2019年春八年级数学下册第1章直角三角形1.1直角三角形的性质与判定Ⅰ第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及应用练习新版湘教版.docx

1 课时作业(二) [1.1　第 2 课时　含 30 °角的直角三角形的性质及应用]　　 　 　　 　　　 　　 　　　　　 　 一、选择题 1．如图 K－2－1，一棵大树在一次强台风中从距离地面 5 米处折断倒下，倒下部分与 地面成 30°角，则这棵大树在折断前的高度是(　　) 图 K－2－1 A．10 米 B．15 米 C．25 米 D．30 米 2．如图 K－2－2，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D 为斜边 AB 的中点， 则图中与线段 AC 的长度相等的线段有(　　) 　 图 K－2－2 A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．3 条 3．如图 K－2－3，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高，∠A＝30°，AB＝4， 则 BD 的值为(　　) 图 K－2－3 A．3 B．2 C．1 D. 1 2 4．已知三角形的三个内角度数之比为 1∶2∶3，若这个三角形的最短边长为 2，则它 的最长边长为(　　) A．2 B．2 2 C．3 D．3 2 5．如图 K－2－4，AB⊥BC 于点 B，AD∥BC，BE⊥CD 于点 E，CE＝ 1 2BC，E 为 CD 的中点， 那么∠ADB 的度数为(　　) 　 图 K－2－4 A．75° B．60° C．45° D．无法确定2 6．2018·郴州如图 K－2－5，∠AOB＝60°，以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧交 OA， OB 分别于点 C，D；分别以点 C，D 为圆心，以大于 1 2CD 的长为半径作弧，两弧相交于点 P； 以 O 为端点作射线 OP，在射线 OP 中截取 OM＝6，则点 M 到 OB 的距离为(　　) 图 K－2－5 A．6 B．2 C．3 D．3 3 7．如图 K－2－6，已知∠1＝∠2，AD＝BD＝4，CE⊥AD 于点 E，2CE＝AC，那么 CD 的长 是(　　) 图 K－2－6 A．2 B．3 C．1 D．1.5 二、填空题 8．若直角三角形的两个锐角的度数比是 2∶1，斜边长为 8，则这个直角三角形最短的 边长为________． 9．如图 K－2－7，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D.若 BC＝ 1 2AB，则∠ DCB＝________°. 图 K－2－7 10．如图 K－2－8，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 平分∠CAB，交 BC 于点 D. 若 CD＝1，则 BD＝________． 图 K－2－8 11．如图 K－2－9，在△ABC 中，∠C＝90°，DE 垂直平分 AB 于点 E，交 AC 于点 D，AD ＝2BC，则∠A＝________°.链接听课例2归纳总结 图 K－2－93 12．如图 K－2－10，已知∠AOB＝60°，点 P 在 OA 上，OP＝8，点 M，N 在边 OB 上，PM ＝PN.若 MN＝2，则 OM＝________． 图 K－2－10 三、解答题 13．如图 K－2－11，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，E 是边 BC 的中点，BF∥ AC，EF∥AB，EF＝4 cm.求： (1)∠F 的度数； (2)AB 的长. 图 K－2－11 14．如图 K－2－12，△ABC 是等边三角形，D 为 BC 边的中点，DE⊥AC 于点 E.试探索线 段 CE 与线段 AC 之间的数量关系，并说明理由． 图 K－2－12 15．如图 K－2－13，在等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 BC，AC 上的点，且 CD＝AE，AD4 与 BE 相交于点 P. (1)求证：∠ABE＝∠CAD； (2)若 BH⊥AD 于点 H，求证：PB＝2PH. 图 K－2－13 16．如图 K－2－14，∠AOP＝∠BOP ＝15°，PC∥OA，PD⊥OA 于点 D.若 PC＝4，求 PD 的长． 图 K－2－14 1．分类讨论思想在△ABC 中，AB＝AC＝10 cm，BD 是高，且∠ABD＝30°，求 CD 的长 2．图形全等与变换如图 K－2－15，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 是 AB 上一 点，∠ACD＝15°，点 B，E 关于 CD 对称，连接 BE 交 CD 于点 H，交 AC 于点 G，连接 DE 交 AC5 于点 F. (1)求∠ADF 的度数； (2)求证：AF＝CG. 图 K－2－156 详解详析 课堂达标 1．[解析] B　由“在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半”可知大树折断部分的高度是 10 米，则大树在折断前的高度是 5＋10＝15(米)． 2．[解析] D　由“在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半”可知，AC＝ 1 2AB＝AD＝BD.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 可知 CD＝ 1 2AB，所以 AC＝AD＝BD＝CD.故选 D. 3．[解析] C　∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴CB＝ 1 2AB＝2，∠B＝60°.∵CD 是 AB 边上高，∴∠BDC＝90°， ∴∠BCD＝30°， ∴BD＝ 1 2BC＝1. 4．