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一元二次方程根的判别式
教学目标：
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程。
2.能运用根的判别式判别方程根的情况和有关的推理论证。
3.会运用根的判别式求一元二次方程中系数的范围。
重点和难点
重点:用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；
难点:弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的
性质理解求根公式。
教学准备
教具准备：多媒体课件。
学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。
教学流程
一、创设情境，提出问题
1.先用公式法解下列方程：
（1） x2+4＝4x
（2） x2+2x＝3
（3） x2－x＋2＝0
然后回答下列问题：你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？（待学生做
完后，教师点评。（1）x1 = x2 = 2 ；（2）x 1 = 1 ，x2 = -3 ；（3）无实数根。）
2、发现问题
观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？
（学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中（1）有两个相等的实数根，（2）有两个
不相等的实数根，（3）没有实数根）
3、提出问题
教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：
一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的
实数根？它何时没有实数根？（板书课题，出示学习目标）2
二、探究新知
1、一元二次方程的根的判别式
活动 1 学生自学，初步感悟
请学生带着下面的问题，自学第 142 页至 143 页例 1，并注意分类讨论的思想方法的使用。
一般的，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，
它何时有两个相等的实数根？
何时有两个不相等的实数根？
何时没有实数根？
为什么说方程根的情况是由 b2-4ac 决定的？
教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备。
活动 2 合作交流，深入探究
请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交
流，关键让学生讲清每个结论的理由。
活动 3 师生合作，归纳提升（屏幕显示）：
由上面的讨论可见，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由 b2-4ac 来决定。因此，我们
把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。通常用符号“Δ”（希腊字母）来
表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac。
2、一元二次方程的根的判别方法
思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？
学生思考，师生共同得出：
结论 1 一般的，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当 Δ＞0 时，有两个不相等的实数根；
当 Δ＝0 时，有两个相等的实数根；
当 Δ＜0 时，没有实数根。
这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的值，就可以由它的
符号直接判别方程根的情况。
活动 4 应用迁移，发展能力
例 1.不解方程，判别下列方程的根的情况3
⑴ 3x2－x＋1 = 3x ⑵ 5（x2＋1）= 7x
⑶ x2－4x = －4
本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第（1）小题的解法，教师板书，以进一步
明确思路，强调解题方法及格式。
请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的步骤：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式 Δ=b2-4ac 是针对一般形式而言的，所以，不解方
程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：
一化（将一元二次方程化为一般形式）；
二算（确定 A.B.c 的值，算出 Δ 的值）；
三判断（根据结论 1 判别方程根的情况）。
（2）、（3）小题由学生完成，教师巡视。待学生做完后，教师请一名学生向大家公布自己的解题
结果，教师及时点评。
活动 5 逆向思考，拓展延伸
上面的结论 1 中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？（屏幕显示结论 1）
学生思考、交流并回答，教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到：
结论 2 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，
当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；
当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；
当方程没有实数根时，Δ＜0。
（将结论 2 与结论 1 放在同一幅幻灯片内展示，以便学生能更清楚地认识到二者的区别与联系）
例题 2 已知关于 x 的方程 x2－3x + k = 0，问 k 取何值时，这个方程有两个相等的实数根？
学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，其间，教师可以参与学生的讨论，然后请同学说出自己
的想法，教师视情况进行点拨：这道题中已知的是什么条件？要得出怎样的结论？应该使用结论
1 还是结论 2？
师生共同得到正确的思路，解题过程由学生自行完成后，教师展示参考答案，并再次强调解题根
据为结论 2。
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ= 0，
即 (－3)2－ 4k = 0， 解得 k= ，4
94
∴ k= 时，方程有两个相等的实数根。
变式：已知关于 x 的方程 x2－3x + k = 0，问 k 取何值时，这个方程有两个实数根？
学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，师生共同得到正确解题思路。
解：∵方程有两个实数根，
∴Δ≥0，
即 (－3)2－ 4k ≥ 0， 解得 k ≤ ，
∴ k≤ 时，方程有两个相等的实数根。
三、拓展延伸
例 4.设关于 x 的方程，x2-2mx-2m-4=0 证明:不论 m 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根.
四、当堂达标
1.一元二次方程 3x2-2x+1=0 的根的判别式的值为______ ，所以方程根的情况是_______________.
2.若一元二次方程 x2-ax+1=0 的两实根相等，则 a 的值是（ ）
A.a =0 B.a =2 或 a =-2 C.a =2 D.a =2 或 a =0
3. 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x(x +1)=3 .（2）2x2-9x+6=0
4、已知方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中，a 和 c 异号，试证明：此方程必有两个不相等的实数根。
（说明：当堂检测中的 1、2 两题，让学生思考、计算后抢答，并说明理由，第 3 题中的两小题
请两位同学到黑板前板演，待学生都做齐后由学生讲评。）
四、小结与评价
1、通过本节课的学习，你有哪些收获？
本节课的主要内容：
（1）、一元二次方程根的判别式的意义；
（2）、由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况（即结论 1）；
（3）、由一元二次方程根的情况判断根的判别式的符号（即结论 2）。
五、作业设计
课本第 145 页习题 4.5
必做题：第 1，3 题；
4
9
4
9
4
95
选做题：5 题.
板书设计
4.5 一元二次方程根的判别式
1、定义 例题解（1） 学生板演处
2、结论 1
结论 2
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