第5节探究弹性势能的表达式
1． 弹力对物体做正功，弹簧的弹性势能减少，弹力
对物体做负功，弹簧的弹性势能增加。弹力做了
多少功，弹性势能就变化多少。
2．弹簧的弹性势能的大小跟劲度系数和形变量有关，
其表达式为Ep＝kl2，其中l表示弹簧的形变量而
不是长度。
2． 弹簧的弹性势能也具有相对性，一般取弹簧处于
原长时弹性势能为零。
一、 弹性势能
1．弹性势能的概念
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力的相互作用而具有的势能。
2．决定弹性势能大小相关因素的猜想
(1)猜想依据
弹性势能和重力势能同属势能，重力势能大小与物体的质量和高度有关，弹簧弹力与其形变量和劲度系数有关。
(2)猜想结论
弹性势能与弹簧的形变量l和劲度系数k有关，在弹簧的形变量l相同时，弹簧的劲度系数k越大，弹簧的弹性势能越大。在弹簧劲度系数k相同时，弹簧形变量越大，弹簧弹性势能越大。
二、 探究弹性势能的表达式
1．探究思想：研究弹力做功与弹性势能变化的关系。
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2．“化变为恒”求拉力做功：W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋…＋FnΔln。
3．“Fl”图像面积的意义：表示F做功的值。
1．自主思考——判一判
(1)弹性势能与弹簧的弹性形变量和劲度系数有关。(√)
(2)除了弹力做功之外，其他力做功不影响弹性势能。(√)
(3)不同弹簧发生相同的形变量时弹力做功相同。(×)
(4)弹簧被压缩时，弹性势能为负；弹簧被拉伸时，弹性势能为正。(×)
(5)弹力做正功，弹性势能就增大；弹力做负功，弹性势能就减小。(×)
2．合作探究——议一议
(1)运动员将箭射出，弓恢复原状，此过程中弓的弹性势能怎么变化？
提示：弓的形变量逐渐减小，弹性势能减小。
(2)弹弓是一种儿童玩具，由两根橡皮条和木叉制成。为使石子以较大的速度飞出，就应该把橡皮条拉长些，从能量角度分析这是为什么呢？
提示：橡皮条拉得越长，储存的弹性势能越大，射出石子时石子的动能就越大，射得就越远。
对弹性势能的理解
1．弹性势能的产生及影响因素
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2．弹性势能与弹力做功的关系
如图所示，O为弹簧的原长处。
(1)弹力做负功：如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
(2)弹力做正功：如物体由A向O运动或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹性势能的变化量总等于弹力对外做功的负值，表达式为W弹＝－ΔEp。
3．弹性势能表达式
(1)弹簧弹力随形变量x的变化图线及围成面积的意义
类比vt图像的面积表示位移，Fx图像与x轴所围的面积表示弹力的功，如图所示。所以当弹簧的形变量为x时，弹力做功W弹＝－kx·x＝－kx2。
(2)弹性势能的大小：Ep＝－W弹＝kx2。
[典例] 如图所示，在水平地面上竖直放置一轻质弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0 kg的木块相连。若在木块上再作用一个竖直向下的变力F，使木块缓慢向下移动0.1 m，力F做功2.5 J时，木块再次处于平衡状态，此时力F的大小为50 N。(取g＝10 m/s2)求：
(1)弹簧的劲度系数。
(2)在木块下移0.1 m的过程中弹性势能的增加量。
[审题指导]
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(1)根据平衡条件可以求出木块初始平衡状态和加力F后平衡状态时弹簧的压缩量。
(2)木块缓慢下移的距离为弹簧压缩量的变化量。
(3)弹簧弹性势能的增加量等于木块下移时克服弹力所做的功。
[解析] (1)设木块开始静止时，弹簧的压缩量为l1。
后来静止时，弹簧的压缩量为l2，由胡克定律及平衡条件得，
未施加力F时，弹力F1＝mg＝kl1＝20 N，
施加力F后，弹力F2＝F＋mg＝kl2＝70 N，
且l2－l1＝0.1 m，联立以上各式得k＝500 N/m。
(2)由以上方程得l1＝0.04 m，l2＝0.14 m，
根据以上数据作出Fl图像如图所示。在木块下移0.1 m的过程中，弹力做负功，
且W＝－S阴影＝－×(20＋70)×0.1 J＝－4.5 J，
所以弹性势能的增加量ΔEp＝－W＝4.5 J。
[答案] (1)500 N/m (2)4.5 J
弹性势能变化的确定技巧
(1)弹性势能具有相对性，但其变化量具有绝对性，因此，在判断弹性势能的变化时不必考虑零势能的位置。
(2)弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。弹性势能的变化量总等于弹力做功的负值。
