第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质第1课时 角平分线的性质
目标突破
总结反思
第1章 直角三角形
知识目标1.4 角平分线的性质
知识目标知识目标
1．结合角平分线的概念，以测量的形式，得出角平分线的性质定
理并对角平分线的性质定理加以综合应用．
2．从命题的条件与结论的逆反角度，通过验证，推导出角平分线
的性质定理的逆定理并加以应用．目标突破目标突破
目标一 能利用角平分线的性质定理解题
例1 教材补充例题 操作测量：如图1－4－1，OC是∠AOB的平分线，
P是射线OC上的任意一点，取三个不同位置的点P，分别过点P作
PD⊥OA，PE⊥OB，D，E为垂足，测量PD，PE的长，将三次数据填入
下表．观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，结论是
__________．并证明你的结论．
1.4 角平分线的性质图1－4－1
PD PE
第一次
第二次
第三次
1.4 角平分线的性质[解析] ∠1，∠2分别是△ABD和△ACD的内角，要证明∠1＝∠2，只需证
明这两个三角形全等即可，而这两个三角形均是直角三角形，且AB＝AC，
AD＝AD，故得证．
1.4 角平分线的性质解：填表略，PD＝PE.
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOP＝∠EOP.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△ODP与△OEP中，
∵∠DOP＝∠EOP，∠PDO＝∠PEO，
OP＝OP, ∴△ODP≌△OEP，∴PD＝PE.
1.4 角平分线的性质例2 教材补充例题 如图1－4－2，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂
足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD＝CD.求证：BE＝CF.
图1－4－2
1.4 角平分线的性质[解析] 要证明BE＝CF，只要证明△BDE≌△CDF，在△BDE和△CDF中，BD
＝CD.由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，可得DE＝DF，从而根据“HL”
定理可证Rt△BDE≌Rt△CDF.
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∵BD＝CD，DE＝DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE＝CF.
1.4 角平分线的性质【归纳总结】角平分线性质定理的应用
(1)证明线段、角相等；(2)证明三角形全等；(3)通过转化求线
段的长．
1.4 角平分线的性质目标二 理解并会用角平分线性质定理的逆定理
图1－3－2
例3 教材例1针对训练 如图1－4－3，在∠AOB的两边OA，OB上
分别取OM＝ON，OD＝OE，DN和EM相交于点C.
求证：点C在∠AOB的平分线上．
1.4 角平分线的性质[解析]首先证明△MOE≌△NOD(SAS)，然后利用图形中的面积关系求
得S△MDC＝S△NEC，已知两个三角形的底相等，所以它们的高也相等，
它们的高即CG，CF(如图)，所以点C在∠AOB的平分线上．
1.4 角平分线的性质解：如图，过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F.
在△MOE和△NOD中，
∵OM＝ON，∠MOE＝∠NOD，OE＝OD，
∴△MOE≌△NOD(SAS)，
∴S△MOE＝S△NOD.
同时减去S四边形ODCE，得S△MDC＝S△NEC.
∵OM＝ON，OD＝OE，
∴MD＝NE，∴CG＝CF.
又∵CG⊥OA，CF⊥OB，
∴点C在∠AOB的平分线上．
1.4 角平分线的性质【归纳总结】证明点在角平分线上的一般思路
证明点在一个角的平分线上一般转化为证明这点到这个角的两
边的距离相等，其步骤如下：
(1)过这点向这个角的两边作垂线；(2)证明两个三角形全等；
(3)由两条垂线段相等得出点在这个角的平分线上．
1.4 角平分线的性质总结反思总结反思
知识点一 角平分线的性质定理
小结
角的平分线上的点到角的两边的距离________．相等
1.4 角平分线的性质知识点二 角平分线性质定理的逆定理
角的内部到角的两边距离相等的点在__________上．角的平分线
1.4 角平分线的性质反思
D是△ABC中AB边上的一点，在△ABC内有一点O，使OC＝OD，则
AO平分∠CAB吗？
解：AO平分∠CAB.理由如下：
因为点O到∠CAB两边的距离相等，所以点O在∠CAB的平分线上，
所以AO平分∠CAB.
以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结
论．
1.4 角平分线的性质解：不正确．解法中忽视了OC与OD分别垂直于AC，AB的条件，故产生错误．正
确结论是“AO不一定平分∠CAB”．
1.4 角平分线的性质
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