1
题型 02 规律探索类试题
一、单选题
1．如图，在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为 2 米，圆心角为 的 多次复制并
首尾连接而成．现有一点 P 从 A(A 为坐标原点)出发，以每秒 米的速度沿曲线向右运动，则在第 2019
秒时点 P 的纵坐标为( )
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】B
【分析】先计算点 P 走一个 的时间，得到点 P 纵坐标的规律：以 1，0，-1，0 四个数为一个周期依次循
环，再用 2019÷4=504…3，得出在第 2019 秒时点 P 的纵坐标为是-1．
【详解】解：点运动一个 用时为 秒．
如图，作 于 D，与 交于点 E．
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴第 1 秒时点 P 运动到点 E，纵坐标为 1；
第 2 秒时点 P 运动到点 B，纵坐标为 0；
第 3 秒时点 P 运动到点 F，纵坐标为﹣1；
第 4 秒时点 P 运动到点 G，纵坐标为 0；
第 5 秒时点 P 运动到点 H，纵坐标为 1；
…，
∴点 P 的纵坐标以 1，0，﹣1，0 四个数为一个周期依次循环，
∵ ，
∴第 2019 秒时点 P 的纵坐标为是﹣1．
故选：B．
120°
AB
2
3
π
AB
AB
120 2 2 2180 3
π π× ÷ =
CD AB⊥ AB
Rt ACD∆ 90ADC °∠ = 1 602ACD ACB °∠ = ∠ =
30°∠ =CAD
1 1 2 12 2CD AC= = × =
2 1 1DE CE CD= − = − =
2019 4 504 3÷ = …2
【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点 P 纵坐标的规律：以 1，0，-1，0 四个数
为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．
2．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点 出发，按“向上→向右→向下→向右”
的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点 ，第二次移动到
点 ……第 次移动到点 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象可得移动 4 次图象完成一个循环，从而可得出点 的坐标．
【详解】 ， ， ， ， ， ，…，
，
所以 的坐标为 ，
则 的坐标是 ，
故选 C．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
3．观察等式： ； ； 已知按一定规律排列的
一组数： 、 、 、 、 、 ．若 ，用含 的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，一组数： 、 、 、 、 、 的和为 250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a＋
(2＋22＋…＋250)a，进而根据所给等式的规律，可以发现 2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案.
【详解】250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋2a＋22a＋…＋250a
＝a＋(2＋22＋…＋250)a，
O
1A
2A n nA 2019A
( )1010,0 ( )1010,1 ( )1009,0 ( )1009,1
2019A
( )1 0,1A ( )2 1,1A ( )3 1,0A ( )4 2,0A ( )5 2,1A ( )6 3,1A
2019 4 504 3÷ = ⋅⋅⋅
2019A ( )504 2 1,0× +
2019A ( )1009,0
2 32 2 2 2+ = − 2 3 42 2 2 2 2+ + = − 2 3 4 52 2 2 2 2 2+ + + = − ⋅⋅⋅
502 512 522 ⋅⋅⋅ 992 1002 502 a= a
22 2a a− 22 2 2a a− − 22a a− 22a a+
502 512 522 ⋅⋅⋅ 992 10023
∵ ，
，
，
…，
∴2＋22＋…＋250＝251－2，
∴250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋(2＋22＋…＋250)a
＝a＋(251－2)a
＝a＋(2 a－2)a
＝2a2－a ，
故选 C.
【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，仔细观察，发现其中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，
是按什么规律变化的是解题的关键.
4．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算．
【详解】解：原式＝
=
= ．
故选 B．
【点睛】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计
算．
5．已知有理数 ，我们把 称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是 ，-1 的差倒数是
．如果 ，a2 是 a1 的差倒数，a3 是 a2 的差倒数，a4 是 a3 的差倒数……依此类推，那么
的值是（ ）
A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5
2 32 2 2 2+ = −
2 3 42 2 2 2 2+ + = −
2 3 4 52 2 2 2 2 2+ + + = −
1 1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 7 9 37 39
+ + + + +× × × × ×
19
37
19
39
37
39
38
39
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 5 7 7 9 37 39
× − + − + − + − +⋅⋅⋅ −
1 1(1 )2 39
× −
19
39
1a ≠ 1
1 a−
1 =-11 2−
1 1=1 ( 1) 2− − 1 2a = −
1 2 100a a a+ + +4
【答案】A
【分析】求出数列的前 4 个数，从而得出这个数列以 ， ， 依次循环，且 ，再求出
这 100 个数中有多少个周期，从而得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，……
∴这个数列以-2， ， 依次循环，且 ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化
的因素，然后推广到一般情况．
6．如图，小聪用一张面积为 1 的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第 2019 次操作时，余下纸片的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方形的面积公式，即可推出操作次数与余下面积的关系式.
【详解】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积 ，
第二次：余下面积 ，
第三次：余下面积 ，
2− 1
3
3
2
1 3 12 3 2 6
− + + = −
1 2a = −
2
1 1
1 ( 2) 3a = =− −
3
1 3
1 21 3
a = =
− 4
1 231 2
a = = −
−
1
3
3
2
1 3 12 3 2 6
− + + = −
100 3 33 1÷ =
1 2 100
1 1533 2 7.56 2a a a + + + = × − − = − = −
20192 2018
1
2 2019
1
2 2020
1
2
1
1
2S =
2 2
1
2S =
3 3
1
2S =5
当完成第 2019 次操作时，余下纸片的面积为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查数字问题，熟练掌握计算法则是解题关键.
