2 上的一个动点，连接 MO，MC，M 运动到什么位置时，△MOC 面积最大？并求 出最大面积． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）线段 AC′的长度 ；（3）S△MOC 最大值为 ． 【分析】（1）C1、C2：y=ax2+bx 开口大小相同、方向相反，则 a=-1，将点 A 的坐标代入 C2 的表达式，即可 求解； （2）作点 C 关于 C1 对称轴的对称点 C′（-1，3），连接 AC′交函数 C2 的对称轴与点 P，此时 PA+PC 的值最 小，即可求解； （3）S△MOC= MH×xC= （-x2+4x-x）= - x2+ ，即可求解． N CM′ N M′ 34= 45 8 1 2 3 2 3 2 9 227 【详解】（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则 x＝0 或 2，即点 B（2，0）， ∵C1、C2：y＝ax2+bx 开口大小相同、方向相反，则 a＝﹣1， 则点 A（4，0），将点 A 的坐标代入 C2 的表达式得： 0＝﹣16+4b，解得：b＝4， 故抛物线 C2 的解析式为：y＝﹣x2+4x； （2）联立 C1、C2 表达式并解得：x＝0 或 3， 故点 C（3，3）， 作点 C 关于 C1 对称轴的对称点 C′（﹣1，3）， 连接 AC′交函数 C2 的对称轴与点 P， 此时 PA+PC 的值最小为：线段 AC′的长度 ； （3）直线 OC 的表达式为：y＝x， 过点 M 作 y 轴的平行线交 OC 于点 H， 设点 M（x，﹣x2+4x），则点 H（x，x）， 则 S△MOC MH×xC （﹣x2+4x﹣x） x2 ， ∵ 0，故 x ， S△MOC 最大值为 ． 2 2(4 1) 3 34= + + = 1 2 = 3 2 = 3 2 = − 9 2 + 3 2 − ＜ 3 2 = 45 828 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求 解；还要注意求最大值可以借助于二次函数． 22．如图一，在射线 的一侧以 为一条边作矩形 ， ， ，点 是线段 上一动点（不与点 重合），连结 ，过点 作 的垂线交射线 于点 ，连接 ． （1）求 的大小； （2）问题探究：动点 在运动的过程中， ①是否能使 为等腰三角形，如果能，求出线段 的长度；如果不能，请说明理由． ② 的大小是否改变？若不改变，请求出 的大小；若改变，请说明理由． （3）问题解决： 如图二，当动点 运动到 的中点时， 与 的交点为 ， 的中点为 ，求线段 的长 度． 【答案】（1） ；（2）①能， 的值为 5 或 ；②大小不变， ；（3） . 【分析】（1）在 中，求出 的正切值即可解决问题． （2）①分两种情形：当 时，当 时，分别求解即可． ② ．利用四点共圆解决问题即可． （3）首先证明 是等边三角形，再证明 垂直平分线段 ，解直角三角形即可解决问题． 【详解】解：（1）如图一（1）中， DE AD ABCD 5 3AD = 5CD = M AC A BM M BM DE N BN CAD∠ M AMN∆ MC MBN∠ MBN∠ M AC AM BN F MN H FH 30°∠ =CAD CM 5 3 30°∠ =MBN 5 3 6 =FH Rt ADC∆ DAC∠ NA NM= AN AM= 30MBN∠ =  ABM∆ BN AM29 ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ． （2）①如图一（1）中，当 时， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 在 中，∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ． 如图一（2）中，当 时，易证 ， ∵ ， ∴ ，∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ABCD 90ADC∠ =  DC 5 3tan AD 35 3 ∠ = = =CAD 30°∠ =CAD AN NM= 90BAN BMN °∠ = ∠ = BN BN= AN NM= Rt Rt ( )BNA BNM HL∴ ∆ ≅ ∆ BA BM= Rt ABC∆ 30ACB DAC °∠ = ∠ = 5AB CD= = 2 10AC AB= = 60BAM °∠ = BA BM= ABM∆ 5AM AB= = 5CM AC AM= − = AN AM= 15AMN ANM °∠ = ∠ = 90BMN °∠ = 75CMB °∠ = 30MCB °∠ = 180 75 30 75CBM ° ° ° °∠ = − − = CMB CBM∠ = ∠ 5 5CM CB= =30 综上所述，满足条件的 的值为 5 或 ． ②结论： 大小不变． 理由：如图一（1）中，∵ ， ∴ 四点共圆， ∴ ． 