2019年春八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质与判定Ⅱ第1课时勾股定理练习新版湘教版.docx

1 课时作业(三) [1.2　第 1 课时　勾股定理]　　 　 　　 　　　 　　 　　　　　 　 一、选择题 1．2018·滨州在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为 (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图 K－3－1，在边长为 1 个单位的小正方形组成的网格中，点 A，B 都是格点，则 线段 AB 的长度为(　　) 图 K－3－1 A．5　 B．6　 C．7　 D．25 3．如图 K－3－2，在△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE.若 CE＝5，AC＝12，则 BE 的长是(　　) 图 K－3－2 A．5　 B．10　 C．12　 D．13 4．如图 K－3－3，长方形 OABC 的边 OA 的长为 3，边 AB 的长为 2，OA 在数轴上，以原 点 O 为圆心，对角线 OB 的长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是(　　) 图 K－3－3 A．3.5 B．2 2 C. 5 D. 13 5．2018·泸州“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的 骄傲．如图 K－3－4 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的 一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b，若 ab＝8，大正方形 的面积为 25，则小正方形的边长为 (　　) 图 K－3－4 A．9 B．62 C．4 D．3 6．2017·大连如图 K－3－5，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，E 是 AB 的中点，CD＝DE＝a，则 AB 的长为(　　) 图 K－3－5 A．2a B．2 2a C．3a D. 4 3 3 a 二、填空题 7．若直角三角形的两直角边长分别为 6 和 8，则斜边中线的长是__________． 8．如图 K－3－6，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，E 是 AC 的中点．若 AD＝6，DE＝5，则 CD＝________． 图 K－3－6 9 ． 直 角 三 角 形 斜 边 长 是 5 ， 一 条 直 角 边 的 长 是 3 ， 则 此 直 角 三 角 形 的 面 积 为 ________． 10．如图 K－3－7，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11， 则 b 的面积为________.链接听课例3归纳总结 图 K－3－7 11．2017·徐州如图 K－3－8，已知 OB＝1，以 OB 为直角边作等腰直角三角形 A 1BO， 再以 OA1 为直角边作等腰直角三角形 A2A1O……如此下去，则线段 OAn 的长度为________． 图 K－3－8 12．2017·黑龙江在△ABC 中，AB＝12，AC＝39，∠B＝30°，则△ABC 的面积是________． 13．如图 K－3－9，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D 在 BC 边上，且△ABD 是等边三 角形．若 AB＝2，则△ABC 的周长是________(结果保留根号)． 图 K－3－9 三、解答题3 14．如图 K－3－10，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，BC＝6，AC＝8， 求 AB 与 CD 的长.链接听课例2归纳总结 图 K－3－10 15．如图 K－3－11 所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE⊥ AB 于点 E，且 E 为 AB 的中点，DE＝1. (1)求∠A 的度数； (2)求 AB 的长度． 图 K－3－11 16．2017·徐州如图 K－3－12，已知 AC⊥BC，垂足为 C，AC＝4，BC＝3 3，将线段 AC 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°，得到线段 AD，连接 DC，DB. (1)线段 DC＝________； (2)求线段 DB 的长度． 图 K－3－124 17. 如图 K－3－13，在 Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝6，一个动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动，同时另一个动点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度向点 A 运 动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 t 秒． (1)用含 t 的代数式表示线段 AQ 和 CP 的长． (2)当 t 为何值时，AP＝AQ? (3)是否存在某一个 t 值，使 AP＝BP？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理 由． 图 K－3－13 数形结合题在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以三边为边分别向外作正方形，如图 K－3－14 所 示，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，延长 CH 交 MN 于点 I. (1)若 AC＝3 2，BC＝2 3，试通过计算证明：四边形 AHIN 的面积等于正方形 AEFC 的面积； (2)请结合图形，证明勾股定理：AC2＋BC2＝AB2.