第27章相似
一、选择题
1.如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（ ）
A. B. C. D.
2.已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应边之比为（ ）
A. 3：4 B. 2：3 C. 9：16 D. 3：2
3.已知△ABC∽△A′B′C′，sinA=m，sinA′=n，则m和n的大小关系为（ ）
A. m＜n B. m＞n C. m=n D. 无法确定
4.已知△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的对应高之比为（ ）
A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4
5.三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示。若OA=20cm，OA′=50cm ， 则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）
A. 5：2 B. 2：5 C. 4：25 D. 25：4
6.如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（ ）．
A. 1：2 B. 1：3 C. 2：3 D. 3：2
7.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，直线l1∥l2∥l3 ， 直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么 的值等于（ ）
A. B. C. D.
9.如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S1 ， S2 ， S3。若S1+ S3=20，则S2的值为 ( )
A. 8 B. 10 C. 12 D.
10.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD=6，BD=4，则AB的长为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
11.如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）
A. ∠D=∠B B. ∠E=∠C C. D.
12.如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为（）
A. 0.6m B. 1.2m C. 1.3m D. 1.4m
二、填空题
13.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是________ ．
14.已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为________ cm．
15. 已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是 ________．
16.如图，直线l1∥l2∥l3 ， 直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB=2，BC=4，BD=1.5，则线段BE的长为________ ．
17.如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，DC=AC．在AB上取一点E得△ADE．若图中两个三角形相似，则DE的长是________ ．
18.在比例尺为1：6000的地图上，图上尺寸为1cm×2cm的矩形操场，实际尺寸为________．
19.已知△ABC中的三边a=2，b=4，c=3，ha ， hb ， hc分别为a，b，c上的高，则ha：hb：hc=________．
20.有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab=________ cm2
21.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=6，则AE=________．
22. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则APn的长度是________．
三、解答题（共3题；共15分）
23.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G
（1）求证：△AMF∽△BGM；
（2）连接FG，如果α=45°，AB=4， BG=3，求FG的长．
24.如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长BC=20米，斜坡坡面上的影子CD=8米，太阳光AD与水平地面BC成30°角，斜坡CD与水平地面BC成45°的角，求旗杆AB的高度．（=1.732，=1.414，=2.449，精确到1米）．
25.又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去参观“三军会师纪念塔”．下面是两位同学的一段对话：
甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；
乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；
甲：我们的身高都是1.6m；
乙：我们相距36m．
请你根据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．（精确到1米）
26. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若 ，求 的值．
27. 如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A﹣C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm2 ． 已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；
（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？
参考答案
一、选择题
C D C A B B B D A D D D
二、填空题
13. 1：3
14. 4
15. （﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）
16. 3
17. 6或8
18. 60m×120m
19. 6：3：4
20. 54
21. 2
22.
三、解答题
23. 证明：（1）∵∠DME=∠A=∠B=α，
∴∠AMF+∠BMG=180°﹣α，
∵∠A+∠AMF+∠AFM=180°，
∴∠AMF+∠AFM=180°﹣α，
∴∠AFM=∠BMG，
∴△AMF∽△BGM；
（2）解：当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=2，
∵△AMF∽△BGM，
∴，
∴AF===，AC=BC=4•cos45°=4，
∴CF=AC﹣AF=4﹣=，CG=BC﹣BG=4﹣3=1，
∴FG== =．
24. 解：延长AD交BC于E点，则∠AEB=30°，
作DQ⊥BC于Q，
在Rt△DCQ中，∠DCQ=45°，DC=8，
∴DQ=QC=8sin45°=8×=4，
在Rt△DQE中，QE=≈9.8（米）
∴BE=BC+CQ+QE≈35.5（米）
在Rt△ABE中，AB=BEtan30°≈20（米）
答：旗杆的高度约为20米．
25. 解：如图，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，
在Rt△AHF中，∵tan∠AFH=，
∴FH=，
在Rt△ADH中，∵tan∠ADH=，
∴DH=，
而DH﹣FH=DF，
∴﹣=36，即﹣=36，
∴AH=18，
∴AB=AH+BH=18+1.6≈33（m）．
答：纪念塔的高度约为33m．
26. （1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵ ，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ =1．
27. （1）解：△DOE是等腰三角形． 理由如下：过点A作AM⊥BC于M，
∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，
∴AM= × = a，AC=AB= a，
∴S△ABC= BC•AM= a2 ，
∴P在边AB上时，
y= •S△ABC= ax，
P在边AC上时，
y= •S△ABC= a2﹣ ax，
作DF⊥OE于F，
∵AB=AC，点P以1cm/s的速度运动，
∴点P在边AB和AC上的运动时间相同，
∴点F是OE的中点，
∴DF是OE的垂直平分线，
∴DO=DE，
∴△DOE是等腰三角形
（2）解：由题意得：∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°， ∴AM= × = a，
∴AB= a，
∴D（ a， a2），
∵DO=DE，AB=AC，
∴当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，
在Rt△DOF中，tan∠DOF= = = a，
由 a=tan30°= ，得a= ，
∴当a= 时，△DOE∽△ABC．
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