如图一（2）中，∵ ， ∴ 四点共圆， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 综上所述， ． （3）如图二中， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 垂直平分线段 ， ∴ ， CM 5 3 30°∠ =MBN 180BAN BMN °∠ + ∠ = , , ,A B M N 30MBN MAN °∠ = ∠ = 90BMN BAN∠ = ∠ =  , , ,A N B M 180MBN MAN °∠ + ∠ = 180DAC MAN °∠ + ∠ = 30MBN DAC °∠ = ∠ = 30°∠ =MBN AM MC= BM AM CM= = 2AC AB= AB BM AM= = ABM∆ 60BAM BMA °∠ = ∠ = 90BAN BMN °∠ = ∠ = 30NAM NMA °∠ = ∠ = NA NM= BA BM= BN AM 5 2FM =31 ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三 角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 23．如图，在 中， ， ， ，点 分别是边 上的动点（点 不与 重合），且 ，过点 作 的平行线 ，交 于点 ，连接 ，设 为 ． （1）试说明不论 为何值时，总有 ∽ ； （2）是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形，试说明理由； （3）当 为何值时，四边形 的面积最大，并求出最大值． 【答案】（1）见解析；（2）当 时，四边形 为平行四边形；（3）当 时，四边形 的面积最大，最大值为 ． 【分析】（1）根据题意得到∠MQB=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答； （3）根据勾股定理求出 BC，根据相似三角形的性质用 x 表示出 QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数 解析式，根据二次函数性质计算即可． 【详解】解：（1）∵ ， ∴ ， ∴ ，又 ， ∴ ∽ ； （2）当 时，四边形 为平行四边形， ∵ ， ， 5 3 cos30 3 FMNM °= = 90NFM °∠ = NH HM= 1 5 3 2 6FH MN= = ABC∆ 90A∠ =  3AB = 4AC = ,M Q ,AB BC M ,A B MQ BC⊥ M BC MN AC N NQ BQ x x QBM∆ ABC∆ Q BMNQ x BMNQ BQ MN= BMNQ 45 8x = BMNQ 75 2 MQ BC⊥ 90MQB °∠ = MQB CAB∠ = ∠ QBM ABC∠ = ∠ QBM∆ ABC∆ BQ MN= BMNQ / /MN BQ BQ MN=32 ∴四边形 为平行四边形； （3）∵ ， ∴ ， ∵ ∽ ， ∴ ，即 ， 解得， ， ∵ ， ∴ ，即 ， 解得， ， 则四边形 的面积 ， ∴当 时，四边形 的面积最大，最大值为 ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形 的判定定理、二次函数的性质是解题的关键． 24．如图，在菱形 ABCD 中，连结 BD、AC 交于点 O，过点 O 作 于点 H，以点 O 为圆心，OH 为半径 的半圆交 AC 于点 M． ①求证：DC 是⊙O 的切线． ②若 且 ，求图中阴影部分的面积． ③在②的条件下，P 是线段 BD 上的一动点，当 PD 为何值时， 的值最小，并求出最小值． BMNQ 90 , 3, 4A AB AC°∠ = = = 2 2 5BC AB AC= + = QBM∆ ABC∆ QB QM BM AB AC BC = = 3 4 5 x QM BM= = 4 5,3 3QM x BM x= = / / BCMN MN AM BC AB = 53 3 5 3 xMN − = 255 9MN x= − BMNQ 21 25 4 32 45 7552 9 3 27 8 2x x x x   = × − + × = − − +       45 8x = BMNQ 75 2 OH BC⊥ 4AC MC= 8AC = PH PM+33 【答案】①证明见解析；② ③ 【分析】①作 ，证明 OH 为圆的半径，即可求解； ②利用 ，即可求解； ③作 M 关于 BD 的对称点 N，连接 HN 交 BD 于点 P， ，此时 最小， 即可求解． 