[解析] B　设三个内角的度数分别为 x°，(2x)°，(3x)°，则 x＋2x＋3x＝180， 解得 x＝30，∴三个内角分别为 30°，60°，90°，∴这个三角形是直角三角形，30°角所 对的直角边为最短边，斜边为最长边．∵最短边长为 2，∴它的最长边为 2 2. 5．[解析]B　由 BE⊥CD，CE＝ 1 2BC，根据“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边 的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°”得∠EBC＝30°.又由 BE 垂直平分 CD 得△BCD 为等腰三角形，所以∠DBE＝∠EBC＝30°，根据“两直线平行，内错角相等”得到∠ADB＝∠ DBC＝60°.故选 B. 6．[解析] C　由作图知，OP 是∠AOB 的平分线，点 M 到 OB 的距离即为垂线段的长，根 据直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得点 M 到 OB 的距离是 3. 7．[解析] A　在 Rt△AEC 中，由 CE AC＝ 1 2，可以得到∠1＝∠2＝30°.又∵AD＝BD＝4，得 到∠B＝∠2＝30°，从而求出∠ACD＝90°，然后由直角三角形的性质求出 CD 的长． 8．4 9．[答案] 30 [解析] ∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝ 1 2AB，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°.∵CD⊥ AB，垂足为 D，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝30°. 10．[答案] 2 [解析] ∵在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.∵AD 平分∠CAB，∴∠ CAD＝∠BAD＝ 1 2∠CAB＝30°，∴∠BAD＝∠B，∴AD＝BD.∵CD＝1，∴AD＝2CD＝2， ∴BD＝AD＝2. 11．[答案] 15 [解析] 连接 BD.∵DE 垂直平分 AB 于点 E，∴AD＝BD＝2BC，∴在 Rt△BCD 中，∠BDC＝ 30°.又∵BD＝AD，∴∠A＝∠DBA＝ 1 2∠BDC＝15°. 12．[答案] 37 [解析] 如图，过点 P 作 PC⊥MN 于点 C.∵PM＝PN，∴C 为 MN 的中点，即 MC＝NC＝ 1 2MN＝ 1.∵在 Rt△OPC 中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°， ∴OC＝ 1 2OP＝4，则 OM＝OC－MC＝4－1＝3. 13．解：(1)∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°. ∵EF∥AB， ∴∠BEF＝∠ABC＝60°. ∵BF∥AC， ∴∠EBF＝∠C＝90°， ∴∠F＝30°. (2)∵∠EBF＝90°，∠F＝30°，EF＝4 cm， ∴BE＝ 1 2EF＝2 cm. ∵E 是边 BC 的中点，∴BC＝4 cm. ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝8 cm. 14．解：CE＝ 1 4AC.理由： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠C＝60°，BC＝AC. ∵D 是△ABC 中 BC 边的中点， ∴BD＝CD. 又∵∠C＝60°，DE⊥AC， ∴∠CDE＝30°， ∴CE＝ 1 2CD＝ 1 4BC＝ 1 4AC. 即 CE＝ 1 4AC. 15．证明：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴BA＝AC，∠CAB＝∠C＝60°. 又∵AE＝CD， ∴△ABE≌△CAD， ∴∠ABE＝∠CAD. (2)∵∠BPH＝∠BAD＋∠ABP＝∠BAD＋∠CAD＝60°，BH⊥AD 于点 H， ∴∠EBH＝30°， ∴在 Rt△PBH 中，PB＝2PH.8 16．解：过点 P 作 PQ⊥OB 于点 Q，则∠PQO＝∠PDO＝90°. ∵∠DOP＝∠QOP＝15°，∠PDO＝∠PQO＝90°，OP＝OP，∴△OPD≌△OPQ， ∴PD＝PQ.∵PC∥OA， ∴∠QCP＝∠BOD＝∠AOP＋∠BOP＝30°， ∴PQ＝ 1 2PC＝2.故 PD＝2. 素养提升 1．解：分两种情况讨论． (1)如图①，当△ABC 为锐角三角形时，在 Rt△ABD 中，∠ABD＝30°，则 AD＝ 1 2AB＝5 cm，∴CD＝AC－AD＝5 cm. (2)如图②，当△ABC 为钝角三角形时，在 Rt△ABD 中，∵∠ABD＝30°，∴AD＝ 1 2AB＝5 cm，∴CD＝AC＋AD＝15 cm. 2．解：(1)∵在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAD＝∠CBA＝45°. ∵∠ACD＝15°， ∴∠CDB＝∠ACD＋∠CAD＝60°. ∵点 B，E 关于 CD 对称， ∴∠EDC＝∠CDB＝60°， ∴∠ADF＝180°－60°－60°＝60°. (2)证明：如图，过点 A 作 AM⊥AC 交 ED 的延长线于点 M，则∠FAM＝90°＝∠GCB，∠MAD ＝90°－45°＝45°＝∠CAD. ∵∠MAD＝45°，∠ADF＝60°， ∴∠M＝60°－45°＝15°＝∠ACD. ∵点 B，E 关于 CD 对称， ∴CD⊥BE，∴∠CHG＝90°， ∴∠CGB＋∠ACD＝90°. ∵∠GCB＝90°， ∴∠CGB＋∠CBG＝90°， ∴∠CBG＝∠ACD＝15°＝∠M. 在△ACD 和△AMD 中， ∵∠CAD＝∠MAD，∠ACD＝∠M，AD＝AD， ∴△ACD≌△AMD，∴AC＝AM.9 又∵AC＝BC， ∴AM＝BC. 在△FAM 和△GCB 中， ∵∠M＝∠CBG，AM＝CB，∠FAM＝∠GCB， ∴△FAM≌△GCB， ∴AF＝CG.