7．如图，在 中，顶点 ， ， ，将 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺
时针旋转，每次旋转 ，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为（ ）
A． B． C． ） D．
【答案】D
【分析】先求出 ，再利用正方形的性质确定 ，由于 ，所以第 70 次旋转
结束时，相当于 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转 2 次，每次旋转 ，此时旋转前后的
点 D 关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点 D 的坐标．
【详解】解： ， ，
，
四边形 ABCD 为正方形，
，
，
，
每 4 次一个循环，第 70 次旋转结束时，相当于 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转 2 次，
每次旋转 ，
点 D 的坐标为 ．
故选 D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求
出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如： ， ， ， ， ．
8．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 ( 为非负整数)展开式的项数及各项系数的
有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”.
2019 2019
1S 2
=
OAB∆ (0,0)O ( 3,4)A − (3,4)B OAB∆
90°
(10,3) ( 3,10)− (10, 3)− (3, 10)−
6AB = ( 3,10)D − 70 4 17 2= × +
OAB∆ 90°
( 3,4)A − (3,4)B
3 3 6AB∴ = + =
6AD AB∴ = =
( 3,10)D∴ −
70 4 17 2= × +
∴ OAB∆
90°
∴ (3, 10)−
30° 45° 60° 90° 180°
( )na b+ n6
则 展开式中所有项的系数和是( )
A．128 B．256 C．512 D．1024
【答案】C
【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾
两项系数都是 1，中间各项系数等于（a+b）n-1 相邻两项的系数和，各项系数和是 2n;
【详解】观察可得（a+b）n（n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：各项系数和是 2n;
所以， 展开式中所有项的系数和是 29=512.
故选：C
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规
律．
二、填空题
9．有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是 0，
第二个数是 1，那么前 6 个数的和是_____，这 2019 个数的和是_____．
【答案】0 2
【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决
【详解】．
解：由题意可得，
这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，
前 6 个数的和是： ，
，
0( ) 1a b+ =
1( )a b a b+ = +
2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + +
3 3 2 2 2( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + +
4 3 2 2 34 4( ) 4 6 4a b a a b a b ab b+ = + + + +
5( )a b+ 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5a a b a b a b ab b= + + + + +
⋅⋅⋅
9( )a b+
9( )a b+
∴ 0+1+1+0+( 1)+( 1)=0− −
2019 6 336 3÷ = …7
这 2019 个数的和是： ，
故答案为：0，2．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，每六个数重
复出现．
10．观察下列一组数：
，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第 个数 __________（用含 的式子表示）
【答案】
【分析】首先观察分母的变化规律，在观察分子的规律，写成比例式化简即可.
【详解】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为 ，
观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为 ，
∴ ；
故答案为 ；
【点睛】本题主要考查数的规律，这列题目是热点考题，应当熟练掌握.
11．按一定规律排列的一列数依次为： ， ， ， ，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数
中的第 n 个数是_______.(n 为正整数)
【答案】 .
【分析】根据题意写出前四项的数据，第 1 个数为 ，第 2 个数为 ，第 3 个数为
，第 4 个数为 ，进行观察，据此规律判断即可．
【详解】第 1 个数为 ，
第 2 个数为 ，
第 3 个数为 ，
∴ 0 336 (0 1 1) 2× + + + =
1 2 3 4 5
1 3 6 10 15, , , , ,3 5 9 17 33a a a a a= = = = = …
n na = n
1
( 1)
2 2n
n n
+
+
+
2 1n +
( 1)
2
n n +
1
( 1)
( 1)2
2 1 2 2n n n
n n
n na +
+
+= =+ +
1
( 1)
2 2n
n n
+
+
+
2
2
a−
5
5
a 8
10
a−
11
17
a
3 1
2( 1) 1
n
n a
n
−
− ⋅ +
3 1 1
1
2( 1) 1 1
a × −
− ⋅ +
2 3 1
2
2( 1) 2 1
a × −
− ⋅ +
3 3 1
3
2( 1) 3 1
a × −
− ⋅ +
3 4 1
4
2( 1) 4 1
a × −
− ⋅ +
3 1 1
1
2( 1) 1 1
a × −
− ⋅ +
2 3 1
2
2( 1) 2 1
a × −
− ⋅ +
3 3 1
3
2( 1) 3 1
a × −
− ⋅ +8
第 4 个数为 ，
…，
所以这列数中的第 n 个数是 .
故答案为 .
【点睛】此题考查数列中的规律，解题关键在于观察找出规律
12．如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ，过 上的点
作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，…依次
进行下去，则点 的横坐标为_____．
【答案】
【分析】根据题意得到 的横坐标为 ，即可得到点 的横坐标.
【详解】解：由题意可得，
， ， ， ， ， ，…，
可得 的横坐标为
，
点 的横坐标为： ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查数字类规律，解题的关键是读懂题意，得到 的横坐标为 .
