第9节实验：验证机械能守恒定律
一、实验目的
1．会用打点计时器打下的纸带计算物体运动的速度。
2．掌握利用自由落体运动验证机械能守恒定律的原理和方法。
二、实验原理
让物体自由下落，忽略阻力情况下物体的机械能守恒，有两种方案验证物体的机械能守恒：
1．以物体下落的起始点O为基准，测出物体下落高度h时的速度大小v，若mv2＝mgh成立，则可验证物体的机械能守恒。
2．测出物体下落高度h过程的初、末时刻的速度v1、v2，若关系式mv22－mv12＝mgh成立，则物体的机械能守恒。
三、实验器材
铁架台(带铁夹)、电磁打点计时器、重锤(带纸带夹子)、纸带、复写纸、导线、毫米刻度尺、低压交流电源。
四、实验步骤
1．安装置：按图将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，接好电路。
2．打纸带：将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方。先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落。更换纸带重复做3次～5次实验。
3．选纸带：选取点迹较为清晰且有两点间的距离约为2 mm的纸带，把纸带上打出的两点间的距离为2 mm的第一个点作为起始点，记作O，在距离O点较远处再依次选出计数点1、2、3…
4．测距离：用刻度尺测出O点到1、2、3…的距离，即为对应下落的高度h1、h2、h3…
五、数据处理
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1．计算各点对应的瞬时速度：记下第1个点的位置O，在纸带上从离O点适当距离开始选取几个计数点1、2、3…并测量出各计数点到O点的距离h1、h2、h3…再根据公式vn＝，计算出1、2、3、4、…n点的瞬时速度v1、v2、v3、v4、…vn。
2．机械能守恒验证
方法一：利用起始点和第n点。
从起始点到第n个计数点，重力势能减少量为mghn，动能增加量为mvn2，计算ghn和vn2，如果在实验误差允许的范围内ghn＝vn2，则机械能守恒定律得到验证。
方法二：任取两点A、B。
从A点到B点，重力势能减少量为mghA－mghB，动能增加量为mvB2－mvA2，计算ghAB和vB2－vA2，如果在实验误差允许的范围内ghAB＝vB2－vA2，则机械能守恒定律得到验证。
方法三：图像法。
计算各计数点v2，以v2为纵轴，以各计数点到第一个点的距离h为横轴，根据实验数据绘出v2h图线，如图所示。若在误差许可的范围内图像是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。
六、误差分析
1．在进行长度测量时，测量及读数不准造成偶然误差。
2．系统误差的主要来源是重物下落要克服阻力做功，部分机械能转化成内能，下落高度越大，机械能损失越多，所以实验数据出现了各计数点对应的机械能依次略有减小的现象。
3．由于交流电的周期不稳定，造成打点时间间隔变化而产生系统误差。
七、注意事项
1．应尽可能控制实验，满足机械能守恒的条件，这就要求尽量减小各种阻力的影响，采取的措施有：
(1)安装打点计时器时，必须使两个限位孔的中线严格竖直，以减小摩擦阻力。
(2)应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，使空气阻力减小。
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2．实验中，提纸带的手要保持不动，且保证纸带竖直。接通电源后，等打点计时器工作稳定再松开纸带。
3．纸带的选取
(1)以第一个点为起点时，要验证的是mvn2＝mghn，必须保证纸带上的第一个点为重物静止释放时打的点，所以前两个点的间距为h＝gt2＝×10×(0.02)2 m＝2 mm。
(2)以下落中某点为起点时，要验证的是mvm2－mvn2＝mghmn，这时选择纸带不需要满足两点间距为2 mm。
4．计算速度时不能用v＝gt或v＝，否则就犯了用机械能守恒定律去验证机械能守恒的错误。
5．测量下落高度时，为减小实验误差，后边的点应距起点O较远，在测量各点到O点的距离时，应当用刻度尺从O点量起，一次性读出各点到O点的距离。
[例1] 在做“验证机械能守恒定律”的实验时，发现重物减少的重力势能总是略大于重物增加的动能，造成这种现象的原因是( )
A．选用的重物质量过大
B．选用的重物质量过小
C．空气对重物的阻力和打点计时器对纸带的阻力
D．实验时操作不规范，实验数据测量不准确
[解析] 造成题中所述误差的主要原因是来自于各方面的阻力，选项C正确。
[答案] C
[例2] (全国卷Ⅰ)某同学用图(a)所示的实验装置验证机械能守恒定律，其中打点计时器的电源为交流电源，可以使用的频率有20 Hz、30 Hz和40 Hz。打出纸带的一部分如图(b)所示。