链接听课例3归纳总结 图 K－3－145 详解详析 课堂达标 1．[解析] A　根据勾股定理直接求得弦长为 32＋42＝5. 2．[解析] A　如图，AB＝ AC2＋BC2＝5.故选 A. 3．[解析] D　在 Rt△CAE 中，CE＝5，AC＝12，由勾股定理，得 AE＝CE2＋AC2＝ 52＋122 ＝13.又∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴BE＝AE＝13. 4．[解析] D　由勾股定理可知 OB＝ 32＋22＝ 13，∴这个点表示的实数是 13. 5．[解析] D　设直角三角形斜边长为 c，根据勾股定理，得 c2＝a2＋b2.∵大正方形的面 积为 25，∴c2＝25，即 a2＋b2＝25.∵ab＝8，∴(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝25－2×8＝9，即 a －b＝3，即小正方形的边长为 3. 6．[解析] B　因为 CD⊥AB，CD＝DE＝a，所以 CE＝ CD2＋DE2＝ a2＋a2＝ 2a.又△ABC 中，∠ACB＝90°，E 是 AB 的中点，所以 AE＝BE＝CE，所以 AB＝2CE＝2 2a. 7．[答案] 5 [解析] 已知直角三角形的两直角边长分别为 6，8，则斜边长为 62＋82＝10，故斜边 的中线长为 1 2×10＝5.故答案为 5. 8．[答案] 8 [解析] 因为 CD⊥AB 于点 D，E 是 AC 的中点，且 DE＝5，所以 AC＝10.在 Rt△ADC 中，CD ＝ AC2－AD2＝ 102－62＝8. 9．[答案] 6 [解析] ∵直角三角形的斜边长是 5，一条直角边的长是 3，∴另一条直角边的长为 52－32＝4，∴该直角三角形的面积 S＝ 1 2×3×4＝6. 10．[答案] 16 [解析] ∵a，b，c 都是正方形， ∴AC＝CD，∠ACD＝90°. ∵∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠CAB＝90°， ∴∠CAB＝∠DCE.又∵∠ABC＝∠CED＝90°，AC＝CD， ∴△ACB≌△CDE， ∴AB＝CE，BC＝ED. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AC2＝AB2＋BC2＝AB2＋ED2， 即 Sb＝Sa＋Sc＝5＋11＝16. 11．[答案] 2n [解析] ∵△OBA1 为等腰直角三角形，OB＝1， ∴A1B＝OB＝1，OA1＝ 2OB＝ 2. ∵△OA1A2 为等腰直角三角形， ∴A1A2＝OA1＝ 2，OA2＝ 2OA1＝2. ∵△OA2A3 为等腰直角三角形，6 ∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝ 2OA2＝2 2； ∵△OA3A4 为等腰直角三角形， ∴A3A4＝OA3＝2 2，OA4＝ 2OA3＝4…… ∴OAn 的长度为 2n. 12．21 3或 15 3 13．[答案] 6＋2 3 [解析] ∵△ABD 是等边三角形，∴∠B＝60°. ∵∠BAC＝90°，∴∠C＝180°－90°－60°＝30°， ∴BC＝2AB＝4. 在 Rt△ABC 中， 由勾股定理，得 AC＝ BC2－AB2＝ 42－22＝2 3，∴△ABC 的周长是 AC＋BC＋AB＝2 3＋4＋2＝6＋2 3. 14．解：在 Rt△ABC 中，BC＝6，AC＝8. ∵AB2＝BC2＋AC2， ∴AB＝10. ∵S△ABC＝ 1 2AB·CD＝ 1 2BC·AC＝ 1 2×6×8， ∴CD＝ 6 × 8 10 ＝4.8. 15．解：(1)由 DE 垂直平分 AB， 得 AD＝BD，从而得∠A＝∠DBE. 又∵BD 平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠DBC＝∠A. 又∵∠C＝90°， ∴∠A＝30°. (2)∵DE＝1，DE⊥AB，∠A＝30°， ∴AD＝2DE＝2， ∴AE＝ AD2－DE2＝ 3， ∴AB＝2AE＝2 3. 16．解：(1)4 (2)过点 D 作 DE⊥BC 于 E. ∵AC＝AD，∠CAD＝60°， ∴△CAD 是等边三角形， ∴CD＝AC＝4，∠ACD＝60°. ∵AC⊥BC，∠ACD＝60°， ∴∠BCD＝30°. 在 Rt△CDE 中，CD＝4，∠BCD＝30°， ∴DE＝ 1 2CD＝2，CE＝2 3， ∴BE＝ 3. 在 Rt△DEB 中，由勾股定理得 DB＝ 7.7 17．解：(1)∵在 Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10， ∴AQ＝10－2t，CP＝8－t. (2)AP＝t，AQ＝10－2t， 令 t＝10－2t，解得 t＝ 10 3 . 故当 t 为 10 3 时，AP＝AQ. (3)不存在． 理由：在 Rt△PCB 中，∠PCB＝90°， ∴CP2＋BC2＝BP2. ∵CP＝8－t，BC＝6，BP＝AP＝t， ∴(8－t)2＋62＝t2，解得 t＝ 25 4 . ∵ 25 4 >10÷2＝5， ∴不存在使 AP＝BP 成立的 t 值． 素养提升 证明：(1)∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3 2，BC＝2 3， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ （3 2）2＋（2 3）2＝ 30， ∴S△ABC＝ 1 2AC·BC＝ 1 2AB·CH， 即 1 2×3 2×2 3＝ 1 2× 30CH， ∴CH＝ 6 5 5 ， ∴AH＝ AC2－CH2＝ 3 30 5 . ∵四边形 ABMN 为正方形， ∴AN＝AB＝ 30. ∵S 四边形 AHIN＝AH·AN＝ 3 30 5 × 30＝18，S 四边形 AEFC＝AC2＝(3 2)2＝18， ∴四边形 AHIN 的面积等于正方形 AEFC 的面积． (2)∵四边形 AHIN 的面积等于正方形 AEFC 的面积， ∴AC2＝AH·AB， 同理可得 BC2＝BH·AB， ∴AC2＋BC2＝AH·AB＋BH·AB＝AB2.