13．如图，在以 为直角顶点的等腰直角三角形纸片 中，将 角折起，使点 落在 边上的点
（不与点 ， 重合）处，折痕是 ．
3 4 1
4
2( 1) 4 1
a × −
− ⋅ +
3 1
2( 1) 1
n
n a
n
−
− ⋅ +
3 1
2( 1) 1
n
n a
n
−
− ⋅ +
3
3y x= 3y x= − 1 2,l l 1l 1
31, 3A
x 2l 2A 2A y 1l 3A 3A x 2l 4A
2019A
10093−
2 1nA + 3 n（- ） 2019A
1
31, 3A
( )2 1, 3A − ( )3 3, 3A − − ( )4 3,3 3A −
5 9 3 3A（ ， ） 6 9, 9 3A −（ ）
2 1nA + 3 n（- ）
2019 2 1009 1× + ＝
∴ 2019A 1009 10093 3（- ） ＝-
10093−
2 1nA + 3 n（- ）
A ABC B B AC D
A C EF9
如图，当 时， ；
如图，当 时， ；
如图，当 时， ；
……
依此类推，当 （ 为正整数）时， _____．
【答案】
【分析】根据题意得到正切值的分子的规律和勾股数的规律，再进行计算即可得到答案.
【详解】观察可知，正切值的分子是 3，5，7，9，…， ，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数 3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…， ，
， 中的中间一个．
∴ .
故答案为 ．
【点睛】本题考查规律，解题的关键是由题意得到规律.
14．观察下列各式：
，
，
，
1
2CD AC= 1
3tan 4
α =
1
3CD AC= 2
5tan 12
α =
1
4CD AC= 3
7tan 24
α =
1
1CD ACn
= + n tan n
α =
2
2 1
2 2
n
n n
+
+
2 1n +
2 1n +
( )22 1
2
1n + − ( )22 1
2
1n + +
( )2 2
2 1 2 1tan 2 22 1 1
2
n
n n
n nn
α + += = ++ −
2
2 1
2 2
n
n n
+
+
2 2
1 1 1 11 1 1 11 2 1 2 2
+ + = + = + − ×
2 2
1 1 1 1 11 1 12 3 2 3 2 3
+ + = + = + − ×
2 2
1 1 1 1 11 1 13 4 3 4 3 4
+ + = + = + − ×
10
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
【答案】 ．
【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【详解】
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题
的关键．
15．有一列数，按一定规律排列成 其中某三个相邻数的积是 ，则这三个数的和是
_____．
【答案】-384
【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是 ，可以求得这
三个数，从而可以求得这三个数的和．
【详解】 一列数为
这列数的第 个数可以表示为 ，
其中某三个相邻数的积是 ，
设这三个相邻的数为
则
即
解得， ，
这三个数的和是： ，
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 2 2 3 3 4 2018 2019
+ + + + + + + + +…+ + +
20182018 2019
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 2 2 3 3 4 2018 2019+ + + + + + + + + + + +
1 1 1 1 11 1 1 12 2 3 2018 2019
= + − + + − + + + −
1 1 1 1 1 1 12018 1 2 2 3 3 4 2018 2019
= + − + − + − + + −
20182018 2019
=
20182018 2019
1, 2,4, 8,16, 32, ,− − − ⋅⋅⋅ 124
124
1, 2 4, 816, 32− − − …， ， ， ，
∴ n 1( 2)n−−
124
∴ 1 12 2 2n n n+﹣( ﹣ ) 、( ﹣ ) 、( ﹣ ) ，
1 1 122) 2) 2) 4( ( (n n n+• •﹣- - ﹣ ＝ ，
3 2 122 )2) n( - ＝( ，
3 24 24=(( 2) 2 2)n∴ - ＝ - ，
3 24n∴ ＝ ，
8n =
∴ 7 8 92) ( 2) ( 2)+ +( - - - ＝ 72) (1 2 4) 128) 3× − + ×( - ＝( - 384= −11
故答案为： ．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
16．如图，直线 分别交 轴、 轴于点 和点 ，过点 作 ，交 轴于点 ，过点
作 轴，交直线 于点 ；过点 作 ，交 轴于点 ，过点 作 轴，交直线
于点 ，依此规律…，若图中阴影 的面积为 ，阴影 的面积为 ，阴影 的面积
为 ，则 _______．
【答案】
【分析】由直线 可求出与 轴交点 的坐标，与 轴交点 的坐标，进而得到 ，
的长，也可求出 的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有
角的直角三角形，然后这个求出 、 、 、 、……根据规律得出 ．
【详解】解：直线 ，当 时， ；当 时，
，
又 ，
，
在 中， ，
；
同理可求出： ， ，
；
384−
: 1l y x= + x y A 1A 1A 1 1A B l⊥ x 1B 1B
1 2B A x⊥ l 2A 2A 2 2A B l⊥ x 2B 2B 2 3B A x⊥ l
3A 1 1AOB∆ 1S 2 1 2A B B∆ 2S 3 2 3A B B∆
3S nS =
2 23 4
6 3
n− ×
3: 13l y x= + x A y 1A OA 1OA
1Rt OAA∆ 30°
1S 2S 3S 4S nS
3: 13l y x= + 0x = 1y = 0y = 3x = −
∴ ( )3,0A − ( )1 0,1A
∴ 1 30OAA∠ = °
1 1A B l⊥
∴ 1 1 30OA B∠ °=
1 1Rt OA B∆
1 1
3 3
3 3OB OA= ⋅ =
∴
1 1 1
1 3
2 6S OA OB= ⋅ =
2 1
4
3A B =
1 2
4 3
3 3B B = ×
∴ 1 2 1 1 2
1
2S A B B B= ⋅
21 4 4 3 3 4
2 3 3 3 6 3
= × × × = × 12
依次可求出： ； ； ……
因此：
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查同学们对规律的归纳总结，关键在于根据简单的图形寻找规律.