【详解】解：①过点 O 作 ，垂足为 G， 在菱形 ABCD 中，AC 是对角线，则 AC 平分∠BCD， ∵ ， ， ∴ ， ∴OH、OG 都为圆的半径，即 DC 是⊙O 的切线； ②∵ 且 ， ∴ ， ， ∴ ， 在直角三角形 OHC 中， ， ∴ ， ， ∴ ， ； ③作 M 关于 BD 的对称点 N，连接 HN 交 BD 于点 P， ∵ ， ∴ ，此时 最小， ∵ ， ， 2 3 π− 2 3 OH BC⊥ 21 1 90= 4 2 360OCHS S S CH OH OHπ− = ⋅ − ⋅ 阴影 圆 OH PM PH PN HN+ = + = PH PM+ OG CD⊥ OH BC⊥ OG CD⊥ OH OG= 4AC MC= 8AC = 2 4OC MC= = 2MC OM= = 2OH = 1 CO2HO = 30OCH °∠ = 60COH °∠ = 2 2 2 3HC CO OH= − = 21 1 90= 2 34 2 360OCHS S S CH OH OHπ π− = ⋅ − ⋅ = − 阴影 圆 PM NP= PH PM PH PN HN+ = + = PH PM+ ON OM OH= = 60MOH °∠ =34 ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即：PH+PM 的最小值为 ， 在 Rt△NPO 中， ， 在 Rt△COD 中， ， 则 ． 【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到圆切线的性质及应用、点的对称性、解直角三角形等知识，其中 ③，通过点的对称性确定 PH+PM 最小，是本题的难点和关键． 25．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一点，以 DE 为边作正方形 DEFG，DF 与 BC 交于点 M，延长 EM 交 GF 于点 H，EF 与 GB 交于点 N，连接 CG. （1）求证：CD⊥CG； （2）若 tan∠MEN= ，求 的值； （3）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在运动过程中，EM 的长能否为 ？请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2） ；（3）EM 长不可能为 .理由见解析. 【分析】（1）由正方形的性质得出∠A=∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG，即∠ADE=∠CDG，由 SAS 证明△ADE ≌△CDG 得出∠A=∠DCG=90°，即可得出结论； （2）先证明△EDM≌△GDM，得出∠DME=∠NMF，，再证明△DME∽△FMN，得出 ， ， 30MNH °∠ = MNH HCM∠ = ∠ 2 3HN HC= = 2 3 2 3tan30 3OP ON °= = 4 3tan30 3OD OC °= = 2 3PD OP OD= + = 1 3 MN EM 1 2 1 3 MN ME = 1 2 MN FM ME DM = MN HF ME EF =35 在 Rt△EFH 中，tan∠HEF= ，所以 ； （3）假设 EM= ，先判断出点 G 在 BC 的延长线上，同（2）的方法得，EM=GM= ，得出 GM= ,再判断出 BM＜ ，得出 CM＞ ，进而得出 CM＞GM，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD 和四边形 DEFG 是正方形， ∴∠A=∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG， ∴∠ADE=∠CDG， 在△ADE 和△CDG 中， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴∠A=∠DCG=90°， ∴CD⊥CG； （2）解： ∵CD⊥CG，DC⊥BC， ∴G、C、M 三点共线 ∵四边形 DEFG 是正方形， ∴DG=DE，∠EDM=∠GDM=45°， 又∵DM=DM ∴△EDM≌△GDM， ∴∠DME=∠DMG 又∠DMG=∠NMF， ∴∠DME=∠NMF， 又∵∠EDM=∠NFM=45° 1 3 HF EF = 1 3 MN ME = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 AD CD ADE CDG DE DG = ∠ = ∠  =36 ∴△DME∽△FMN， ∴ 又∵DE∥HF， ∴ ， 又∵ED=EF， ∴ 在 Rt△EFH 中，tan∠HEF= ， ∴ （3）EM 的长不可能为 。 理由：假设 EM 的长为 ， ∵点 E 是 AB 边上一点，且∠EDG=∠ADC=90°， ∴点 G 在 BC 的延长线上， 同（2）的方法得，EM=GM= ， ∴GM= ， 在 Rt△BEM 中，EM 是斜边， ∴BM＜ ∵正方形 ABCD 的边长为 1， ∴BC=1， ∴CM＞ ∴CM＞GM， ∴点 G 在正方形 ABCD 的边 BC 上，与“点 G 在 BC 的延长线上”相矛盾， ∴假设错误， 即：EM 的长不可能为 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出 MN FM ME DM = HF FM ED DM = MN HF ME EF = 1 3 HF EF = 1 3 MN ME = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 237 相似三角形是解本题的关键，用反证法说明 EM 不可能为 是解本题的难度． 