人教版九年级数学下册《第27章相似》单元测试题含答案.doc

人教版九年级数学下册 第 27 章《相似》单元测试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一．选择题（每小题3分，共10小题）‎ ‎1．已知a=2b，则下列选项错误的是（　　）‎ A．a+c=c+2b B．a﹣m=2b﹣m C． D．‎ ‎2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，如果AD：BD=2：3，那 么下列条件中能判断DE∥BC的是（　　）‎ A． = B． = C． = D． =‎ ‎3．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应面积的比为（　　）‎ A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9‎ ‎4．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（　　）‎ A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5‎ ‎5．如图，BE，CF为△ABC的两条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则AE的长为（　　）‎ A． B．4 C． D．‎ ‎6．下列说法中不正确的是（　　）‎ A．相似多边形对应边的比等于相似比 ‎ B．相似多边形对应角平线的比等于相似比 ‎ C．相似多边形周长的比等于相似比 ‎ D．相似多边形面积的比等于相似比 ‎7．如图，在菱形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，交于点O，若S△AOB：S△DOE=25：9，则CE：BC等于（　　）‎ A．2：5 B．3：5 C．16：25 D．9：25‎ ‎8．如图，l1∥l2∥l3，BC=1， =，则AB长为（　　）‎ A．4 B．2 C． D．‎ ‎9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则S△ABE：S△ECF等于（　　）‎ A．1：2 B．4：1 C．2：1 D．1：4‎ ‎10．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是（　　）‎ A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④‎ ‎　‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二．填空题（每小题3分，共8小题）‎ ‎11．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若=，AE=4，则EC等于　 　．‎ ‎12．如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE=2AD，AE=2，那么AC=　 　．‎ ‎13．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC=5，△ABC的面积是10，那么这个正方形的边长是　 　．‎ ‎14．如图，△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连CF并延长交AB于E，已知=，则等于　 　．‎ ‎15．从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，她要穿约　 　cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到1cm）．‎ ‎16．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，延长AE与BC延长线交于点F，则FC：FB=　 　．‎ ‎17．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则点D到线段AB的距离等于（结果保留根号）　 　．‎ ‎18．如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是AB边的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，若∠DFE=45°，PF=，则DP的长为　 　；则CE=　 　．‎ ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎19．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：‎ ‎（1）△BAF∽△BCE．‎ ‎ （2）△BEF∽△BCA．‎ ‎20．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．‎ ‎（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 　；‎ ‎（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；‎ ‎（3）四边形AA2C2C的面积是　 　平方单位．‎ ‎21．如图，实验中学某班学生在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆BE测量学校体育馆的高度．若标杆BE的高为1.5米，测得AB=2米，BC=14米，求学校体育馆CD的高度．‎ ‎22．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFMN的一边MN在边BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，其中BC=24cm，高AD=12cm．‎ ‎（1）求证：△AEF∽△ABC：‎ ‎（2）求正方形EFMN的边长．‎ ‎23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，FC=3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G ‎（1）求证：△ABE∽△DEF；‎ ‎（2）若正方形的边长为4，求△BEG的面积．‎ ‎24．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC的长．‎ ‎（1）若AB=12，BE=3，求EF的长；‎ ‎（2）求∠EOF的度数；‎ ‎（3）若OE=OF，求的值．‎ ‎25．已知：正方形ABCD中，AB=4，E为CD边中点，F为AD边中点，AE交BD于G，交BF于H，连接DH．‎ ‎（1）求证：BG=2DG；‎ ‎（2）求AH：HG：GE的值；‎ ‎（3）求的值．