17．如图，由两个长为 2，宽为 1 的长方形组成“7”字图形.
（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形 ，其中顶点 位于
轴上，顶点 ， 位于 轴上， 为坐标原点，则 的值为____.
（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点 ，摆放第三个“7”字图形得顶点 ，依此
类推，…，摆放第 个“7”字图形得顶点 ，…，则顶点 的坐标为_____.
【答案】（1） ； （2）
【分析】（1）根据题意可得 ， ，由同角的余角相等得 ，根据相似三角形判
定得 ，由相似三角形性质即可求得答案.（2）根据题意标好字母，根据题意可得，
， ， ，，在Rt△DCB 中，由勾股定理求得
，由（1）知 ，从而可得 ， ，，结合题意易得：
，根据相似三角形性质可得 ， ， ，
4
3
3 4
6 3S = ×
6
4
3 4
6 3S = ×
8
5
3 4
6 3S = ×
2 23 4
6 3
n
nS
− = ×
2 23 4
6 3
n− ×
ABCDEF A
x B D y O OB
OA
1F 2F
a -1nF 2019F
1
2
6062 5 ,405 55
1CD = 2CB = BDC OBA∠ = ∠
DCB BOA∆ ∆
1CD = 2CB = 1BA =
5BD = 1
2
DC OB
CB OA
= = 5
5OB = 2 5
5OA =
OAB GFA HCB∆ ∆ ∆
4 5
5BH = 2 5
5CH = 3 5
5AG =13
，，从而可得 ， ，观察这两点坐标知由点 到点 横坐标增加了
，纵坐标增加了 ，依此可得出规律： 的坐标为： ，将 n=2019 代入
即可求得答案.
【详解】（1）依题可得， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）根据题意标好字母，如图，
依题可得：
， ， ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ， ，
易得：
，
∴ ， ， ， ，
6 5
5FG = 2 5 , 55C
6 55, 5F
3 5
5
5
5 nF 3 5 6 5 55 ,5 5 5n n
+ +
1CD = 2CB =
90BDC DBC∠ + ∠ = ° 90OBA DBC∠ + ∠ = °
BDC OBA∠ = ∠
90DCB BOA∠ = ∠ = °
DCB BOA∆ ∆
1
2
DC OB
CB OA
= =
1CD = 2CB = 1BA =
5BD =
1
2
DC OB
CB OA
= =
5
5OB = 2 5
5OA =
OAB GFA HBC∆ ∆ ∆
4 5
5BH = 2 5
5CH = 3 5
5AG = 6 5
5FG =14
∴ ， ，
∴ ， ，
∴由点 到点 横坐标增加了 ，纵坐标增加了 ，
……
∴ 的坐标为： ，
∴ 的坐标为： ，
故答案为 ， .
【点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并
应用规律解决问题是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，若干个边长为 个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点 从原点
出发，以每秒 个单位长度的速度沿着等边三角形的边“ …”的路线
运动，设第 秒运动到 点为正整数），则点 的坐标是_____．
【答案】
【分析】如图，作 A1H⊥x 轴，根据等边三角形的性质以及三角函数的知识可求出 ， ，
同理可得 ， ， ， ， ，由此发现点的坐标变化的规
律即可求得结果.
【详解】如图，作 A1H⊥x 轴，
4 5 5 55 5OH = + = 3 5 2 5 55 5OG = + =
2 5 , 55C
6 55, 5F
C F 3 5
5
5
5
nF 3 5 6 5 55 ,5 5 5n n
+ +
2019F 3 5 6 5 55 2019, 20195 5 5
+ × + ×
6062 5 ,405 55
=
1
2
6062 5 ,405 55
1 P O
1 1 1 2 2 3 3 4 4 5OA A A A A A A A A→ → → →
n nP n（ 2019P
2019 3
2 2
，
1
1 3,2 2A
( )2 1,0A
3
3 3,2 2A
( )4 2,0A 5
5 3,2 2A
−
( )6 3,0A 7
7 3,2 2A
15
∵△OA1A2 是等边三角形，
∴∠A1OH=60°，OH= OA2= ，
∴A1H=A1O•sin60°=1× = ，
∴ ， ，
同理可得 ，
，
，
，
，
由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每 个点依次为： 这样循环，
2019÷6=336…3，
故答案为 .
【点睛】本题考查了规律题，涉及了等边三角形的性质，解直角三角形的应用，通过推导得出点的坐标的
变化规律是解题的关键.
