第3节功率
1．功与完成这些功所用时间的比值叫做功率，即P＝
，表示做功的快慢。
2．公式P＝一般用来计算平均功率，瞬时功率用公
式P＝Fv进行计算，若v取平均速度，则P＝Fv为
平均功率。
3．汽车上坡时，司机要“换挡”来减小速度，这样在发
动机功率相同的情况下可以获得较大的牵引力；汽
车在平直公路上，所受阻力较小，可以使用高转速
比的挡位获得较大的速度。
4．注意额定功率与实际功率、瞬时功率与平均功率的
区别。
一、功率
1．定义：功W与完成这些功所用时间t的比值。
2．定义式：P＝。
3．单位：国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W。
1 W＝1 J/s,1 kW＝103 W。
4．物理意义：功率是表示做功快慢的物理量。
5．额定功率与实际功率
(1)额定功率
电动机、内燃机等动力机械在额定转速下可以长时间工作时输出的功率。
(2)实际功率
动力机械工作时实际消耗的功率。
二、 功率与速度
1．功率与速度的关系式
P＝Fv(F与v方向相同)。
2．推导
→P＝Fv
3．应用
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由功率速度关系式知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度。
1．自主思考——判一判
(1)各种机械铭牌上所标功率一般是指额定功率。(√)
(2)某机械工作时的实际功率一定比额定功率小。(×)
(3)物体的速度为v，则重力的功率一定是mgv。(×)
(4)汽车的速度越大，牵引力的功率也越大。(×)
(5)汽车以恒定功率启动时，加速度减小。(√)
2.合作探究——议一议
(1)去过泰山的同学会遇到挑山工，假设挑山工和缆车将相同的货物运至山顶，两者对货物做的功相同吗？做功的功率相同吗？
提示：两者对货物做的功都等于克服重力做的功，由于将相同的货物运往相同高度的山顶，因此两者做相同的功，而用缆车运送货物所用时间远小于挑山工的用时，根据功率定义知缆车的做功功率远大于挑山工的做功功率。
(2)在越野比赛中，汽车爬坡时，常常换用低速挡，这是为什么？
提示：由P＝Fv可知，汽车在上坡时需要更大的牵引力，而发动机的额定功率是一定的，换用低速挡的目的是减小速度，进而增大牵引力。
功率的定义式和计算式
定义式P＝
计算式P＝Fv
适用条件
适用于任何情况下功率的计算
适用于F与v同向的情况
应用
求某个过程中的平均功率。当时间t→0时，可由定义式求瞬时功率
若v表示物体在时间t内的平均速度，则功率P表示力F在时间t内的平均功率；若v表示物体在某一时刻的瞬时速度，则功率P表示力F在该时刻的瞬时功率
公式理解
功率可以用P＝来表示，但功率并不由W、t决定
P一定时，F与v成反比；v一定时，F与P成正比；F一定时，v与P成正比
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[典例] (多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用。力F的大小与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则( )
A．3t0时刻的瞬时功率为
B．3t0时刻的瞬时功率为
C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
[解析] 0～2t0时间内，物体的加速度a1＝，2t0时刻的速度v1＝a1·2t0＝，位移x1＝，2t0～3t0时间内，加速度a2＝，3t0时刻的速度v2＝v1＋a2t0＝，2t0～3t0时间内的位移x2＝；所以3t0时刻的瞬时功率P＝3F0v2＝，B对，A错；3t0内的平均功率＝＝＝，D对，C错。
[答案] BD
计算功率应该注意的问题
(1)首先应该明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率，计算平均功率与瞬时功率选择的公式不同。
(2)求平均功率时，应明确是哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应明确是哪一时刻的瞬时功率。
(3)应该明确是哪一个力对物体做功的功率，是动力还是阻力，是恒力还是变力等。不同情况应选择不同的公式。
1．下列关于功率的说法中正确的是( )
A．根据P＝可知，力做功越多，其功率越大
B．根据P＝Fv可知，汽车的牵引力一定与速率成反比
C．由P＝可知，只要知道时间t内力所做的功，就可以求得这段时间内任一时刻的功率
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D．由P＝Fv可知，当发动机的功率一定时，交通工具的牵引力与运动速率成反比
解析：选D 做功多功率不一定大，还要看做功时间，故A错误。功率一定时，汽车的牵引力才与速率成反比，故B错误、D正确。只有时间t极短时才能用P＝求得瞬时功率，故C错误。
2．一质量为m的木块静止在光滑的水平地面上，大小为F、方向与水平面成θ角的恒力作用在该木块上，经过时间t，力F的瞬时功率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 对木块受力分析可知，木块受重力、支持力和力F的作用，由牛顿第二定律可得，Fcos θ＝ma，所以a＝，t时刻木块的速度为v1＝at＝，所以瞬时功率P＝Fv1cos θ＝，A正确。
3．如图所示，一质量为m的物体，沿倾角为θ的光滑固定斜面由静止下滑，当它在竖直方向下落了h高度时，求重力的瞬时功率和整个过程中重力的平均功率。