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．【解答】解：A、因为a=2b，所以a+c=c+2b，正确；‎ B、因为a=2b，所以a﹣m=2b﹣m，正确；‎ C、因为a=2b，所以，正确；‎ D、因为a=2b，当b≠0，所以，错误；‎ 故选：D．‎ ‎2．【解答】解：只有选项B正确，‎ 理由是：∵AD：BD=2：3，‎ ‎∴=，‎ ‎∵=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴==，‎ ‎∵∠DAE=∠BAC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴∠ADE=∠B，‎ ‎∴DE∥BC，‎ 根据选项A、C、D的条件都不能推出DE∥BC，‎ 故选：B．‎ ‎3．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，‎ ‎∴对应面积的比为（）2=9：4，‎ 故选：C．‎ ‎4．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，‎ ‎∴DM∥BC，DM=ME=BC．‎ ‎∴△NDM∽△NBC， ==．‎ ‎∴=．‎ 故选：B．‎ ‎5．【解答】解：∵BE，CF为△ABC的两条高，‎ ‎∴∠AEB=∠AFC=90°，‎ ‎∵∠A=∠A，‎ ‎∴△AEB∽△AFC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠A=∠A，‎ ‎∴△AEF∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AB=6，BC=5，EF=3，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AE=，‎ 故选：A．‎ ‎6．【解答】解：若两个多边形相似可知：①相似多边形对应边的比等于相似比；‎ ‎②相似多边形对应角平线的比等于相似比 ‎③相似多边形周长的比等于相似比，‎ ‎④对应面积的比等于相似比的平方，‎ 故选：D．‎ ‎7．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形 ‎∴AB=BC=CD，CD∥AB ‎∴△AOB∽△EOD ‎∴S△AOB：S△DOE=（AB）2：（DE）2=25：9‎ ‎∴AB：DE=5：3‎ ‎∴设AB=5a，则DE=3a ‎∴BC=CD=5a，EC=2a ‎∴EC：BC=2：5‎ 故选：A．‎ ‎8．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，BC=1， =，‎ ‎∴==，‎ ‎∴AB=，‎ 故选：C．‎ ‎9．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，‎ ‎∵AE⊥EF，‎ ‎∴∠AEF=∠B=90°，‎ ‎∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，‎ ‎∴∠BAE=∠CEF，‎ ‎∴△BAE∽△CEF，‎ ‎∴S△ABE：S△ECF=AB2：CE2，‎ ‎∵E是BC的中点，‎ ‎∴BC=2CE=AB ‎∴==，即S△ABE：S△ECF=4：1‎ 故选：B．‎ ‎10．【解答】解：①错误，假设∠BAD=∠ABC，则=，‎ ‎∵=，‎ ‎∴==，显然不可能，故①错误．‎ ‎②正确．连接OD．‎ ‎∵GD是切线，‎ ‎∴DG⊥OD，‎ ‎∴∠GDP+∠ADO=90°，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠ADO=∠OAD，‎ ‎∵∠APF+∠OAD=90°，∠GPD=∠APF，‎ ‎∴∠GPD=∠GDP，‎ ‎∴GD=GP，故②正确．‎ ‎③正确．∵AB⊥CE，‎ ‎∴=，‎ ‎∵=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠CAD=∠ACE，‎ ‎∴PC=PA，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACQ=90°，‎ ‎∴∠ACP+∠QCP=90°，∠CAP+∠CQP=90°，‎ ‎∴∠PCQ=∠PQC，‎ ‎∴PC=PQ=PA，‎ ‎∵∠ACQ=90°，‎ ‎∴点P是△ACQ的外心．故③正确．‎ ‎④正确．连接BD．‎ ‎∵∠AFP=∠ADB=90°，∠PAF=∠BAD，‎ ‎∴△APF∽△ABD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AP•AD=AF•AB，‎ ‎∵∠CAF=∠BAC，∠AFC=∠ACB=90°，‎ ‎∴△ACF∽△ABC，‎ 可得AC2=AF•AB，‎ ‎∵∠ACQ=∠ACB，∠CAQ=∠ABC，‎ ‎∴△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ•CB，‎ ‎∴AP•AD=CQ•CB．故④正确，‎ 故选： B．‎ ‎　‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎11．【解答】解：∵DE∥BC， =，‎ ‎∴AE：AC=AD：AB=2：3，‎ ‎∴AE：EC=2：1．‎ ‎∵AE=4，‎ ‎∴CE=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎12．【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴∠DEB=∠EBC，‎ ‎∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE=∠EBC，‎ ‎∴∠DEB=∠DBE，‎ ‎∴DB=DE，‎ ‎∵DE=2AD，‎ ‎∴BD=2AD，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴EC=4，‎ ‎∴AC=AE+EC=2+4=6，‎ 故答案为6．‎ ‎13．【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，‎ ‎∵△ABC的面积是10，‎ ‎∴BC•AH=10，‎ ‎∴AH=4，‎ 设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=4﹣x，‎ ‎∵GF∥BC，‎ ‎∴△AGF∽△ABC，‎ ‎∴=，即=，解得x=，‎ 即正方形DEFG的边长为．‎ 故答案为．‎ ‎14．【解答】解：作DG∥CE，如图，‎ ‎∵DG∥CE，‎ ‎∴==，‎ 设BG=2x，则GE=3x，‎ ‎∵EF∥DG，‎ ‎∴==1，‎ ‎∴AE=EG=3x，‎ ‎∴==．‎ 故答案为：．