19．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第 n
个“T”字形需要的棋子个数为_______．
1
2
1
2
3
2
3
2
1
1 3,2 2A
( )2 1,0A
3
3 3,2 2A
( )4 2,0A
5
5 3,2 2A
−
( )6 3,0A
7
7 3,2 2A
6 3 3 3,0, ,0, 02 2 2
− ，
2019
2019 3
2 2A
∴
，
2019 3
2 2
，16
【答案】3n+2.
【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第 n 个“T”字形需要的棋子个
数．
【详解】解：由图可得，
图①中棋子的个数为：3+2=5，
图②中棋子的个数为：5+3=8，
图③中棋子的个数为：7+4=11，
……
则第 n 个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）=3n+2，
故答案为：3n+2．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结
合的思想解答．
20．将被 3 整除余数为 1 的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵
则第 20 行第 19 个数是_____________________
【答案】625
【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第 20 行第 19 个数是多少，本题得以解
决．
【详解】由图可得，第一行 1 个数，第二行 2 个数，第三行 3 个数，…，则前 20 行的数字有：
1+2+3+…+19+20=210 个数，
∴第 20 行第 20 个数是：1+3（210-1）=628，
∴第 20 行第 19 个数是：628-3=625，
故答案为：625．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第 n
个数可以表示为 1+3（n-1）．
21．如图，四边形 是边长为 的正方形，以对角线 为边作第二个正方形 ，连接 ，
1
4 7
10 13 16
19 22 25 28
31 34 37 40 43
1 1OAA B 1 1OA 1 2 2OA A B 2AA17
得到 ；再以对角线 为边作第三个正方形 ，连接 ，得到 ；再以对角线
为边作第四个正方形，连接 ，得到 ……记 、 、 的面积分别为 、
、 ，如此下去，则 _____．
【答案】
【分析】首先求出 S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【详解】 四边形 是正方形，
，
，
，
∴，
，
，
同理可求： ， …，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查正方形的性质，规律型：图形变换，解题关键在于找到规律
22．如图所示，在平面直角坐标系 中，一组同心圆的圆心为坐标原点 ，它们的半径分别为 1，2，
3，…，按照“加 1”依次递增；一组平行线， ， ， ， ，…都与 x 轴垂直，相邻两直线的间距为 l，
1 2AA A∆ 2OA 2 3 3OA A B 1 3A A 1 2 3A A A∆ 3OA
2 4A A 2 3 4A A A∆ 1 2AA A∆ 1 2 3A A A∆ 2 3 1A A A∆ 1S
2S 3S 2019S =
20172
1 1OAA B
1 1 1 1OA AA A B∴ = = =
1
1 11 12 2S∴ = × × =
1 90OAA∠ =
2 1 1
1 1 1 2AO∴ = + =
2 2 3 2OA A A∴ = =
2
1 2 1 12S∴ = × × =
3
1 2 2 22S = × × = 4 4S =
22n
nS −∴ =
2017
2019 2S∴ =
20172
xOy O
0l 1l 2l 3l18
其中 与 轴重合若半径为 2 的圆与 在第一象限内交于点 ，半径为 3 的圆与 在第一象限内交于点
，…，半径为 的圆与 在第一象限内交于点 ，则点 的坐标为_____．（ 为正整数）
【答案】
【分析】连 ， ， ， 、 、 与 轴分别交于 、 、 ，在 中， ，
，由勾股定理得出 ，同理： ， ，……，得出 的
坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ，……，得出规律，即可得出结果．
【详解】连接 ， ， ， 、 、 与 轴分别交于 、 、 ，如图所示：
在 中 ， ，
∴ ，
同理： ， ，……，
∴ 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ，……，
…按照此规律可得点 的坐标是 ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题意得出规律是
解题的关键．
0l y 1l 1P 2l
2P 1n + nl nP nP n
( ), 2 1n n +
1OP 2OP 3OP 1l 2l 3l x 1A 2A 3A 1 1Rt OA P∆ 1 1OA =
1 2OP = 2 2
1 1 1 1 3A P OP OA= − = 2 2 5A P = 3 3 7A P = 1P
( )1, 3 2P ( )2, 5 3P ( )3, 7
1OP 2OP 3OP 1l 2l 3l x 1A 2A 3A
1 1Rt OA P∆ 1 1OA = 1 2OP =
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1 3A P OP OA= − = − =
2 2
2 2 3 2 5A P = − = 2 2
3 3 4 3 7A P = − =
1P ( )1, 3 2P ( )2, 5 3P ( )3, 7
nP ( )( )2 2, 1n n n+ − ( ), 2 1n n +
( ), 2 1n n +19
23．如图，点 在直线 上，点 的横坐标为 ，过 作 ，交 轴于点 ，以 为
边，向右作正方形 ，延长 交 轴于点 ；以 为边，向右作正方形 ，延长
交 轴于点 ；以 为边，向右作正方形 延长 交 轴于点 ；按照这个规律进行下
去，点 的横坐标为_____（结果用含正整数 的代数式表示）
【答案】
【分析】过点 分别作 轴， 轴， 轴，
轴， 轴，……垂足分别为 ,根据题意求出 ，
得到图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是 可以求出点 的横坐标为： ，
再依次求出 …… 即可求解.
