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课时作业(六)
[1.3 直角三角形全等的判定]
一、选择题
1．如图 K－6－1，BC⊥AC，BD⊥AD，且 BC＝BD，则利用____可说明△ABC 和△ABD 全等
( )
图 K－6－1
A．SAS B．AAS C．ASA D．HL
2．如图 K－6－2，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于
点 F，则图中全等三角形共有( )
图 K－6－2
A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对
3．下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是( )
A．已知两个锐角
B．已知两条直角边
C．已知一条直角边和斜边
D．已知一个锐角和一条直角边
4．如图 K－6－3，∠ACB＝∠EDB＝90°，AC＝ED，则下列条件中，不能使△ABC≌△EBD
成立的是( )
图 K－6－3
A．∠A＝∠E B．AB＝BD
C．BC＝BD D．∠ABE＝∠CBD
二、填空题
5．如图 K－6－4，MN∥PQ，AB⊥PQ，点 A，D，B，C 分别在直线 MN 与 PQ 上，点 E 在 AB
上，AD＋BC＝7，AD＝BE，DE＝EC，则 AB＝________．2
图 K－6－4
6．2018·金华如图 K－6－5，△ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F，请添加一个条件，
使 得 △ ADC ≌ △ BEC( 不 添 加 其 他 字 母 及 辅 助 线 ) ， 你 添 加 的 条 件 是
__________________________．
图 K－6－5
7．如图 K－6－6，在△ABC 中，∠C＝90°，DE⊥AB 于点 D，交 AC 于点 E.若 BC＝BD，AC
＝5 cm，则 AE＋ED＝________ cm.
图 K－6－6
三、解答题
8．2017·孝感如图 K－6－7，已知 AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E，F，BF＝
DE，求证：AB∥CD.链接听课例1归纳总结
图 K－6－7
9．如图 K－6－8，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D 是 AC 边上一点，点 E 在 BC
的延长线上，且 AE＝BD，BD 的延长线与 AE 交于点 F.试通过观察、测量、猜想等方法来探
索 BF 与 AE 有何特殊的位置关系，并证明你猜想的正确性．
图 K－6－83
10.如图 K－6－9，AB＝AE，BC＝ED，AF⊥CD 于点 F，∠B＝∠E.求证：AF 平分∠BAE.
图 K－6－9
11．如图 K－6－10，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，交 CB 于点 D，过点 D
作 DE⊥AB 于点 E.
(1)求证：△ACD≌△AED；
(2)若∠B＝30°，CD＝1，求 BD 的长．
图 K－6－104
12．如图 K－6－11，AB＝AC，点 D，E 分别在 AC，AB 上，AG⊥BD，AF⊥CE，垂足分别
为 G，F，且 AG＝AF.求证：AE＝AD.
图 K－6－11
探究题如图 K－6－12 所示，在△ABC 中，AB＝AC，DE 是过点 A 的直线，BD⊥DE 于点 D，CE⊥
DE 于点 E.
(1)若点 B，C 在 DE 的同侧(如图 K－6－12①)且 AD＝CE，求证：BA⊥AC.
(2)若点 B，C 在 DE 的两侧(如图 K－6－12②)且 AD＝CE，则 AB 与 AC 仍垂直吗？若垂直，
请予以证明；若不垂直，请说明理由．
图 K－6－125
详解详析
课堂达标
1．[解析] D ∵AB 是 Rt△ABC 与 Rt△ABD 的公共斜边，BC，BD 是对应的直角边，∴利用
HL 可说明这两个直角三角形全等．故选 D.
2．[解析] B 由图形特点凭直觉有△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD，△BED≌△CFD，再
利用全等三角形的判定定理进行验证．
由 AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
得△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠B＝∠C.
又∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴DE＝DF.
在 Rt△AED 和 Rt△AFD 中，
∵AD＝AD，DE＝DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)．
故图中有 3 对全等三角形．故选 B.
3．[解析] A A 项，已知两个锐角，不能作出唯一直角三角形．B 项，符合全等三角形
的判定，能作出唯一直角三角形．C 项，符合全等三角形的判定，能作出唯一直角三角
形．D 项，符合全等三角形的判定，能作出唯一直角三角形．故选 A.
4．[解析] B A 符合 ASA；C 符合 SAS；D 符合 AAS；B 不是对应边．故选 B.
5．[答案] 7
[解析] ∵MN∥PQ，AB⊥PQ，
∴AB⊥MN，
∴∠DAE＝∠EBC＝90°.
在 Rt△ADE 和 Rt△BEC 中，
DE＝EC，AD＝BE，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)，
∴AE＝BC.
∵AD＋BC＝7，
∴AB＝BE＋AE＝AD＋BC＝7.
6．DC＝EC(答案不唯一)
7．[答案] 5
[解析]连接 BE.∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠EDB＝90°.在 Rt△BDE 和 Rt△BCE 中，
BD＝BC，BE＝BE，∴Rt△BDE≌Rt△BCE，∴ED＝EC，∴AE＋ED＝AE＋EC＝AC＝5 cm.故答案
为 5.
8．证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BF＝DE，
∴BF＋EF＝DE＋EF，
即 BE＝DF.
又∵AB＝CD
∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL)，
∴∠B＝∠D，6
∴AB∥CD.
9．解：猜想：BF⊥AE.
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°.
又∵CB＝CA，BD＝AE，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC，
∴∠CBD＝∠CAE.
又∵∠CAE＋∠E＝90°，
∴∠CBD＋∠E＝90°，
∴∠BFE＝90°，即 BF⊥AE.
10．证明：连接 AC，AD.
∵AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，
∴△ABC≌△AED(SAS)，
∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD.
在 Rt△ACF 和 Rt△ADF 中，
∵AC＝AD，AF＝AF，
∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL)，
∴∠CAF＝∠DAF.
又∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAF＝∠EAF，
∴AF 平分∠BAE.
11．解：(1)证明：∵AD 平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠EAD.
∵DE⊥AB，∠C＝90°，
∴∠ACD＝∠AED＝90°.
又∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AED.
(2)∵△ACD≌△AED，
∴ED＝CD＝1.
∵∠B＝30°，∠DEB＝90°，
∴BD＝2ED＝2.
12．证明：∵AG⊥BD，AF⊥CE，
∴△AGB 和△AFC 都是直角三角形．
在 Rt△AGB 和 Rt△AFC 中，
∵AB＝AC，AG＝AF，
∴Rt△AGB≌Rt△AFC，
∴∠BAG＝∠CAF.
又∵∠BAG＝∠EAF＋∠FAG，
∠CAF＝∠DAG＋∠FAG，
∴∠EAF＝∠DAG.
在△AFE 和△AGD 中，
∵∠AFE＝∠AGD，AF＝AG，
∠EAF＝∠DAG，
∴△AFE≌△AGD，∴AE＝AD.7
素养提升
解：(1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE,
∴∠BDA＝∠AEC＝90°.
又∵AB＝CA，AD＝CE，
∴Rt△BDA≌Rt△AEC(HL)，
∴∠BAD＝∠ACE.
∵∠CAE＋∠ACE＝90°，
∴∠CAE＋∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝180°－(∠CAE＋∠BAD)＝90°，
即 BA⊥AC.
(2)AB 与 AC 仍垂直．
证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE,
∴∠BDA＝∠AEC＝90°.
又∵AB＝CA，AD＝CE，
∴Rt△BDA≌Rt△AEC(HL)，
∴∠BAD＝∠ACE.
∵∠CAE＋∠ACE＝90°，
∴∠CAE＋∠BAD＝90°，
即∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC.
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