解析：由题意知，物体在重力和支持力作用下沿斜面下滑，
其下滑加速度a＝gsin θ，下滑的位移l＝。
由v2－0＝2al，得速度v＝，方向为沿斜面向下，
故重力的瞬时功率
PG＝mgvsin θ＝mg··sin θ＝mgsin θ；
重力的平均功率
G＝mgsin θ＝mg··sin θ＝mgsin θ。
答案：mgsin θ mgsin θ
机车启动问题
1．两种启动方式的过程分析
以恒定功率启动
以恒定牵引力启动
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Pt图和vt图
OA段
过程分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段
过程分析
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝，以vm做匀速直线运动
2．机车启动问题中几个物理量的求法
(1)机车的最大速度vm的求法，机车达到匀速前进时速度最大，此时牵引力F等于阻力Ff，故vm＝＝。
(2)匀加速启动持续时间的求法，牵引力F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度vm′＝，时间t＝。
(3)瞬时加速度的求法，据F＝求出牵引力，则加速度a＝。
[典例] 在平直路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受的阻力为5×103 N。
(1)求汽车所能达到的最大速度。
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2 m/s时其加速度为多大？
[审题指导]
(1)汽车速度达到最大的条件是a＝0，即F＝Ff。
(2)汽车以恒定加速度a匀加速运动的“收尾”条件是：P＝P额，此时的速度为匀加速运动的最大速度。
(3)汽车速度为v′时牵引力F＝。
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[解析] (1)当汽车速度达到最大时，牵引力F＝Ff，
则由P＝Fv得汽车所能达到的最大速度
vmax＝＝ m/s＝12 m/s。①
(2)汽车以恒定的加速度a做匀加速运动，能够达到的最大速度为v，则有
－Ff＝ma②
得v＝＝ m/s＝8 m/s③
由v＝at得这一过程维持的时间
t＝＝ s＝16 s。
(3)当汽车以额定功率启动达到2 m/s的速度时，牵引力
F′＝＝ N＝3×104 N，
由牛顿第二定律得汽车的加速度
a＝＝ m/s2＝5 m/s2。
[答案] (1)12 m/s (2)16 s (3)5 m/s2
只有在刚开始以恒定牵引力启动的一段时间内，机车才做匀加速直线运动，当实际功率增加到额定功率，速度继续增加，但加速度开始减小，即此时机车的运动不再是匀加速直线运动；而以恒定功率启动时，机车一开始就不是匀加速直线运动。总之机车启动问题不能生搬硬套匀变速直线运动的公式。
1．一辆汽车在水平公路上行驶，设汽车在行驶过程中所受阻力不变，汽车的发动机始终以额定功率输出。关于牵引力和汽车速度，下列说法中正确的是( )
A．汽车加速行驶时，牵引力不变，速度增大
B．汽车加速行驶时，牵引力增大，速度增大
C．汽车加速行驶时，牵引力减小，速度增大
D．当牵引力等于零时，速度达到最大值
解析：选C 汽车的发动机输出功率恒定，即P一定，则由公式P＝Fv可得出v增大，此时F减小，但由于合外力方向与汽车运动方向一致，因此汽车速度仍在增大；当汽车受到的牵引力和阻力相等时，汽车速度达到最大值，而后做匀速直线运动。故C正确。
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2．质量为m的汽车启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A.B.C. D.
解析：选C 在匀速运动时，f＝F＝，当速度为时，F1＝，
由F1－f＝ma得a＝＝＝，故C正确。
3．(多选)我国高铁技术处于世界领先水平。和谐号动车组是由动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车。假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比。某列车组由8节车厢组成，其中第1、5节车厢为动车，其余为拖车，则该动车组( )
A．启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反
B．做匀加速运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3∶2
C．进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比
D．与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为1∶2
解析：选BD 启动时，乘客的加速度向前，车厢对人的作用力方向向前，与车运动的方向相同，选项A错误。以后面的车厢为研究对象，F56＝3ma，F67＝2ma，则5、6节与6、7节车厢间的作用力之比为3∶2，选项B正确。根据v2＝2ax，车厢停下来滑行的距离x与速度的二次方成正比，选项C错误。若改为4节动车，则功率变为原来2倍，由P＝Fv知，最大速度变为原来2倍，选项D正确。
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