人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试卷（有答案）.docx

人教版九年级数学下册 第28章 锐角三角函数 单元测试卷 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________‎ ‎ 一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）‎ ‎1. 在Rt△ABC中，‎∠C=‎‎90‎‎∘‎，下列各式中正确的是（ ） ‎ A.‎sinA=sinB B.‎tanA=tanB C.‎sinA=cosB D.‎cosA=cosB ‎ 2. tan‎45‎‎∘‎的值是（ ） ‎ A.‎‎1‎ B.‎‎1‎‎2‎ C.‎‎2‎‎2‎ D.‎‎2‎ ‎ 3. 在Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的‎1‎‎5‎，那么锐角A的各个三角函数值（ ） ‎ A.都缩小‎1‎‎5‎ B.都不变 C.都扩大‎5‎倍 D.无法确定 ‎ 4. α为锐角，若sinα+cosα=‎‎2‎，则sinα-cosα的值为（ ） ‎ A.‎‎1‎‎2‎ B.‎‎±‎‎1‎‎2‎ C.‎‎2‎‎2‎ D.‎‎0‎ ‎ 5. 如图所示，已知AD是等腰‎△ABC底边上的高，且tan∠B=‎‎3‎‎4‎，AC上有一点E，满足AE:CE=2:3‎，则tan∠ADE的值是（ ）‎ A.‎‎3‎‎5‎ B.‎‎8‎‎9‎ C.‎‎4‎‎5‎ D.‎‎7‎‎9‎ ‎ 6. 如图，在边长为‎1‎的小正方形组成的网格中，‎△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（ ）‎ A.‎‎1‎ B.‎‎3‎‎5‎ C.‎‎10‎‎5‎ D.‎‎3‎‎4‎ ‎ 7. 已知：sin‎2‎‎32‎‎∘‎‎+cos‎2‎α=1‎，则锐角α等于（ ） ‎ A.‎‎32‎‎∘‎ B.‎‎58‎‎∘‎ C.‎‎68‎‎∘‎ D.以上结论都不对 ‎ 8. 在Rt△ABC中，‎∠C=‎‎90‎‎∘‎，sinA=‎‎4‎‎5‎，则tanB的值为（ ） ‎ A.‎‎4‎‎3‎ B.‎‎3‎‎4‎ C.‎‎3‎‎5‎ D.‎‎4‎‎5‎ ‎ 9. 已知‎∠A是锐角，且sinA=‎‎2‎‎2‎，那么‎∠A等于（ ） ‎ A.‎‎30‎‎∘‎ B.‎‎45‎‎∘‎ C.‎‎60‎‎∘‎ D.‎‎75‎‎∘‎ ‎ 10. ‎3tan‎60‎‎∘‎的值为（ ） ‎ A.‎‎3‎‎6‎ B.‎‎3‎ C.‎‎3‎‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎3‎ ‎ 二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）  ‎ ‎11. 如图，一楼高‎20m，一只鸽子从地面的A处沿倾斜角为‎30‎‎∘‎的方向直飞楼顶的B处，则鸽子飞行的路程是________．‎ ‎ 12. 如图，一艘轮船以‎20‎海里/小时速度从南向北航行，当航行至A处时，测得小岛C在轮船的北偏东‎45‎度的方向处，航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C在轮船的南偏东‎60‎度的方向处．若CB=40‎海里，则轮船航行的时间为________．‎ ‎ 13. ‎△ABC中，‎∠C:∠B:∠A=1:2:3‎，则三边之比a:b:c=‎________．  ‎ ‎14. 如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，BC=4‎米，‎∠A=‎‎30‎‎∘‎，则斜梁AB=‎________米．‎ ‎ ‎ ‎15. 如图，一束光线从y轴上点A(0, 1)‎出发，经过x轴上点C反射后经过点B(3, 3)‎，则光线从A点到B点经过的路线长是________．‎ ‎ 16. 市政府决定今年将‎12000m长的大堤的迎水坡面铺石加固．如图，堤高DF=4m，堤面加宽‎2m，坡度由原来的‎1:2‎改成‎1:2.5‎，则完成这一工程需要的石方数为________m‎3‎．‎ ‎ 17. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是‎1:‎‎3‎，则坡角‎∠A=‎________‎∘‎．‎ ‎ 18. 如图，为了测量某建筑物AB的高度，在地面上的C处测得建筑物顶端A的仰角为‎30‎‎∘‎，沿CB方向前进‎30m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为‎45‎‎∘‎，则建筑物AB的高度等于________m．‎ ‎ 19. 分别求出图中‎∠A、‎∠B的正切值：（其中‎∠C=‎‎90‎‎∘‎）， 由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两个锐角的正切值互为________．‎ ‎ 20. 如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东‎60‎‎∘‎的方向，前进‎20‎海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东‎30‎‎∘‎的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于________海里．