‎ ‎15．【解答】解：设她要穿xcm的高跟鞋，‎ 由题意得， =0.618，‎ 解得x=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎16．【解答】解：作EH⊥AB于H．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠D=∠DAH=∠EHA=90°，‎ ‎∴四边形AHED是矩形，‎ ‎∴AD=BC=EH，DE=AH，‎ ‎∵AB=2BC，设AD=BC=a，则AB=CD=2a，‎ 在Rt△AEH中，AE=AB=2a，EH=AD=a，‎ ‎∴AH==a，‎ ‎∴EC=BH=2a﹣a，‎ ‎∵EC∥AB，‎ ‎∴△FEC∽△FAB，‎ ‎∴===，‎ 故答案为 ‎17．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，‎ ‎∴=（）2=4，‎ ‎∵S△ABC=，‎ ‎∴S△ADE=，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，△ABC∽△ADE，‎ ‎∴△ADE是等边三角形，‎ ‎∴AD2=，‎ ‎∴AD=1．‎ 如图，过点D作DH⊥AB于H．‎ 在△ADH中，∵∠HAD=45°，‎ ‎∴DH=AD•sin∠HAD=1×=．‎ 故答案为．‎ ‎18．【解答】解：如图，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB=90°，∠DCP=45°，‎ ‎∵点M是AB边的中点，‎ ‎∴AM=BM=1，‎ 在Rt△ADM中，DM==，‎ ‎∵AM∥CD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DP=，‎ ‎∵PF=，‎ ‎∴DF=DP﹣PF=﹣=，‎ ‎∵∠EDF=∠PDC，∠DFE=∠DCP=45°，‎ ‎∴△DEF∽△DPC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴DE=，‎ ‎∴CE=CD﹣DE=2﹣=．‎ 故答案为：，．‎ ‎　‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎19．【解答】解：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，‎ ‎∴∠AFB=∠CEB=90°，‎ ‎∵∠B=∠B，‎ ‎∴△BAF∽△BCE．‎ ‎（2）∵△BAF∽△BCE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠B=∠B，‎ ‎∴△BEF∽△BCA．‎ ‎20．【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；‎ ‎（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，‎ ‎（3）四边形AA2C2C的面积是=；‎ 故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）7.5‎ ‎21．【解答】解：依题意得BE∥CD，‎ ‎∴△AEB∽△ADC，‎ ‎∴，即，‎ 则CD=12．‎ ‎22．【解答】（1）证明：∵四边形EFMN是正方形，‎ ‎∴EF∥BC，‎ ‎∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，‎ ‎∴△AEF∽△ABC．‎ ‎（2）解：设正方形EFMN的边长为x．‎ ‎∵△AEF∽△ABC，AD⊥BC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴x=8，‎ ‎∴正方形的边长为8cm．‎ ‎23．【解答】（1）证明：设正方形的边长为4a，‎ ‎∵E为AD的中点，‎ ‎∴AE=ED=2a，‎ ‎∵FC=3DF，‎ ‎∴DF=a，FC=3a，‎ ‎∴=， =，‎ ‎∴=，又∠A=∠D=90°，‎ ‎∴△ABE∽△DEF；‎ ‎（2）∵AD=4，‎ ‎∴DE=2，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴△EDF∽△GCF，‎ ‎∴==3，‎ ‎∴CG=6，‎ ‎∴BG=BC+CG=10，‎ ‎∴△BEG的面积=×BG×AB=20．‎ ‎24．【解答】解：（1）设BF=x，则FC=BC﹣BF=12﹣x，‎ ‎∵BE=3，且BE+BF+EF=BC，‎ ‎∴EF=9﹣x，‎ 在Rt△BEF中，由BE2+BF2=EF2可得32+x2=（9﹣x）2，‎ 解得：x=4，‎ 则EF=9﹣x=5；‎ ‎（2）如图，在FC上截取FM=FE，连接OM，‎ ‎∵C△EBF的周长=BE+EF+BF=BC，则BE+EF+BF=BF+FM+MC，‎ ‎∴BE=MC，‎ ‎∵O为正方形中心，‎ ‎∴OB=OC，∠OBE=∠OCM=45°，‎ 在△OBE和△OCM中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△OBE≌△OCM，‎ ‎∴∠EOB=∠MOC，OE=OM，‎ ‎∴∠EOB+∠BOM=∠MOC+∠BOM，即∠EOM=∠BOC=90°，‎ 在△OFE与△OFM中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△OFE≌△OFM（SSS），‎ ‎∴∠EOF=∠MOF=∠EOM=45°．‎ ‎（3）证明：由（2）可知：∠EOF=45°，‎ ‎∴∠AOE+∠FOC=135°，‎ ‎∵∠EAO=45°，‎ ‎∴∠AOE+∠AEO=135°，‎ ‎∴∠FOC=∠AEO，‎ ‎∵∠EAO=∠OCF=45°，‎ ‎∴△AOE∽△CFO．‎ ‎∴===，‎ ‎∴AE=OC，AO=CF，‎ ‎∵AO=CO，‎ ‎∴AE=×CF=CF，‎ ‎∴=．‎ ‎25．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∵AB∥CD，AB=CD，‎ ‎∵DE=CE，‎ ‎∴==，‎ ‎∴BG=2DG．‎ ‎（2）解：∵∵AB∥CD，AB=CD，‎ ‎∵DE=CE，‎ ‎∴===，‎ 在Rt△ADE中，∵AD=4，DE=2，‎ ‎∴AE=2，‎ ‎∴EG=，‎ 同法可得BF=2，‎ ‎∵AB=AD，∠BAF=∠ADE，AF=DE，‎ ‎∴△BAF≌△ADE，‎ ‎∴∠ABF=∠DAE，‎ ‎∵∠DAE+∠BAH=90°，‎ ‎∴∠ABF+∠BAH=90°，‎ ‎∴∠AHB=90°，‎ ‎∴AE⊥BF，‎ ‎∴AH===，‎ ‎∴HG=2﹣﹣=，‎ ‎∴AH：HG：GE=：： =6：4：5．‎ ‎（3）作DM⊥AE于M．‎ 由（2）可知：DM=AH=，‎ ‎∴EM==，‎ ‎∴HM=EH﹣EM=，‎ ‎∴DH=，‎ ‎∵BH==，‎ ‎∴==．‎ ‎　‎