26．在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 在 的图像上运动（不与 重合），连接 ，过点 作 ，交 轴于点 ，连接 ． （1）求线段 长度的取值范围； （2）试问：点 运动过程中， 是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由． （3）当 为等腰三角形时，求点 的坐标． 【答案】（1） ；（2） 为定值， =30°；（3） ， ， ， 【分析】（1）作 ，由点 在 的图像上知： ，求出 AH，即可得解； （2）①当点 在第三象限时，②当点 在第一象的线段 上时，③当点 在第一象限的线段 的延长 线上时，分别证明 、 、 、 四点共圆，即可求得 =30°； （3）分 ， ， 三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）作 ，则 ∵点 在 的图像上 ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ （2）①当点 在第三象限时， 由 ，可得 、 、 、 四点共圆， 1 2 xOy (0 , 2)A P 3 3y x= O AP P PQ AP⊥ x Q AQ AP P QAP∠ OPQ∆ Q 3AP ≥ QAP∠ QAP∠ 1(2 3 4 , 0)Q + 2 (2 3 4 , 0)Q − 3( 2 3 , 0)Q − 4 2 3( , 0)3Q AH OP⊥ P 3 3y x= 30HOQ∠ = ° P P OH P OH Q P O A QAP∠ OP OQ= PO PQ= QO QP= AH OP⊥ AP AH≥ P 3 3y x= 30HOQ∠ = ° 60HOA∠ = ° (0 , 2)A sin 60 3AH AO= ° = 3AP ≥ P 90QPA QOA∠ = ∠ = ° Q P O A38 ∴ ②当点 在第一象的线段 上时， 由 ，可得 、 、 、 四点共圆， ∴ ，又此时 ∴ ③当点 在第一象限的线段 的延长线上时， 由 ，可得 ， ∴ 、 、 、 四点共圆， ∴ （3）设 ，则 ： ∵ ，∴ ∴ ： ∴ ∴ ， ①当 时，则 整理得： 解得： ∴ ， ②当 时，则 整理得： 解得： 或 当 时， 点与 重合，舍去， 30PAQ POQ∠ = ∠ = ° P OH 90QPA QOA∠ = ∠ = ° Q P O A 180PAQ POQ∠ + ∠ = ° 150POQ∠ = ° 180 30PAQ POQ∠ = °− ∠ = ° P OH 90QPA QOA∠ = ∠ = ° 180APQ AOQ∠ + ∠ = ° Q P O A 30PAQ POQ∠ = ∠ = ° 3( , )3P m m APl 3 6 23 my m −= + PQ AP⊥ 3 2 3PQ mk m = − PQl 3 3( ) 32 3 my x m m m = − + − 4 2 3( , 0)3 mQ − 2 24 3OP m= 2 216 16 439 9 3OQ m m= − + 2 24 4 439 9 3PQ m m= − + OP OQ= 2 24 16 16 433 9 9 3m m m= − + 2 4 3 3 0m m− + = 2 3 3m = ± 1(2 3 4 , 0)Q + 2 (2 3 4 , 0)Q − PO PQ= 2 24 4 4 433 9 9 3m m m= − + 22 3 3 0m m+ − = 3 2m = 3m = − 3 2m = Q O39 ∴ ，∴ ③当 时， 则 整理得： 解得： ∴ 【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、三角函数、等腰三角形判定和性质以 及圆的相关性质等知识点，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏． 27．如图 1，在正方形 中，点 是 边上的一个动点（点 与点 不重合），连接 ，过点 3m = − 3( 2 3 , 0)Q − QO QP= 2 216 16 4 4 4 43 39 9 3 9 9 3m m m m− + = − + 2 3 0m m− = 3m = 4 2 3( , 0)3Q ABCD E AB E ,A B CE B40 作 于点 ，交 于点 ． （1）求证： ； （2）如图 2，当点 运动到 中点时，连接 ，求证： ； （3）如图 3，在（2）的条件下，过点 作 于点 ，分别交 于点 ，求 的 值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） . 