‎ ‎ 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ， ） ‎ ‎21. 已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，用余弦、正切的定义证明：‎ ‎ （1）BC‎2‎=AB⋅BD； ‎ ‎（2）CD‎2‎=AD⋅BD．‎ ‎ ‎ ‎22. 如图，已知‎∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．‎ ‎ ‎(1)‎若‎∠EBP=‎‎40‎‎∘‎，‎∠FBP=‎‎20‎‎∘‎，PB=m，试比较PE、PF的大小； ‎ ‎(2)‎若‎∠EBP=α，‎∠FBP=β，α，β都是锐角，且α>β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．‎ ‎ ‎ ‎23. 已知：如图，在Rt△ABC中，‎∠C=‎‎90‎‎∘‎，AD平分‎∠BAC，AD=2‎‎3‎，AC=3‎．‎ ‎ ‎ ‎(1)‎求‎∠B；‎ ‎ ‎(2)‎求S‎△ABC．‎ ‎ ‎ ‎24. 如图，在坡角α为‎30‎‎∘‎的山顶C上有一座电视塔，在山脚A处测得电视塔顶部B的仰角为‎45‎‎∘‎，斜坡AC的长为‎400‎米，求电视塔BC的高．‎ ‎ 25. 天津北宁公园内的致远塔，塔高九层，塔内四周墙壁上镶钳着历史题材为内容的瓷板油彩画或青石刻浮雕，叠双向盘旋楼梯或电梯可达九层，津门美景尽收眼底，是我国目前最高的宝塔．某校数学情趣小组实地测量了致远塔的高度AB，如图，在C处测得塔尖A的仰角为‎45‎‎∘‎，再沿CB方向前进‎31.45m到达D处，测得塔尖A的仰角为‎60‎‎∘‎，求塔高AB（精确到‎0.1m，‎3‎‎≈1.732‎）‎ ‎ ‎ ‎26. 一架外国侦察机沿ED方向侵入我国领空进行非法侦察，我空军的战斗机沿AC方向与外国侦察机平行飞行，进行跟踪监视，我机在A处与外国侦察机B处的距离为‎50‎米，‎∠CAB为‎30‎‎∘‎，这时外国侦察机突然转向，以偏左‎45‎‎∘‎的方向飞行，我机继续沿AC方向以‎400‎米/秒的速度飞行，外国侦察机在C点故意撞击我战斗机，使我战斗机受损．问外国侦察机由B到C的速度是多少？（结果保留整数，参考数据‎2‎‎=1.414‎，‎3‎‎=1.723‎）‎ 答案 ‎1. C ‎2. A ‎3. B ‎4. D ‎5. B ‎6. D ‎7. A ‎8. B ‎9. B ‎10. D ‎11. ‎‎40m ‎12. ‎(1+‎3‎)‎小时 ‎13. ‎‎2:‎3‎:1‎ ‎14. ‎‎8‎ ‎15. ‎‎5‎ ‎16. ‎‎144000‎ ‎17. ‎‎30‎ ‎18. ‎‎15(‎3‎+1)‎ ‎19. 倒数 ‎20. ‎‎10‎‎3‎ ‎21. 解：‎(1)‎∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高， ∴‎∠ACB=∠CDB=‎‎90‎‎∘‎， 在Rt△ABC中， cosB=‎BCAB， 在Rt△DBC中， cosB=‎BDBC， ∴BCAB‎=‎BDBC，即BC‎2‎=AB⋅BD；‎(2)‎∵‎∠ACB=∠CDB=‎‎90‎‎∘‎， ∴‎∠ACD=∠B， 在Rt△ADC中， tan∠ACD=‎ADCD， 在Rt△DBC中， tanB=‎CDBD， ∴ADCD‎=‎CDBD，即CD‎2‎=AD⋅BD．‎ ‎22. 解：‎(1)‎在Rt△BPE中，sin∠EBP=PEBP=sin‎40‎‎∘‎ 在Rt△BPF中，sin∠FBP=PFBP=sin‎20‎‎∘‎ 又sin‎40‎‎∘‎>sin‎20‎‎∘‎ ∴PE>PF；‎(2)‎根据‎(1)‎得 sin∠EBP=PEBP=sinα，sin∠FBP=PFBP=sinβ 又∵α>β ∴sinα>sinβ ∴PE>PF．‎ ‎23. 解：‎(1)‎在Rt△ACD中，‎∠C=‎‎90‎‎∘‎，AD=2‎‎3‎，AC=3‎， 根据勾股定理得：CD=AD‎2‎-AC‎2‎=‎‎3‎， ∴CD=‎1‎‎2‎AD， ∴‎∠CAD=‎‎30‎‎∘‎， 又AD为‎∠BAC的平分线， ∴‎∠CAD=∠BAD=‎‎30‎‎∘‎，即‎∠CAB=2∠CAD=‎‎60‎‎∘‎， 则‎∠B=‎90‎‎∘‎-‎60‎‎∘‎=‎‎30‎‎∘‎；‎(2)‎∵‎∠BAD=∠B=‎‎30‎‎∘‎， ∴AD=BD=2‎‎3‎，又CD=‎‎3‎， ∴CB=CD+BD=3‎‎3‎， 则S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎AC⋅CB=‎1‎‎2‎×3×3‎3‎=‎‎9‎‎3‎‎2‎．‎ ‎24. 解：在Rt△ACD中，AC=400‎米，α=‎‎30‎‎∘‎， ∴CD=200‎米， AD=AC⋅cosα=400×‎3‎‎2‎=200‎‎3‎（米）． 又‎∠BAD=‎‎45‎‎∘‎，‎∠D=‎‎90‎‎∘‎， ∴‎∠B=‎‎45‎‎∘‎． ∴BD=AD=200‎‎3‎（米） ∴BC=BD-CD=200‎3‎-200=200(‎3‎-1)‎米． ∴电视塔BC高‎200(‎3‎-1)‎米．‎ ‎25. 塔高AB约为‎74.4‎米．‎ ‎26. 外国侦察机由B到C的速度是‎208m/s．‎