该同学在实验中没有记录交流电的频率f，需要用实验数据和其他题给条件进行推算。
(1)若从打出的纸带可判定重物匀加速下落，利用f和图(b)中给出的物理量可以写出：在打点计时器打出B点时，重物下落的速度大小为________，打出C点时重物下落的速度大小为________，重物下落的加速度大小为________。
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(2)已测得s1＝8.89 cm，s2＝9.50 cm，s3＝10.10 cm；当地重力加速度大小为9.80 m/s2，实验中重物受到的平均阻力大小约为其重力的1%。由此推算出f为________ Hz。
[解析] (1)重物匀加速下落时，根据匀变速直线运动的规律得vB＝＝f(s1＋s2)
vC＝＝f(s2＋s3)
由s3－s1＝2aT2得
a＝。
(2)根据牛顿第二定律，有mg－kmg＝ma
根据以上各式，化简得f＝
代入数据可得f≈40 Hz。
[答案] (1)f(s1＋s2) f(s2＋s3) f2(s3－s1) (2)40
[例3] 某次“验证机械能守恒定律”的实验中，用6 V、50 Hz的打点计时器打出的一条无漏点的纸带，如图所示，O点为重锤下落的起点，选取的计数点为A、B、C、D，各计数点到O点的长度已在图上标出，单位为毫米，重力加速度取9.8 m/s2，若重锤质量为1 kg。
(1)打点计时器打出B点时，重锤下落的速度vB＝_____ m/s，重锤的动能EkB＝_____ J。
(2)从开始下落算起，打点计时器打B点时，重锤的重力势能减小量为________ J。
(3)根据纸带提供的数据，在误差允许的范围内，重锤从静止开始到打出B点的过程中，得到的结论是_______________________________________________________________。
[解析] (1)重锤下落的速度
vB＝＝ m/s＝1.17 m/s
重锤在打出B点时的动能
Ek＝mvB2＝×1×1.172 J＝0.68 J。
(2)打点计时器打B点时，重锤的重力势能减小量
ΔEp减＝mghOB＝1×9.8×70.5×10－3 J＝0.69 J。
(3)由(1)、(2)计算结果可知，重锤下落过程中，在实验允许的误差范围内，动能的增加量等于其重力势能的减少量，机械能守恒。
[答案] (1)1.17 0.68 (2)0.69 (3)机械能守恒
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1．在“验证机械能守恒定律”的实验中，下列物理量中需要直接测量的是( )
A．重物的质量
B．重力加速度
C．重物下落的高度
D．重物下落某一高度所对应的瞬时速度
解析：选C 重物的质量不需要测量；重力加速度是已知的；重物下落的高度需要测量；瞬时速度是根据纸带上的数据计算得出的。故应选C。
2．用落体法验证机械能守恒定律的实验中得到如图所示纸带。
根据纸带算出相关各点的速度v，测量出下落距离h，则以为纵轴，以h为横轴画出的图像应是( )
解析：选C 由机械能守恒定律得：mgh＝mv2，得：＝gh，可以看出与h成正比例关系，图线是过原点的直线，C正确。数据处理可以用不同的方法，得到相同的结论。
3．(多选)为验证在自由落体过程中物体的机械能是守恒的，某同学利用实验系统设计了一个实验，实验装置如图所示，图中A、B两点分别固定了两个速度传感器，速度传感器可以测出运动物体的瞬时速度。在实验中测得一物体自由下落经过A点时的速度是v1，经过B点时的速度是v2，为了证明物体经过A、B两点时的机械能相等，这位同学又设计了以下几个步骤，你认为其中不必要或者错误的是( )
A．用天平测出物体的质量
B．测出A、B两点间的竖直距离
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C．利用mv22－mv12算出物体从A点运动到B点的过程中动能的变化量
D．验证v22－v12与2gh是否相等
解析：选AC 物体重力势能减少量为mgh，动能增加量为mv22－mv12，计算gh和v22－v12，如果在实验误差允许的范围内gh＝v22－v12，则机械能守恒定律得到验证。综上应选A、C。
4．在“验证机械能守恒定律”的实验中，已知电火花计时器所用的电源频率为50 Hz，
查得当地的重力加速度为9.8 m/s2，测得所用的重物的质量为1.00 kg。实验中得到一条点迹清晰的纸带，把第一个点记作O，另选连续的4个点A、B、C、D作为测量的点。经测量知道A、B、C、D到O点的距离分别为62.99 cm、70.18 cm、77.76 cm、85.73 cm。根据以上数据，可知重物由O点运动到C点，重力势能的减少量等于________ J，动能增加量等于________ J(取3位有效数字)。
解析：C点到O点的距离hC＝77.76 cm，