【分析】（1）先判断出 ，再由四边形 是正方形，得出 ， ，即可得出结论； （2）过点 作 于 ，设 ，先求出 ，进而得出 ，再求出 ， ，再判断出 ，进而判断出 ，即可得出结论； （3）先求出 ，再求出 ，再判断出 ，求出 ，再用勾股定 理求出 ，最后判断出 ，得出 ，即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：如图 2，过点 作 于 ， BF CE⊥ G AD F ABF BCE∆ ∆≌ E AB DG DC DG= C CM DG⊥ H ,AD BF ,M N MN NH 5 4 MN NH = 90GCB CBG∠ + ∠ = ° ABCD 90CBE A∠ = ° = ∠ BC AB= D DQ CE⊥ Q 2AB CD BC a= = = 1 2EA EB AB a= = = 5CE a= 2 5 5BG a= 4 5 5CG a= ( )CQD BGC AAS≅  GQ CQ= 8 5CH a= 6 5DH a= CHD DHM  9 10HM a= 4 5GH a= NGH GCH  2 2 5 HGHN aCH = = BF CE⊥ 90CGB∠ = ° 90GCB CBG∠ + ∠ = ° ABCD 90 ,CBE A BC AB∠ = ° = ∠ = 90FBA CBG∠ + ∠ = ° GCB FBA∠ = ∠ ( )ABF BCE ASA∆ ∆≌ D DQ CE⊥ Q41 设 ， ∵点 是 的中点， ∴ ， ∴ ， 在 中，根据面积相等，得 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：如图 3，过点 作 于 ， 2AB CD BC a= = = E AB 1 2EA EB AB a= = = 5CE a= Rt CEB∆ BG CE CB EB⋅ = ⋅ 2 5 5BG a= 2 2 4 5 5CG CB BG a= − = 90 , 90DCE BCE CBF BCE∠ + ∠ = ° ∠ + ∠ = ° DCE CBF∠ = ∠ , 90CD BC CQD CGB= ∠ = ∠ = ° ( )CQD BGC AAS∆ ∆≌ 2 5 5CQ BG a= = 2 5 5GQ CG CQ a CQ= − = = , 90DQ DQ CQD GQD= ∠ = ∠ = ° ( )DGQ DCQ SAS∆ ∆≌ CD GD= D DQ CE⊥ Q42 ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 1 1 2 2CDGS CG DQ CH DG∆ = ⋅ = ⋅ 8 5 CG DQCH aDG ⋅= = Rt CHD∆ 2CD a= 2 2 6 5DH CD CH a= − = 90 , 90MDH HDC HCD HDC∠ + ∠ = ° ∠ + ∠ = ° MDH HCD∠ = ∠ CHD DHM∆ ∆∽ 3 4 DH HM H DHC = = 9 10HM a= Rt CHG∆ 4 5 8,5 5CG a CH a= = 2 2 4 5GH CG CH a= − = 90 , 90NGH CGH HCG CGH∠ + ∠ = ° ∠ + ∠ = ° NGH HCG∠ = ∠ NGH GCH∆ ∆∽ HN HG HG CH = 2 2 5 HGHN aCH = = 1 2MN HM HN a= − =43 ∴ 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定 理，判断出 是解本题的关键. 28．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AB＝4，BC＝6．若不改变矩形 ABCD 的形状和大小， 当矩形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的正半轴上随之上下移动． (1)当∠OAD＝30°时，求点 C 的坐标； (2)设 AD 的中点为 M，连接 OM、MC，当四边形 OMCD 的面积为 时，求 OA 的长； (3)当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 cos∠OAD 的 值． 【答案】(1)点 C 的坐标为(2，3+2 )；(2)OA＝3 ；(3)OC 的最大值为 8，cos∠OAD＝ ． 【分析】(1)作CE⊥y 轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得 CE＝ CD＝2，DE＝ ，再由∠OAD ＝30°知 OD＝ AD＝3，从而得出点 C 坐标； (2)先求出 S△DCM＝6，结合 S 四边形 OMCD＝ 知 S△ODM＝ ，S△OAD＝9，设 OA＝x、OD＝y，据此知 x2+y2＝36， xy＝9，得出 x2+y2＝2xy，即 x＝y，代入 x2+y2＝36 求得 x 的值，从而得出答案； (3)由 M 为 AD 的中点，知 OM＝3，CM＝5，由 OC≤OM+CM＝8 知当 O、M、C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8，连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，ON⊥AD，证△CMD∽△OMN 得 ，据此求得 MN＝ ，ON＝ ，AN＝AM﹣MN＝ ，再由 OA＝ 及 cos∠OAD＝ 可得答案． 