第8节机械能守恒定律
1．动能和势能统称为机械能，即E＝Ek＋Ep。
2．在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势
能可以互相转化，而总的机械能保持不变，这叫
做机械能守恒定律。
3．机械能守恒定律的表达式为：Ekl＋Epl＝Ek2＋Ep2
或ΔEk＝－ΔEp。
4．在只有重力做功时，重力势能与动能相互转化，
二者之和保持不变；在只有系统内的弹力做功时，
弹性势能和动能相互转化，二者之和保持不变。
5．机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功。
一、 动能与势能的相互转化
1．动能与重力势能间的转化
只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。
2．动能与弹性势能间的转化
只有弹力做功时，若弹力做正功，则弹性势能转化为动能；若弹力做负功，则动能转化为弹性势能。
3．机械能
动能和势能(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能，即E＝Ek＋Ep。
二、 机械能守恒定律
1．推导
物体自由下落过程中经过A、B两位置，如图所示。
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2．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
3．守恒条件
物体系统内只有重力或弹力做功。
4．常用表达式
(1)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
(2)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk＝－ΔEp。
(3)ΔEA＝－ΔEB。
1．自主思考——判一判
(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转换。(√)
(2)物体的机械能一定是正值。(×)
(3)合力为零，物体的机械能一定守恒。(×)
(4)合力做功为零，物体的机械能一定守恒。(×)
(5)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。(√)
2．合作探究——议一议
(1)毛泽东的诗词中曾写到“一代天骄成吉思汗，只识弯弓射大雕”。试分析成吉思汗在弯弓射雕过程中，涉及机械能中哪些能量之间的转化？
提示：箭被射出过程中，弹性势能转化为箭的动能；箭上升过程中，动能转化为重力势能，下落过程中，重力势能又转化为动能。
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(2)用细绳把铁锁吊在高处，并把铁锁拉到鼻子尖前释放，保持头的位置不动，铁锁摆回来时，会打到鼻子吗？试试看，并解释原因。
提示：不会打到鼻子。联想伽利略的理想斜面实验，若没有阻力，铁锁刚好能回到初位置，遵循机械能守恒定律。若存在阻力，机械能损失，铁锁速度为零时的高度低于开始下落时的高度，铁锁一定不能到达鼻子的位置。
机械能守恒的判断
1．对机械能守恒条件的理解
(1)从能量转化的角度看，系统内只有动能和势能相互转化，而没有其他形式能量(如内能)的转化，并且系统与外界没有任何能量转化，则系统的机械能守恒。
(2)从做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现如下：
①只受重力作用，例如所有做抛体运动的物体机械能守恒。
②系统内只有重力和弹力作用，如图甲、乙、丙所示。
图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力则只有重力做功，小球的机械能守恒。
图乙中，各接触面光滑，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对A来说，B对A的弹力做负功，这个力对A来说是外力，A的机械能不守恒。
图丙中，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球来说，机械能不守恒，这一点需要特别注意。
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
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⇒⇒⇒
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
⇒⇒
1．如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的。图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动。在四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( )
解析：选C 根据力的做功情况来判断机械能守恒的条件是只有重力(弹力)做功。在图A、B中木块受三个力作用，即重力、支持力和外力F，因外力F做功，故机械能不守恒。图D中因有摩擦力做功，机械能亦不可能守恒。只有图C中除重力做功外，其他力不做功，故机械能守恒。
2．物体在平衡力作用下，下列说法正确的是( )
A．物体的机械能一定不变
B．物体的机械能一定增加
C．物体的机械能一定减少
D．以上说法都不对
解析：选D 物体在平衡力的作用下，保持静止状态或匀速直线运动状态。如果保持静止状态，机械能不变。如果保持匀速直线运动状态，就有多种情况：当物体在水平面上做匀速直线运动时，物体的高度和速度都不变，那么它的动能和势能也不变，所以机械能不变；当物体向上做匀速直线运动时，虽然速度不变，动能不变，但物体的位置升高，势能增加，所以机械能增加；当物体向下做匀速直线运动时，虽然速度不变，动能不变，但物体高度降低，势能减小，所以机械能减小。一对平衡力做功之和为零，物体动能不变，所以物体在平衡力作用下只能保证速度不变，不能保证高度不变，机械能可能增加，可能减少，也可能不变。
3．如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )
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A．重物的机械能守恒
B．重物的机械能增加
C．重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．重物与弹簧组成的系统机械能守恒
解析：选D 重物由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故选项A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能，等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。
机械能守恒定律的应用
1．运用机械能守恒定律的基本思路
(1)选取研究对象——物体系统或物体。
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象初、末状态的机械能。