【详解】解：过点 分别作 轴， 轴， 轴，
轴， 轴，……垂足分别为
点 在直线 上，点 的横坐标为 ，
点 的纵坐标为 ，
即：
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是
点 的横坐标为： ，
1B 1: 2l y x= 1B 2 1B 1 1B A l⊥ x 1A 1 1A B
1 1 2 1A B B C 2 1B C x 2A 2 2A B 2 2 3 2A B B C 3 2B C
x 3A 3 3A B 3 3 4 3A B B C 4 3B C x 4A …；
nC n
17 3
2 2
n− +
1 1 2 3 4B C C C C、 、 、 、 1B D x⊥ 1 1C D x⊥ 2 2C D x⊥
3 3C D x⊥ 4 4C D x⊥ 1 2 3 4D D D D D ……、 、 、 、 12, 1OD B D= =
1: 2， 1C
01 32 2 2
+ +
2, 3C C nC
1 1 2 3 4B C C C C、 、 、 、 1B D x⊥ 1 1C D x⊥ 2 2C D x⊥
3 3C D x⊥ 4 4C D x⊥ 1 2 3 4D D D D D ……、 、 、 、
1B 1: 2l y x= 1B 2
∴ 1B 1
12, 1OD B D= =
1: 2，
1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1
1
2
B D DA C D D A
OD A D A D C D
= = = = = ⋅⋅⋅
∴ 1C
01 32 2 2
+ + 20
点 的横坐标为：
点 C3 的横坐标为：
点 的横坐标为：
点 的横坐标为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是规律，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
24．数轴上 两点的距离为 4，一动点 从点 出发，按以下规律跳动：第 1 次跳动到 的中点 处，
第 2 次从 点跳动到 的中点 处，第 3 次从 点跳动到 的中点 处．按照这样的规律继续跳动
到点 （ ， 是整数）处，那么线段 的长度为_______（ ， 是整数）．
【答案】
2C
0 2 11 3 3 1 32 2 2 2 4 2
+ + + × + =
0 15 3 5 3
2 2 4 2
+ × +
0 0 11 3 3 1 32 2 2 2 4 2
+ + + × +
2 0 1 21 3 5 3 5 3 5 3
4 2 2 2 4 2 4 2
× + = + × + × +
4C
0 1 2 25 3 5 3 5 3 5 3
2 2 4 2 4 2 4 2
= + × + × + × +
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
nC
0 15 3 5 3 5
2 2 4 2 4
= + × + ×
2 3 43 5 3 5 3 5
2 4 2 4 2 4
+ × + × + ×
13
2
n− ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
0 1 2 3 45 5 3 3 3 3 3
2 4 2 2 2 2 2
= + + + + + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1 13 7 3
2 2 2
n n− − + = +
17 3
2 2
n− +
,O A P A AO 1A
1A 1AO 2A 2A 2A O 3A
4 5 6, , , , nA A A A 3n ≥ n nA A 3n ≥ n
2
14 2n−−21
【分析】根据题意，得第一次跳动到 OA 的中点 A1 处，即在离原点的长度为 ×4，第二次从 A1 点跳动到 A2
处，即在离原点的长度为（ ）2×4，则跳动 n 次后，即跳到了离原点的长度为（ ）n×4= ，再根据
线段的和差关系可得线段 AnA 的长度．
【详解】由于 OA=4，
所有第一次跳动到 OA 的中点 A1 处时，OA1= OA= ×4=2，
同理第二次从 A1 点跳动到 A2 处，离原点的（ ）2×4 处，
同理跳动 n 次后，离原点的长度为（ ）n×4= ，
故线段 AnA 的长度为 4- （n≥3，n 是整数）．
故答案为 4- ．
【点睛】考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题
目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规
律．
25．如图，将一等边三角形的三条边各 8 等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号 0、1、
2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为 8 的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在
建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边
交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点 A 的坐标可表示为(1，2，5)，点 B 的坐标可表
示为(4，1，3)，按此方法，则点 C 的坐标可表示为_______．
【答案】
【分析】根据点 A 的坐标可表示为（1，2，5），点 B 的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对
应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
【详解】解：根据点 A 的坐标可表示为（1，2，5），点 B 的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直
1
2
1
2
1
2 n-2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 n-2
1
2
n-2
1
2
n-2
1
2
( )2 4 2，，22
线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，所以点 C 的坐标可表示为
（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
26．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边 BC 上从左到右一次取点 D1、D2、D3、D4…；过
点 D1 作 AB、AC 的平行线分别交于 AC、AB 与点 E1、F1；过点 D2 作 AB、AC 的平行线分别交于 AC、AB 于点
E2、F2；过点 D3 作 AB、AC 的平行线分别交于 AC、AB 于点 E3、F3…，则 4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5
（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）=______．
【答案】40380.
【分析】由 D1E1∥AB ，D1F1∥AC，可得△CD1E1∽△CBA，△BD1F1∽△BCA，根据相似三角形的对应边成比例
结合 AB=5，AC=4，可得 ， ，再根据 CD1+BD1=BC，可求得 4D1E1+5D1F1=20，同理可
得 4D2E2+5D2F2=20，4D3E3+5D3F3=20，…，4D2019E2019+5D2019F2019=20，继而可求得答案.