【详解】(1)如图 1，过点 C 作 CE⊥y 轴于点 E， 1 52 2 4 5 aMN NH a = = DGQ DCQ≅  21 2 3 2 5 5 1 2 2 2 2 3CD CE− = 1 2 21 2 9 2 1 2 CD DM CM ON MN OM = = 9 5 12 5 6 5 2 2ON AN+ AN OA44 ∵矩形 ABCD 中，CD⊥AD， ∴∠CDE+∠ADO＝90°， 又∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠CDE＝∠OAD＝30°， ∴在 Rt△CED 中，CE＝ CD＝2，DE＝ ＝2 ， 在 Rt△OAD 中，∠OAD＝30°， ∴OD＝ AD＝3， ∴点 C 的坐标为(2，3+2 )； (2)∵M 为 AD 的中点， ∴DM＝3，S△DCM＝6， 又 S 四边形 OMCD＝ ， ∴S△ODM＝ ， ∴S△OAD＝9， 设 OA＝x、OD＝y，则 x2+y2＝36， xy＝9， ∴x2+y2＝2xy，即 x＝y， 将 x＝y 代入 x2+y2＝36 得 x2＝18， 解得 x＝3 (负值舍去)， ∴OA＝3 ； (3)OC 的最大值为 8， 如图 2，M 为 AD 的中点， 1 2 2 2CD CE− 3 1 2 3 21 2 9 2 1 2 2 245 ∴OM＝3，CM＝ ＝5， ∴OC≤OM+CM＝8， 当 O、M、C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8， 连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，过点 O 作 ON⊥AD，垂足为 N， ∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN， ∴△CMD∽△OMN， ∴ ，即 ， 解得 MN＝ ，ON＝ ， ∴AN＝AM﹣MN＝ ， 在 Rt△OAN 中，OA＝ ， ∴cos∠OAD＝ ． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质 等知识点． 29．在等腰三角形 中， ，作 交 AB 于点 M， 交 AC 于点 N． （1）在图 1 中，求证： ； （2）在图 2 中的线段 CB 上取一动点 P，过 P 作 交 CM 于点 E，作 交 BN 于点 F，求证： ； （3）在图 3 中动点 P 在线段 CB 的延长线上，类似（2）过 P 作 交 CM 的延长线于点 E，作 交 NB 的延长线于点 F，求证： ． 2 2CD DM+ CD DM CM ON MN OM = = 4 3 5 3ON MN = = 9 5 12 5 6 5 2 2 6 5 5ON AN+ = 5 5 AN OA = ABC∆ AB AC= CM AB⊥ BN AC⊥ BMC CNB∆ ≅ ∆ / /PE AB //PF AC PE PF BM+ = / /PE AB //PF AC · · ·AM PF OM BN AM PE+ =46 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到 ，利用 AAS 定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到 ，证明 、 ，根据相似三角形 的性质列出比例式，证明结论； （3）根据 ，得到 ，证明 ，得到 ，根据比例的性 质证明即可． 【详解】证明：（1）∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ； （2）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ABC ACB∠ = ∠ BM NC= CEP CMB∆ ∼ ∆ BFP BNC∆ ∼ ∆ BMC CNB∆ ≅ ∆ MC BN= AMC OMB∆ ∼ ∆ AM OM MC MB = AB AC= ABC ACB∠ = ∠ CM AB⊥ BN AC⊥ 90BMC CNB∠ = ∠ = ° BMC∆ CNB∆ MBC NCB BMC CNB BC CB ∠ = ∠ ∠ = ∠  = ( )BMC CNB AAS∆ ≅ ∆ BMC CNB∆ ≅ ∆ BM NC= / /PE AB CEP CMB∆ ∼ ∆ PE CP BM CB = / /PF AC BFP BNC∆ ∼ ∆ PF BP NC BC =47 ∴ ， ∴ ； （3）同（2）的方法得到， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相 似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 30．