1
课时作业(四)
[1.2 第 2 课时 勾股定理的应用]
一、选择题
1．如图 K－4－1 所示，一文物 C 被探明位于点 A 地下 24 m 处，由于点 A 地面下有障碍
物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离点 A 10 m 的 B 处斜着挖掘，那么要找到文物至少要
挖( )
链接听课例1归纳总结
图 K－4－1
A．20 m B．24 m C．26 m D．34 m
2．2017·绍兴如图 K－4－2，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙时，
梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米，顶端距离地面 2.4 米，如果保持梯子底端位置不动，将
梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2 米，则小巷的宽度为( )
图 K－4－2
A．0.7 米 B．1.5 米 C．2.2 米 D．2.4 米
3．如图 K－4－3，将一根长 24 cm 的筷子放入底面直径为 5 cm，高为 12 cm 的圆柱形水
桶中．设筷子露在水桶外面的长度为 h cm，则 h 的最小值是( )
图 K－4－3
A．13 cm B．12 cm
C．11 cm D．9 cm
4．自动门开启的联动装置如图 K－4－4 所示，∠AOB 为直角，滑竿 AB 为定长 100 cm，
端点 A，B 可分别在 OA，OB 上滑动，当滑竿 AB 的位置如图所示时，OA＝80 cm.若端点 A 向
上滑动 10 cm，则端点 B 滑动的距离( )2
图 K－4－4
A．大于 10 cm B．等于 10 cm
C．小于 10 cm D．不能确定
二、填空题
5．如图 K－4－5，一条公路的两边 AB∥CD，在 AB 上有两棵树 M，N，在另一边 CD 上有
一棵树 P，测得 M，N 相距 50 m，∠MPC＝30°，∠NPD＝75°，则公路的宽度为________m.
图 K－4－5
6．如图 K－4－6 是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM
＝4 米，AB＝8 米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高 CD 为________米(结果精确
到 0.1 米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)．
图 K－4－6
7．2018·黄冈如图 K－4－7，圆柱形玻璃杯高为 14 cm，底面周长为 32 cm，在杯内壁
离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对
的 A 处 ， 则 蚂 蚁 从 外 壁 A 处 到 内 壁 B 处 的 最 短 距 离 为 ________cm( 杯 壁 厚 度 不 计 ).
链接听课例2归纳总结
图 K－4－7
三、解答题
8．如图 K－4－8，甲、乙两船同时从 A 港出发，甲船沿北偏东 35°方向，以每小时 12
海里的速度向 B 岛驶去，乙船沿南偏东 55°方向向 C 岛驶去，2 小时后，两船同时到达目的
地．若 C，B 两岛的距离为 30 海里，则乙船的航速是多少？
图 K－4－83
9．如图 K－4－9，在长为 12 cm，宽为 10 cm 的长方形零件上钻两个半径为 1 cm 的孔，
孔心离零件边沿的距离都是 2 cm，求两个孔心之间的距离．
图 K－4－9
10．如图 K－4－10，∠AOB＝90°，OA＝45 cm，OB＝15 cm，一机器人在点 B 处看见一
个小球从点 A 出发沿着 AO 方向匀速滚向点 O，机器人立即从点 B 出发，沿直线匀速前进拦
截小球，恰好在点 C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机
器人行走的路程 BC 是多少？
图 K－4－10
11．如图 K－4－11 所示，一根长 2.5 米的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)4
上，此时 OB 的长为 0.7 米，设木棍的中点为 P.若木棍 A 端沿墙下滑，且 B 端沿地面向右滑
行．
(1)如果木棍的顶端 A 沿墙下滑 0.4 米，那么木棍的底端 B 向外移动多少米？
(2)请判断木棍滑动过程中，点 P 到点 O 的距离是否发生变化，并简述理由．
(3)在木棍滑动过程中，当滑动到什么位置时，△AOB 的面积最大？请简述理由，并求
出面积的最大值.链接听课例1归纳总结
图 K－4－11
构造法的应用如图 K－4－12，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交会，且∠QPN＝30°，点 A 处有
一所中学，AP＝160 m，假设拖拉机行驶时，周围 100 m 以内会受到噪声的影响，那么拖拉机
在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由．若受影响，已知拖
拉机的速度为 18 km/h，则学校受噪声影响的时间为多少秒？
图 K－4－125
详解详析
课堂达标
1．[解析] C 在 Rt△ABC 中，BC＝ AB2＋AC2＝ 102＋242＝26(m)．
2．[解析] C 如图，由题意，得 AC＝2.4 米，BC＝0.7 米，在 Rt△ABC 中，AB＝
2.42＋0.72＝2.5 米，又因为 AB＝BD，所以在 Rt△BDE 中，BE＝ BD2－DE2＝ 2.52－22＝
1.5(米)，则小巷的宽度为 BC＋BE＝0.7＋1.5＝2.2(米)．
3．C
4．[解析] A 如图，在 Rt△AOB 中，已知∠AOB＝90°，AB＝100 cm，OA＝80 cm，根据
勾股定理，得 OB＝60 cm.若端点 A 向上滑动 10 cm，则 OA′＝90 cm.在 Rt△OA′B′中，已
知 A′B′＝100 cm，OA′＝90 cm，则根据勾股定理，得 OB′＝ 1900 cm＜50 cm，故 BB′
＝OB－OB′＞10 cm.
