第1章 直角三角形本章总结提升
知识框架
整合提升
第1章 直角三角形本章总结提升
知识框架知识框架
直
角
三
角
形
角的性质
边的性质
边 角性质
直角三角形的两个锐角互余
直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半
直角三角形两直角边的平
方和等于斜边的平方
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边
的一半，那么这条直角边所对的角等于30°
性质直
角
三
角
形
角平分线
判定
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平
分线上
直角三
角形的
判定
直角三角
形全等的
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么
这个三角形是直角三角形
如果一个三角形两条较短边的平方和等于最长
边的平方，那么这个三角形是直角三角形
一般的判
定方法
特殊的方法
SAS,ASA,AAS,SSS
斜边和一条直角边对应相等的
两个直角三角形全等，简称
“HL”或“斜边。直角边”
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问题1 直角三角形的性质
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直角三角形是特殊的三角形，它的特殊性体现在哪里？其中揭
示线段倍分关系的是哪个性质？本章总结提升
例1 如图1－T－1所示，四边形ABCD是由Rt△ABC与等腰直角三
角形ACD拼成的，其中∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，∠ADC＝
90°，E为斜边AC的中点，求∠BDE的度数．
图1－T－1本章总结提升本章总结提升本章总结提升
【归纳总结】 直角三角形是特殊的三角形，它的特殊性体现在
角上：两锐角互余；体现在线段上：一是斜边上的中线等于斜
边的一半，二是30°角所对的直角边等于斜边的一半．这三个
定理是解决有关直角三角形的边、角计算，特别是边的倍分关
系问题中常用的依据．问题2 直角三角形的判定
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直角三角形有很多性质，那么如何证明三角形是直角三角形？
有哪些方法？
例2 如图1－T－2，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AB＝2AC.求
证：△ABC是直角三角形．
图1－T－2本章总结提升本章总结提升
【归纳总结】 从角的角度，证明三角形是直角三角形的方法是：
证明一个角是直角或是两个角的和等于90°.问题3 勾股定理及逆定理的应用
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勾三、股四、弦五是什么意思？如何用面积法证明勾股定理？
勾股定理的逆定理是什么？它的主要作用是什么？本章总结提升
例3 如图1－T－3，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D
为AC边上的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F.若
AE＝4，CF＝3，求EF的长．
图1－T－3本章总结提升
[解析] 首先连接BD，由△ABC是等腰直角三角形，可推出BD⊥AC且BD＝
CD＝AD，∠ABD＝45°.再由DE⊥DF，可推出∠FDC＝∠EDB.由等腰直角三
角形ABC可得∠C＝45°，所以△FDC≌△EDB，从而得出BE＝CF＝3，所以
AB＝7，则BC＝7，所以BF＝4，再根据勾股定理求出EF的长．本章总结提升本章总结提升
【归纳总结】 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条
件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，即“a2＋b2＝
c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2＋b2
＝c2”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判定一
个三角形是直角三角形的一种方法．本章总结提升
例4 如图1－T－4，在正方形ABCD中，E是BC上一点，且BC∶EC
＝4∶1，F是CD边的中点．
(1)判断△AEF的形状，并说明理由；
(2)若正方形的边长为4，求△AEF的面积．
图1－T－4本章总结提升
[解析] (1)设正方形的边长为4a，即可表示出DF，CF以及EC，BE的长，然
后根据勾股定理表示出AF2，EF2，AE2，再根据勾股定理的逆定理判定
△AEF是直角三角形；(2)把(1)中的4a换成4，然后求出AF，EF的长，再根
据三角形的面积公式计算即可得解．本章总结提升
解：(1)△AEF是直角三角形．
理由：设正方形ABCD的边长为4a.
∵F是CD边的中点，∴DF＝CF＝2a.
∵BC∶EC＝4∶1，∴EC＝a，BE＝4a－a＝3a.
在Rt△ADF中，AF2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2，
在Rt△ECF中，EF2＝(2a)2＋a2＝5a2，
在Rt△ABE中，AE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2，
∴AF2＋EF2＝AE2，∴△AEF是直角三角形．本章总结提升问题4 直角三角形全等的判定
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一般三角形全等的判定方法有几种？对于直角三角形适用吗？
除这些方法外，直角三角形还有更简单的判定方法吗？你能说
明这个方法的合理性吗？本章总结提升
例5 如图1－T－5，线段AC，BD相交于点O，∠AOB为钝角，AB＝
CD，BF⊥AC于点F，DE⊥AC于点E，AE＝CF.
(1)求证：BO＝DO.
(2)若∠AOB为锐角，其他条件不变，
请画出图形并判断 (1)中的结论是
否仍然成立．若成立，请加以证明；
若不成立，请说明理由．
图1－T－5本章总结提升
解：(1)证明：∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
∵BF⊥AC于点F，DE⊥AC于点E，∴∠AFB＝∠CED＝90°.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∵AB＝CD，AF＝CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴∠A＝∠C，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.
在△ABO和△CDO中，
∵∠A＝∠C，AB＝CD，∠ABO＝∠CDO，∴△ABO≌△CDO，∴BO＝DO.
(2)画图略．结论仍然成立，证明方法同(1)，略．【归纳总结】 直角三角形全等的判定，除前面所学的一般三角
形全等的四个判定方法外，还有HL，即斜边和一条直角边对应
相等的两个直角三角形全等．
本章总结提升问题5 角平分线性质定理及逆定理的应用
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什么是角平分线？除了平分已知角外，它还有什么特殊性质？这
个性质你能证明吗？这个性质有逆定理吗？你认为理解和应用这
个性质定理或其逆定理的关键是什么？本章总结提升
例6 如图1－T－6，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB
，垂足分别是C，D.
(1)∠EDC和∠ECD相等吗？请说明理由；
(2)OC和OD相等吗？请说明理由；
(3)直线OE是线段CD的垂直平分线吗？
请说明理由．
图1－T－6本章总结提升
[解析] 根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，并结合直角三角
形全等的判定解答．解：(1)∠EDC与∠ECD相等．
理由：∵OE是∠AOB的平分线，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC＝ED，∴∠EDC＝∠ECD.
(2)OC与OD相等．
理由：∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠OCE＝∠ODE＝90°.
在Rt△OCE和Rt△ODE中，
∵OE＝OE，EC＝ED，∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)，∴OC＝OD.
(3)直线OE是线段CD的垂直平分线．
理由：∵EC＝ED，∴点E在线段CD的垂直平分线上．
∵OC＝OD，∴点O在线段CD的垂直平分线上，
∴直线OE是线段CD的垂直平分线．
本章总结提升【归纳总结】 角平分线的性质定理与判定定理应用非常广泛，
注意两个定理的联系与区别，不要混淆．
本章总结提升
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