已知： 是等腰直角三角形， ，将 绕点 顺时针方向旋转得到 ，记 旋转角为 ，当 时，作 ，垂足为 ， 与 交于点 （1）如图 1，当 时，作 的平分线 交 于点 . ①写出旋转角 的度数；②求证： ； （2）如图 2，在（1）的条件下，设 是直线 上的一个动点，连接 ， ，若 ，求线段 的最小值.（结果保留根号） 【答案】（1）①旋转角为 ；②见解析；（2） 的最小值为 . 【分析】（1）①解直角三角形求出 即可解决问题. ②连接 ，设 交 于点 .在 时截取 ，连接 .首先证明 是等边三角形，再 1PE PF CP BP BM BM CB CB + = + = PE PF BM+ = PE PF BM− = BMC CNB∆ ≅ ∆ MC BN= 90ANB∠ = ° 90MAC ABN∠ + ∠ = ° 90OMB∠ = ° 90MOB ABN∠ + ∠ = ° MAC MOB∠ = ∠ 90AMC OMB∠ = ∠ = ° AMC OMB∆ ∼ ∆ AM OM MC MB = · ·AM MB OM MC= ( ) ·AM PE PF OM BN× − = · · ·AM PF OM BN AM PE+ = ABC∆ 90BAC∠ = ° ABC∆ C A B C∆ ′ ′ α 90 180α° < < ° A D AC′ ⊥ D A D′ B C′ .E 15CA D′∠ = ° A EC′∠ EF BC F α EA EC EF′+ = P A D′ PA PF 2AB = PA PF+ 105° PA PF+ 6 2 6+ A CD′∠ A F′ EF CA′ O EF EM EC= CM CFA′∆48 证明 ，即可解决问题. （2）如图 2 中，连接 ， ， ，作 交 的延长线于 .证明 ， 推出 ，推出 ， 关于 对称，推出 ，推出 ，求出 即可解决问题. 【详解】解：（1）①旋转角为 ． 理由：如图 1 中， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴旋转角为 . ②证明：连接 ，设 交 于点 .在 时截取 ，连接 . ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ( )FCM A CE SAS′∆ ≅ ∆ = A F′ PB′ AB′ B M AC′ ⊥ AC M A EF A EB′ ′ ′∆ ≅ ∆ EF EB′= B′ F A E′ PF PB′= PA PF PA PB AB′ ′+ = + ≥ AB′ 105° A D AC′ ⊥ 90A DC′∠ = ° 15CA D′∠ = ° 75A CD′∠ = ° 105ACA′∠ = ° 105° A F′ EF CA′ O EF EM EC= CM 45 15 60CED A CE CA E′ ′∠ = ∠ + ∠ = °+ ° = ° 120CEA′∠ = ° FE CEA′∠ 60CEF FEA′∠ = ∠ = ° 180 45 75 60FCO∠ = °− °− ° = ° FCO A EO′∠ = ∠ FOC A OE′∠ = ∠ FOC A OE′∆ ∆ OF OC A O OE =′ OF A O OC OE ′= COE FOA′∠ = ∠ COE FOA′∆ ∆49 ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ 是等边三角形， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . （2）解：如图 2 中，连接 ， ， ，作 交 的延长线于 . 由②可知， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 关于 对称， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， ， ∴ . ∴ 的最小值为 . 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， 三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的 60FA O OEC′∠ = ∠ = ° A OF′∆ CF CA A F′ ′= = EM EC= 60CEM∠ = ° CEM∆ 60ECM∠ = ° CM CE= 60FCA MCE′∠ = ∠ = ° FCM A CE′∠ = ∠ ( )FCM A CE SAS′∆ ≅ ∆ FM A E′= CE A E EM FM EF′+ = + = A F′ PB′ AB′ B M AC′ ⊥ AC M 75EAF EA B′ ′ ′∠ = ∠ = ° A E A E′ ′= A F A B′ ′ ′= A EF A EB′ ′ ′∆ ≅ ∆ EF EB′= B′ F A E′ PF PB′= PA PF PA PB AB′ ′+ = + ≥ Rt CB M′∆ 2 2CB BC AB′ = = = 30MCB′∠ = ° 1 12B M CB′ ′= = 3CM = ( )22 2 22 3 1 6 2 6AB AM B M′ ′= + = + + = + PA PF+ 6 2 6+50 思想思考问题，属于中考压轴题.