(4)根据机械能守恒定律列方程，进行求解。
2．对几种表达式的理解
(1)Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。这里应注意等式不是指某两个特别的状态，而是过程中的每一状态机械能的总量都是守恒的，但我们解题时往往选择与题目所述条件或所求结果相关的状态建立方程式。另外表达式中Ep是相对的，建立方程时必须选择合适的参考平面，且每一状态的Ep都应是对同一参考平面而言的。
(2)ΔEk＝－ΔEp，系统动能的增加量等于系统重力势能的减少量，可以不选择参考平面。
(3)ΔEA＝－ΔEB，将系统分为A、B两部分，A部分机械能的增加量等于另一部分B的机械能的减少量，可以不选择参考平面。
[典例] 如图所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3，求：
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(1)物体在A点时的速度大小；
(2)物体离开C点后还能上升多高。
[解析] (1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点为零势能点。
设物体在B处的速度为vB，
由机械能守恒定律得mg·3R＋mv02＝mvB2，
解得v0＝。
(2)设物体从B点上升到最高点的高度为HB，由机械能守恒定律得mgHB＝mvB2，
解得HB＝4.5R
所以物体离开C点后还能上升HC＝HB－R＝3.5R。
[答案] (1) (2)3.5R
机械能守恒定律表达式的灵活选取
(1)单个物体机械能守恒的问题，可应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp列式求解。
(2)两个物体组成的系统机械能守恒的问题，若一个物体的动能、势能都在增加，另一个物体的动能、势能都在减小，可优先考虑应用表达式ΔEA＝－ΔEB列式求解；若两个物体的动能都在增加(或减小)，势能都在减小(或增加)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp列式求解。
1．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A．一样大 B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大
解析：选A 三个小球被抛出后，均仅在重力作用下运动，机械能守恒，以地面为参考平面，设抛出点的高度为h，并设小球的质量为m，根据机械能守恒定律可得：mv2＝mv02＋
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mgh，解得小球的末速度大小为：v＝，与小球抛出的方向无关，即三球的末速度大小相等，故选项A正确。
2.某同学身高1.8 m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8 m高度的横杆(如图所示)，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10 m/s2)( )
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
解析：选B 将该同学视为做竖直上抛运动，整个过程机械能守恒，取地面为参考平面，最高点速度为零，由Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2得：mv02＋mgh1＝mgh2，其中h1为起跳时该同学重心的高度，即h1＝0.9 m，代入数据得起跳速度v0＝＝4.2 m/s。
物体系统的机械能守恒
[典例] 如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面0.8 m，求：
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度；
(2)B物体着地后A物体还能上升多高？(g取10 m/s2)
[解析] (1)法一：由E1＝E2。
对A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面，
则mBgh＝mAgh＋(mA＋mB)v2。
v＝＝ m/s＝2 m/s。
法二：由ΔEk增＝ΔEp减，得
mBgh－mAgh＝(mA＋mB)v2，
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得v＝2 m/s。
法三：由ΔEA增＝ΔEB减，得
mBgh－mBv2＝mAgh＋mAv2
得v＝2 m/s。
(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，
则A上升的高度由机械能守恒可得mAgh′＝mAvA2，
h′＝＝ m＝0.2 m。
[答案] (1)2 m/s (2)0.2 m
值得关注的连接体问题中的两个关系
(1)距离关系。也就是相互连接的两物体发生的位移关系。当一个物体上升另一个物体下降时，上升的竖直距离和下降的竖直距离不一定相等，一定要根据几何关系找出它们之间的距离关系。
(2)速度关系。也就是两物体间的速度大小关系。若是通过轻杆或轻绳连接的连接体，则它们沿着杆或绳子方向上的速度大小相等，根据这种速度关系找出它们之间的速度大小关系；通过轻杆连接的连接体，往往都是共轴，相同时间内转过的角度相等。
1.(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中下列说法中正确的是( )
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能减小
C．M和N组成的系统的机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
解析：选BC 因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误。
2.如图所示的是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面。一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA＝2mB。由图示位置从静止开始释放物体A，当物体B
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到达圆柱顶点时，求细线的张力对物体B所做的功。
解析：由于圆柱面是光滑的，故系统的机械能守恒。
系统重力势能的减少量ΔEp减＝mAg－mBgR，
系统动能的增加量ΔEk增＝(mA＋mB)v2，
由ΔEp减＝ΔEk增，得
mAg－mBgR＝(mA＋mB)v2，
又mA＝2mB，
联立以上两式得v2＝(π－1)gR，
对物体B应用动能定理得，细线的张力对物体B做的功
W＝mBv2＋mBgR＝mBgR。
答案：mBgR
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