1．关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
解析：选C 弹簧弹性势能的大小，除了跟劲度系数k有关外，还跟它的形变量(拉伸或压缩的长度)有关。如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应减小，在原长处最小。C正确。
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2.一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧上端的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图所示。经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则( )
A．h越大，弹簧在A点的压缩量越大
B．弹簧在A点的压缩量与h无关
C．h越大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能越大
D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大
解析：选B 最终小球静止在A点时，小球受重力与弹簧的弹力相等，故由弹力公式得mg＝kx，即可得出弹簧在A点的压缩量x＝，与下落时的高度h无关，A错，B对。对同一弹簧，它的弹性势能大小仅与弹簧的形变量有关，小球静止在A点或经过A点时，弹簧的弹性势能相同，C、D错。
3．两个不同的弹簧A、B，劲度系数分别为k1、k2，且k1＞k2。现用相同的力从自然长度开始拉弹簧，则下列说法正确的是( )
A．A弹簧的弹性势能大
B．B弹簧的弹性势能大
C．两弹簧的弹性势能相同
D．无法判断
解析：选B 以相同的力F拉弹簧A、B，由胡克定律得A弹簧的伸长量l1＝，B弹簧的伸长量l2＝，由于k1＞k2，故l1＜l2，所以拉力克服弹力对A弹簧做的功W1＝Fl1小于对B弹簧做的功W2＝Fl2，即B弹簧的弹性势能大。故选项B正确。
弹性势能与重力势能的比较
弹性势能
重力势能
定义
发生弹性形变的物体各部分之间由于弹力的相互作用而具有的势能
物体由于被举高而具有的势能
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表达式
Ep＝kx2
Ep＝mgh
相对性
弹性势能与零势能位置的选取有关，通常选自然长度时势能为零，表达式最为简洁
重力势能的大小与零势能面的选取有关，但变化量与零势能面的选取无关
系统性
弹性势能是弹簧本身具有的能量
重力势能是物体与地球这一系统所共有的
功能关系
弹性势能的变化等于克服弹力所做的功
重力势能的变化等于克服重力所做的功
联系
两种势能分别以弹力、重力的存在为前提，又由物体的初、末位置来决定。同属机械能的范畴，在一定条件下可相互转化
1．(多选)关于弹性势能和重力势能，下列说法正确的是( )
A．重力势能属于物体和地球这个系统，弹性势能是弹簧本身具有的能量
B．重力势能是相对的，弹性势能是绝对的
C．重力势能和弹性势能都是相对的
D．重力势能和弹性势能都是状态量
解析：选ACD 重力势能具有系统性，弹性势能是弹簧本身具有的能量，故A正确；重力势能和弹性势能都是相对的，且都是状态量，故B错，C、D正确。
2.如图所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个轻弹簧，用手拉住弹簧上端上移H，将物体缓缓提高h，拉力F做功WF，不计弹簧的质量，则下列说法正确的是( )
A．重力做功－mgh，重力势能减少 mgh
B．弹力做功－WF，弹性势能增加WF
C．重力势能增加mgh，弹性势能增加FH
D．重力势能增加mgh，弹性势能增加WF－mgh
解析：选D 可将整个过程分为两个阶段：一是弹簧伸长到m刚要离开地面阶段，拉力克服弹力做功WF1＝－W弹，等于弹性势能的增加；二是弹簧长度不变，物体上升h，拉力克服重力做功WF2＝－WG＝mgh，等于重力势能的增加，又由WF＝WF1＋WF2可知A、B、C错，D对。
3.(多选)图甲是玩家玩“蹦极”游戏的真实照片，玩家将一根长为AB的弹性绳子的一端系在身上，另一端固定在高处，然后从高处跳下，图乙是玩家到达最低点时的情况，其中AB为弹性绳子的原长，C点是弹力等于重力的位置，D
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点是玩家所到达的最低点，对于玩家离开跳台至最低点的过程中，下列说法正确的是( )
A．重力对人一直做正功
B．人的重力势能一直减小
C．玩家通过B点之后，绳子具有弹性势能
D．从A到D，弹性绳子的弹性势能一直增加
解析：选ABC 整个过程中，重力一直做正功，重力势能一直减小；人从高空落下到弹性绳子达到原长的过程中，弹性绳子不做功，此后弹性绳子一直做负功，弹性势能一直增加。
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