7.4 综合与实践 排队问题
●教学目标
1.知识与技能：通过练习，进一步理解掌握列一元一次不等式和不等式组解决实际问题，提
高问题和解决问题的能力。
2.过程与方法：通过练习，进一步理解列一元一次不等式和不等式组解决实际问题步骤，建
立数学模型，把实际问题转化为一元一次不等式（组）的求解问题。
3.情感态度与价值观：引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与
钻研精神。
●教学重难点：
重难点：运用一元一次不等式（组）解决实际问题。
●教学过程
一、复习引入
列一元一次不等式组解实际问题，同列一元一次不等式解决实际问题一样，它的一般步骤是
什么？请回忆。
二、新知探究
问题 1 某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按顾客“先到达，先服务”的方式服务，
该窗口每 2min 服务一名顾客。已知当窗口开始工作时，已经有 6 位顾客在等待，在窗口开
始工作 1min 后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后每 5min 都有一位“新顾客”到达。
（1）设 e1,e2,…e6 表示当窗口开始工作时已经在等待的 6 位顾客，C1,C2,…Cn 表示在窗口
开始工作以后，按先后顺序到达的“新顾客”，请将下面表格补充完整（这里假设 e1,e2,…e6
的到达时间为 0）.
顾客 e1 e2 e3 e4 e5 e6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 、、、
到 达 时 间
/min
0 0 0 0 0 0 1
服 务 开 始 时
间
0 2 4
服 务 结 束 时
间
2 4 6
(2)下面表示每一位顾客得到服务之前所需要等待的时间，试将该表格补充完整。顾客 e1 e2 e3 e4 e5 e6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 、、、
等 待 时 间
/min
0 2 4 6 8 8 5
(3)根据上述两个表格，能否知道“新顾客中”，哪一位是第一位到达服务机构而不需要排队
的？求出他的到达时间。
(4)在第一位不需要排队的顾客到达之前，该窗口已经服务了多少位顾客？为这些顾客服务
共花费了多少时间?
(5)平均等待时间是一个重要的服务质量指标，为考察服务质量，问排队现象消失之前，所
有顾客的平均等待时间是多少？
三、合作探究
（1）
顾客 e1 e2 e3 e4 e5 e6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 、、、
到 达 时 间
/min
0 0 0 0 0 0 1 6 11 16 21 26
服 务 开 始 时
间
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 21 26
服 务 结 束 时
间
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 23 28
（2）下面表示每一位顾客得到服务之前所需要等待的时间，试将该表格补充完整。
顾客 e1 e2 e3 e4 e5 e6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 、、、
等 待 时 间
/min
0 2 4 6 8 10 11 8 5 2 0 0
(3) C5 是第一位到达服务机构而不需要排队的，他到达的时间是第 21min。(4)已经服务了 10 位顾客，为这些顾客服务共花费了 10×2=20（min））
(5) (0+2+4+6+8+10+11+8+5+2)÷10=5.6(min)
问题 2 在问题 1 的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，如果已经有 10 位顾客在等待，
（其他条件不变），且当“新顾客”Cn 离去时，排队现象就此消失了。即 cn+1 为第一位到达
后不需要排队的“新顾客”，
问：（1）用关于 n 的代数式来表示在第一位不需要排队的“新顾客” cn+1 到达之前，该窗
口已经服务了多少位顾客？为这些顾客服务共花费了多少时间?
解：该窗口已经服务了（10+n）位顾客。为这些顾客服务共花费 了 2（10+n）min，
即（20+2n）min.
（2）用关于 n 的代数式来表示 cn+1 的到达时间。
解：顾客 cn+1 到达的时间是﹝1+5（n+1）-1﹞min，
即（1+5n）min.
（3）根据（1）和（2）得到的代数式以及他们的数量关系,求 n+1 的值。
解：因为在 cn+1 到达服务机构之前，该窗口为顾客服务所花费的时间小于等于 cn+1 的到达时
间，根据此数量关系，得 20+2n≤1+5n.
解这个不等式，得 n≥ .所以 n+1≥ .
因为 n+1 为正整数，所以 n+1=8.
四、当堂练习
小明到学校食堂买饭，看到 A，B 两窗口前面排队的人一样多（设为
a 人，a 大于 8），就站在 A 窗口队伍的后面排队。多了 2 分钟他发现 A 窗口每分钟有 4 人买
了饭离开队伍，B 窗口每分钟有 6 人买了饭离开队伍，且 B 窗口队伍后面每分钟增加 5 人。
3
19
3
22（1）若小杰继续在 A 窗口排队，则他到达 A 窗口的时间是多少？（用
含 a 的代数式表示）
（2）此时，若小杰迅速从 A 窗口的队伍转移到 B 窗口的队伍后面重新排队，且到达 B 窗口
的时间比继续在 A 窗口排队到达 A 窗口所花的时间少，则人数 a 要超过多少人？（不考虑其
他因素）
五、小结 本节课你学习了哪些内容?
六、作业 选做题：课本上第 40 页问题 3
必做题：基础训练第 26 页
板书设计
7.4 综合与实践 排队问题
一、复习 三、合作探究
问题 2
五、小结
二、新知探究
问题 1
四、当堂练习 六、作业
教学反思：
利用一元一次不等式组解应用题关键是找出所有可能表达题意的不等关系，再根据各个
不等关系列出相应的不等式，组成不等式组。在教学时要让学生养成检验的习惯，感受运用
数学知识解决问题的过程，提高实际操作能力。
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