由此可知重力势能的减少量为mghC＝1.00×9.80×77.76×10－2J≈7.62 J。
不能错误认为动能增加量也为7.62 J。
C点的速度vC＝代入数值可以解得vC＝3.89 m/s。
所以重物动能的增量为mv2＝7.57 J。
在误差允许的范围内重力势能的减少量等于动能的增加量。
答案：7.62 7.57
5.利用如图甲所示装置做“验证机械能守恒定律”实验。
甲
(1)为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中任意两点间的________。
A．动能变化量与势能变化量
B．速度变化量和势能变化量
C．速度变化量和高度变化量
(2)除带夹子的重物、纸带、铁架台(含铁夹)、电磁打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的两种器材是________。
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A．交流电源B．刻度尺C．天平(含砝码)
(3)实验中，先接通电源，再释放重物，得到如图乙所示的一条纸带。在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC。
已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T。设重物的质量为m。从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能变化量ΔEp＝__________，动能变化量ΔEk＝________。
乙
(4)大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量大于动能的增加量，原因是_____。
A．利用公式v＝gt计算重物速度
B．利用公式v＝ 计算重物速度
C．存在空气阻力和摩擦阻力的影响
D．没有采用多次实验取平均值的方法
(5)某同学想用下述方法研究机械能是否守恒：在纸带上选取多个计数点，测量它们到起始点O的距离h，计算对应计数点的重物速度v，描绘v2h图像，并做如下判断：若图像是一条过原点的直线，则重物下落过程中机械能守恒。请你分析论证该同学的判断依据是否正确。
解析：(1)在“验证机械能守恒定律”实验中，重物下落，重力势能减少，动能增加，要验证机械能是否守恒，需比较重物下落过程中任意两点间的动能变化量与势能变化量大小是否相等，故选A。
(2)实验时用到电磁打点计时器，则必须使用交流电源。在计算动能和势能变化量时，需用刻度尺测量位移和重物下落高度。在比较动能变化量和势能变化量是否相等时需验证m(v22－v12)＝mgh是否成立，而等式两边可约去质量m，故不需要天平。故选A、B。
(3)从打O点到打B点的过程中，重物下落hB，重力势能减少，则重物的重力势能变化量ΔEp＝－mghB。动能增加，
则动能的变化量ΔEk＝mvB2－0＝m2－0＝m2。
(4)重物在下落过程中，除受重力外还存在空气阻力和摩擦阻力的影响，重物的重力势能要转化为重物的动能和内能，则重力势能的减少量大于动能的增加量，选项C正确。
(5)不正确。v2h图像为一条直线，仅表明物体所受合力恒定，与机械能是否守恒无关。例如，在本实验中若存在恒定阻力，则物体的机械能不守恒，但mgh－fh＝mv2，v2＝2h，v2h为一条过原点的直线，故该同学判断不正确。要想通过v2h图像的方法验证机械能是否守恒，还必须看图像的斜率是否接近2g。
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答案：(1)A (2)AB (3)－mghB m2 (4)C (5)该同学的判断依据不正确。在重物下落h的过程中，若阻力f恒定，根据动能定理得，mgh－fh＝mv2－0⇒v2＝2h可知，v2h图像就是过原点的一条直线。要想通过v2h图像的方法验证机械能是否守恒，还必须看图像的斜率是否接近2g。
6．某同学利用竖直上抛小球的频闪照片验证机械能守恒定律，频闪仪每隔0.05 s闪光
一次，如图所标数据为实际距离，该同学通过计算得到不同时刻的速度如下表。(当地重力加速度取9.8 m/s2，小球质量m＝0.2 kg，结果保留3位有效数字)
时刻
t2
t3
t4
t5
速度(m/s)
4.99
4.48
3.98
(1)由频闪照片上的数据计算t5时刻小球的速度v5＝________m/s；
(2)从t2到t5时间内，重力势能增量ΔEp＝________ J，动能减少量ΔEk＝________J；
(3)在误差允许的范围内，若ΔEp与ΔEk近似相等，即可验证了机械能守恒定律。由上述计算得ΔEp________Ek(选填“>”“
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