5．[答案] 25
[解析] 过点 M 作 ME⊥CD 于点 E.
∵∠MPC＝30°，∠NPD＝75°，
∴∠MPN＝75°.
∵AB∥CD，
∴∠MNP＝∠NPD＝75°，
∴∠MPN＝∠MNP，
∴MP＝MN＝50 m.
在 Rt△MPE 中，
∵∠MPC＝30°，
∴ME＝
1
2MP＝25 m.
故答案为 25.
6．[答案] 2.9
[解析] ∵AM＝4 米，∠MAD＝45°，
∴DM＝4 米．
∵AM＝4 米，AB＝8 米，
∴MB＝12 米．
∵在 Rt△MBC 中，∠MBC＝30°，
∴BC＝2MC，
∴MC2＋MB2＝(2MC)2，6
即 MC2＋122＝(2MC)2，
∴MC＝4 3，则 DC＝4 3－4≈2.9(米)．
7．[答案] 20
[解析] 如图，将该圆柱的侧面展开，由题意得 BC＝32÷2＝16，A′C＝14－5＋3＝12，
在 Rt△A′BC 中，A′B＝ 162＋122＝20，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 20 cm.
8．解：根据题意，得 AB＝12×2＝24(海里)，BC＝30 海里，∠BAC＝90°，∴AC2＋AB2
＝BC2，
∴AC2＝BC2－AB2＝302－242＝324，
∴AC＝18 海里．
故乙船的航速为 18÷2＝9(海里/时)．
答：乙船的航速为 9 海里/时．
9．解：如图，过圆心 O 作 BC 的平行线，过圆心 E 作 CD 的平行线，两线相交于点 F，
则 OF⊥EF.
∵长方形的长为 12 cm，宽为 10 cm，两圆的半径均为 1 cm，孔心离零件边沿都是 2
cm，
∴EF＝CD－2－2＝12－2－2＝8(cm)，
OF＝BC－2－2＝10－2－2＝6(cm)．
在 Rt△EOF 中，OE＝ OF2＋EF2＝ 62＋82＝10(cm)．
答：两个孔心之间的距离为 10 cm.
10．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，
∴BC＝AC.
设 AC＝x cm，
则 BC＝x cm，OC＝(45－x)cm.
由勾股定理可知 OB2＋OC2＝BC2，
即 152＋(45－x)2＝x2，
解得 x＝25.
答：机器人行走的路程 BC 是 25 cm.
11．解：(1)如图①，设顶端 A 下滑至 C 处，顶端 B 向外移至 D 处．
在 Rt△ABO 中，已知 AB＝2.5 米，OB＝0.7 米，则 AO＝ 2.52－0.72＝2.4(米)．
∵AO＝AC＋OC，AC＝0.4 米，
∴OC＝2 米．
∵在 Rt△CDO 中，CD＝AB＝2.5 米，
∴OD＝ CD2－OC2＝1.5 米，
∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(米)．
答：木棍的底端 B 向外移动 0.8 米．7
(2)不变．理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．由于斜边 AB 的长度
不变，故斜边上的中线 OP 的长度不变．
(3)当△AOB 的斜边上的高 h 等于中线 OP 时，△AOB 的面积最大．如图②，若 h 与 OP 不
相等，则总有 h＜OP，故根据三角形的面积公式，可知当 h 与 OP 相等时，△AOB 的面积最大，
此时 S△AOB＝
1
2AB·h＝
1
2×2.5×1.25＝1.5625(米 2)．
故△AOB 的最大面积为 1.5625 米 2.
素养提升
解： 如图所示，过点 A 作 AB⊥MN，B 为垂足．
在 Rt△ABP 中，
∵∠APB＝30°，AP＝160 m，
∴AB＝
1
2AP＝80 m.
∵点 A 到直线 MN 的距离小于 100 m，
∴这所中学会受到噪声的影响．假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处时，学
校开始受到噪声影响，那么 AC＝100 m.
由勾股定理，得 BC＝60 m.
同理，假设拖拉机行驶到点 D 处时，学校开始脱离噪声影响，则 AD＝100 m，
∴BD＝60 m，∴CD＝120 m.
18 km/h＝5 m/s，120÷5＝24(s)．
即学校受噪声影响的时间为 24 s.
微信/支付宝扫码支付