【详解】∵D1E1∥AB ，D1F1∥AC，
∴△CD1E1∽△CBA，△BD1F1∽△BCA，
∴ ， ，
∵AB=5，AC=4，
∴ ， ，
又∵CD1+BD1=BC，
∴ ，
∴4D1E1+5D1F1=20，
同理：4D2E2+5D2F2=20，4D3E3+5D3F3=20，…，4D2019E2019+5D2019F2019=20，
∴4(D1E1+D2E2+…+D2019E2019)+5(D1F1+D2F2+…+D2019F2019)=2019×20=40380，
故答案为：40380.
【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，相似三角形的判定与性质等，准确识图，熟练掌握和运用
1 1 1
5
D E CD
CB
= 1 1 1
4
D F BD
BC
=
1 1 1D E CD
AB CB
= 1 1 1D F BD
AC BC
=
1 1 1
5
D E CD
CB
= 1 1 1
4
D F BD
BC
=
1 1 1 1 1 1 15 4
D E D F CD BD BC
CB BC BC
+ = + = =23
相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
27．在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，如图所示，依次作正方形 ，正方形
，正方形 ，正方形 ，…，点 ， ， ， ，…在直线 上，点 ，
， ， ,…在 轴正半轴上，则前 个正方形对角线的和是_____.
【答案】
【分析】根据题意可得 , , , ,进而计算每个正方形的对角线,再
求和即可.
【详解】解：根据根据题意可得 , , ,
所以可得正方形 的对角线为
正方形 的对角线为
正方形 的对角线为
正方形 的对角线为
正方形 的对角线为
所以前 个正方形对角线的和为
=
故答案为 .
【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据前面的简单的规律，总结出后面的规律.
28．如图，点 、 、 …在反比例函数 的图象上，点 、 、 ……在反比例函数
的图象上， ，且 ，则 （ 为
正整数）的纵坐标为______．（用含 的式子表示）
: 1l y x= + y 1A 1 1 1OA B C
1 2 2 2C A B C 2 3 3 3C A B C 3 4 4 4C A B C 1A 2A 3A 4A l 1C
2C 3C 4C x n
( )2 1 2n −
1 1OA = 2 1 2A C = 3 2 4A C = 1
1 2n
n nA C −
− =
1 1OA = 2 1 2A C = 3 2 4A C = 1
1 2n
n nA C −
− =
1 1 1OA B C 2
1 2 2 2C A B C 2 2
2 3 3 3C A B C 4 2
3 4 4 4C A B C 8 2
1n n n nC A B C− 12 2n−
n
1 12 2 2 4 2 8 2 2 2 (1 2 4 8 +2 ) 2n n− −+ + + + + = + + + + ( )2 1 2n −
( )2 1 2n −
1A 3A 5A ( )0ky xx
= > 2A 4A 6A
( )0ky xx
= − > 1 2 1 2 3 2 3 4OA A A A A A A A∠ = ∠ = ∠ = 60α⋅⋅⋅ = ∠ = ° 1 2OA = nA n
n24
【答案】
【分析】先证明 是等边三角形，求出 的坐标，作高线 ，再证明 是等边三角形，作高
线 ，设 ，根据 ，解方程可得等边三角形的边长和 的纵坐标，同理依
次得出结论，并总结规律：发现点 、 、 …在 轴的上方，纵坐标为正数，点 、 、 ……在
轴的下方，纵坐标为负数，可以利用 来解决这个问题．
【详解】过 作 轴于 ，
∵ ， ，
是等边三角形，
，
，
和 ，
过 作 轴于 ，
( )11 3( ) 1n n n+− − −
1OA E∆ 1A 1 1A D 2A EF∆
2 2A D 2
3,x xA
− 2
12OD xx
= + = 2A
1A 3A 5A x 2A 4A 6A x
1( 1)n+−
1A 1 1A D x⊥ 1D
1 2OA = 1 2 60OA A α∠ = ∠ = °
1OA E∴∆
( )1 1, 3A∴
3k∴ =
3y x
∴ = 3y x
= −
2A 2 2A D x⊥ 2D25
∵ ，
是等边三角形，
设 ，则 ，
中， ，
，
∵ ，
解得： （舍）， ，
，
，
即 的纵坐标为 ；
过 作 轴于 ，
同理得： 是等边三角形，
设 ，则 ，
中， ，
，
∵ ，
解得： （舍）， ；
，
，
即 的纵坐标为 ；
…
2 1 2 3 60A EF A A A∠ = ∠ = °
2A EF∴∆
2
3,x xA
− 2 2
3A D x
=
2 2Rt EA D∆ 2 2 30EA D∠ = °
2
1ED x
∴ =
2
12OD xx
= + =
1 1 2x = − 2 1 2x = +
2 2
2 1
EF x
∴ = = =
+
2( 2 1)
( 2 1)( 2 1)
− =
+ − 2( 2 1) 2 2 2− = −
2 2
3 3 3( 2 1)
2 1
A D x
= = = −
+
2A ( )3 2 1− −
3A 3 3A D x⊥ 3D
3A FG∆
3
3,A x x
3 3
3A D x
=
3 3Rt FA D∆ 3 3 30FA D∠ = °
3
1FD x
∴ =
3
12 2 2 2OD xx
= + − + =
1 2 3x = − 2 2 3x = +
2 2 2( 3 2) 2 3 2 2
3 2
GF x
∴ = = = − = −
+
3 3
3 3 3( 3 2)
3 2
A D x
= = = −
+
3A ( )3 3 2−26
（ 为正整数）的纵坐标为： ；
故答案为： ；
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形 度角的性
质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题．
29．如图，有一条折线 ，它是由过 ， ， 组成的折线依次平
移 8，16，24，…个单位得到的，直线 与此折线有 （ 且为整数）个交点，则 的值为
_____．
【答案】
【分析】观察可得 ，由直线 与此折线恰有 （ 且为整数）个交点，得点
在直线 上，故 .
【详解】∵ ， ， ， ，…，
∴ ．
∵直线 与此折线恰有 （ 且为整数）个交点，
∴点 在直线 上，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】考核知识点：一次函数图象和点的坐标规律.数形结合分析问题，寻找规律是关键.
三、解答题
30．（阅读）：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计
算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数
学思想．
（理解）：（1）如图，两个边长分别为 、 、 的直角三角形和一个两条直角边都是 的直角三角形拼
nA∴ n ( )11 3( ) 1n n n+− − −
( )11 3( ) 1n n n+− − −
30
1 1 2 2 3 3 4 4A B A B A B A B 1(0,0)A 1(4,4)B 2 (8,0)A
2y kx= + 2n 1n ≥ k
1
4n
−
(8 8,0)nA n − 2y kx= + 2n 1n ≥
1(8 ,0)nA n+ 2y kx= + 0 8 2nk= +
1(0,0)A 2 (8,0)A 3 (16,0)A 4 (24,0)A
(8 8,0)nA n −
2y kx= + 2n 1n ≥
1(8 ,0)nA n+ 2y kx= +
0 8 2nk= +
1
4k n
= −
1
4n
−
a b c c27
成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图 2， 行 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：
________；
（运用）：（3） 边形有 个顶点，在它的内部再画 个点，以（ ）个点为顶点，把 边形剪成若
干个三角形，设最多可以剪得 个这样的三角形．当 ， 时，如图，最多可以剪得 个这样的三
角形，所以 ．
①当 ， 时，如图， ；当 ， 时， ；
②对于一般的情形，在 边形内画 个点，通过归纳猜想，可得 （用含 、 的代数式表示）．请
对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
【答案】（1）见解析，故结论为：直角长分别为 、 斜边为 的直角三角形中 ；（2）
；（3）①6，3；② ，见解析.
【分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出
方程并整理．
（2）由图可知 行 列的棋子排成一个正方形棋子个数为 ，每层棋子分别为 ， ， ， ，…，
．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．
（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加 部分，即可得出结论．
【详解】（1）有三个 其面积分别为 ， 和 ．
n n 2n =
n n m m n+ n
y 3n = 3m = 7
7y =
4n = 2m = y = 5n = m= 9y =
n m y = m n
a b c 2 2 2+ =a b c
1 3 5 7 2 1+ + + + + − n ( )2 1+ −n m
n n 2n 1 3 5 7
2 1n −
2
Rt∆ 1
2 ab 1
2 ab 21
2 c28
直角梯形的面积为 ．
由图形可知：
整理得 ， ，
．
故结论为：直角长分别为 、 斜边为 的直角三角形中 ．
（2） 行 列的棋子排成一个正方形棋子个数为 ，每层棋子分别为 ， ， ， ，…， ．
由图形可知： ．
故答案为： ．
（3）①如图，当 ， 时， ，
如图，当 ， 时， ．
②方法 1．对于一般的情形，在 边形内画 个点，第一个点将多边形分成了 个三角形，以后三角形
内部每增加一个点，分割部分增加 部分，故可得 ．
方法 2．以 的二个顶点和它内部的 个点，共（ ）个点为顶点，可把 分割成
个互不重叠的小三角形．以四边形的 个顶点和它内部的 个点，共（ ）个点为顶点，可把四边形分
割成 个互不重叠的小三角形．故以 边形的 个顶点和它内部的 个点，共（ ）个点作
为顶点，可把原 n 边形分割成 个互不重叠的小三角形．故可得 ．
故答案为：① ， ；② ．
【点睛】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．
( )( )1
2 a b a b+ +
( )( )1
2 a b a b+ + 21 1 1
2 2 2ab ab c= + +
( )2 22a b ab c=+ + 2 2 22 2a b ab ab c=+ + +
∴ 2 2 2+ =a b c
a b c 2 2 2+ =a b c
n n 2n 1 3 5 7 2 1n −
2 1 3 5 7 2 1n n= + + + + + −
1 3 5 7 2 1+ + + + + − n
4n = 2m = 6y =
5n = 3m = 9y =
n m n
2 ( )2 1y n m= + −
ABC∆ m 3m + ABC∆ ( )3 2 1m+ −
4 m 4m +
( )4 2 1m+ − n n m m n+
( )2 1+ −n m ( )2 1y n m= + −
6 3 ( )2 1+ −n m
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